定数変化法で微分方程式を解くメモ

概要

勉強用のメモです。
以下の方程式を解きます。

解法

定数変化法を使う。

方程式の斉次形を考える。（変数$x$のみの項を$0$とする。）
\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} - 2xy &=& 0 \\ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} &=& 2x \\ \log y &=& x^2 + C_1 \\ y &=& Ce^{x^2} \end{eqnarray}

ここで$C$を$x$の関数と捉えて、元の方程式を$C(x)$について解く。
\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} - 2xy &=& e^{x^2} \\ \frac{d}{dx}(C(x) e^{x^2}) - 2xC(x) e^{x^2} &=& e^{x^2} \\ e^{x^2}\frac{d}{dx}C(x) + C(x)\frac{d}{dx}e^{x^2}- 2xC(x) e^{x^2} &=& e^{x^2} \\ e^{x^2}\frac{d}{dx}C(x) + 2xC(x)e^{x^2}- 2xC(x) e^{x^2} &=& e^{x^2} \\ \frac{d}{dx}C(x) &=& 1 \\ C(x) &=& x + D \end{eqnarray}

以上から
$$ y = (x+D)e^{x^2} $$
がわかる。ただし$D$:積分定数

注釈

・定数変化法は一般に線形微分方程式に適用できる。
・今回のような$y'-yf(x) = g(x)$で表される微分方程式には定数変化法が良い。