定数変化法で微分方程式を解くメモ

概要

勉強用のメモです。
以下の方程式を解きます。

解法

定数変化法を使う。

方程式の斉次形を考える。（変数$x$のみの項を$0$とする。）
$$\begin{array}{rcl}\frac{dy}{dx}-2xy& =& 0\\ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}& =& 2x\\ \log y& =& x^2+C_1\\ y& =& C{e}^{x^2}\end{array}$$

ここで$C$を$x$の関数と捉えて、元の方程式を$C(x)$について解く。
$$\begin{array}{rcl}\frac{dy}{dx}-2xy& =& e^{x^2}\\ \frac{d}{dx}(C(x)e^{x^2})-2xC(x)e^{x^2}& =& e^{x^2}\\ e^{x^2}\frac{d}{dx}C(x)+C(x)\frac{d}{dx}{e}^{x^2}-2xC(x)e^{x^2}& =& e^{x^2}\\ e^{x^2}\frac{d}{dx}C(x)+2xC(x)e^{x^2}-2xC(x)e^{x^2}& =& e^{x^2}\\ \frac{d}{dx}C(x)& =& 1\\ C(x)& =& x+D\end{array}$$

以上から
$$y=(x+D)e^{x^2}$$
がわかる。ただし$D$:積分定数

注釈

・定数変化法は一般に線形微分方程式に適用できる。
・今回のような$y^{\prime }-yf(x)=g(x)$で表される微分方程式には定数変化法が良い。