大学数学基礎解説

複素数においての素数　素因数分解編

素因数分解,素数,代数

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

前作である複素数においての素数　条件編を読んでからこの記事を読んでください。

複素整数の素因数分解

複素整数も素元に分解することができるが、できない素元もある。

素因数分解ができない複素整数

整数と同じように0と単位元を素因数分解することができないが、
負の整数を素因数分解することができる。

これは虚数単位を使うことにより$(a+bi)(a-bi)$と素因数分解をできるからである。

整数の素因数分解の例

$2=(1+i)(1-i),(-1+i)(1+i)$
$-5=(-2+i)(2+i),(-1+2i)(1+2i)$
$12=3(1+i)^2(1-i)^2$など

2のように整数の中では素数だった数も複素整数では素元ではないため、素因数分解できる。

これでは素因数分解の一意性が保たれてないように見えますが、
それぞれの複素整数のノルムは変わっていないため、
実質同じ（？）なので一意性が保たれているだろう。

では複素数の素因数分解の例を見ていこう。

複素整数の素因数分解

$6+4i$
まずノルムを考える。
$N(6+4i)=52$
$52=2²+13$
よりノルムが$2$と$13$の複素整数（例えば）$1+iと2+3i$を見つける。
よって$6+4i=(1+i)²(2+3i)$

この場合でもノルムが等しい複素整数に置き換えることができる。

まとめ

素因数分解の一意性

$ \mathbb{Z} [i] がユークリッド整域だから一意分解が成り立つ$

複素整数$z$の素因数分解は$z$のノルムを整数で素因数分解した$z=a^pb^qc^r・・・$の$a,b,c・・・$をノルムとした
任意の複素整数$g,h,i・・・$の積$z=g^ph^qi^r・・・$となる。
これは素因数分解の対象が整数でも変わらない。
なお複素整数は同じノルムの複素整数と置き換えられる。