Sears-Thomaeの変換公式の両側類似
Sears-Thomaeの変換公式
は
Searsの変換公式
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-N}}{d,e,abcq^{1-N}/de}q&=\frac{(a,de/ab,de/ac;q)_N}{(d,e,de/abc;q)_N}\Q43{d/a,e/a,de/abc,q^{-N}}{de/ab,de/ac,q^{1-N}/a}q
\end{align}
において$N\to\infty$とすることによって得ることができた. よってその両側類似も同様に両側Searsの変換公式から示すことができるのではないかと考えるのは自然である.
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の定理2を少し変形して
\begin{align}
&\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,q/b,q/c,q/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(aq,q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd,aq/ef,aq/eg,aq/fg;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\BQ88{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g}{\frac{a^3q^2}{bcdefg}}\\
&=\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd,aq/efg;q)_{\infty}}\BQ44{a^2q/bcd,e,f,g}{efg/a,aq/b,aq/c,aq/d}q\\
&\qquad+\frac{(q,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg,aq/b,aq/c,aq/d,b/a,c/a,d/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/bcd,bcd/a^2q,a^3q/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg}q\\
&\qquad+\frac{(q,e,f,g,q/e,q/f,q/g,a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg}{a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg}q
\end{align}
の形にして, $N$を非負整数として$g\to q^{-N}$とすると, 3つ目の項が消えて
\begin{align}
&\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq^{N+1},q/b,q/c,q/d,q/e,q/f,q^{N+1};q)_{\infty}}{(aq,q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd,aq/ef,aq^{N+1}/e,aq^{N+1}/f;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\BQ88{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq^{N+1}}{\frac{a^3q^{N+2}}{bcdef}}\\
&=\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f,q^{N+1};q)_{\infty}}{(a^2q/bcd,aq^{N+1}/ef;q)_{\infty}}\BQ44{a^2q/bcd,e,f,q^{-N}}{efq^{-N}/a,aq/b,aq/c,aq/d}q\\
&\qquad+\frac{(q,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^{N+2}/bcd,aq/b,aq/c,aq/d,b/a,c/a,d/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/bcd,bcd/a^2q,a^3q^{N+1}/bcdef,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^3q^{N+2}/bcdef,aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^{N+2}/bcd}q
\end{align}
となる. ここで$N\to\infty$として以下を得る.
\begin{align} &\frac{(aq/b,aq/c,aq/e,aq/f,q/b,q/c,q/d,q/e,q/f;q)_{\infty}}{(aq,q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd,aq/ef;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\BQ78{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,0}{\frac{a^3q^2}{bcdef}}\\ &=\frac{(aq/b,aq/c,q/e,q/f;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd;q)_{\infty}}\BQ33{a^2q/bcd,e,f}{aq/b,aq/c,aq/d}{\frac{aq}{ef}}\\ &\qquad+\frac{(q,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,aq/b,aq/c,b/a,c/a,d/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/bcd,bcd/a^2q,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q32{aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf}q \end{align}
定理1の左辺は$(b,c)\leftrightarrow(e,f)$と入れ替えたものと比較することによって以下を得る.
\begin{align} &\frac{(aq/b,aq/c,q/e,q/f,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd;q)_{\infty}}\BQ33{a^2q/bcd,e,f}{aq/b,aq/c,aq/d}{\frac{aq}{ef}}\\ &\qquad+\frac{(q,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,aq/b,aq/c,b/a,c/a,d/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/bcd,bcd/a^2q,aq/bc;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q32{aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf}q\\ &=\frac{(aq/e,aq/f,q/b,q/c,aq/de,aq/df;q)_{\infty}}{(a^2q/def;q)_{\infty}}\BQ33{a^2q/def,b,c}{aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{aq}{bc}}\\ &\qquad+\frac{(q,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq/e,aq/f,d/a,e/a,f/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/def,def/a^2q,aq/ef;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q32{aq/de,aq/df,aq/ef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef}q \end{align}
これはSears-Thomaeの変換公式の両側類似を与えている. 実際$d=a$としてパラメーターを付け替えるとSears-Thomaeの変換公式に一致していること分かる.
