冪零行列の平方根
指数$\nu$の$n$次冪零行列$N$に対して
$$
r_{i}=r_{i}(N) \coloneqq \dim\Ker N^{i} - \dim\Ker N^{i-1} = \rank N^{i-1} - \rank N^{i},\ 1 \leq i \leq \nu$$
とおくと，
$$
r_{1} \geq r_{2} \geq\cdots\geq r_{\nu} \geq 1,\ \sum_{i=1}^{\nu} r_{i} = n$$
が成り立つ．
（指数$\nu$の）$n$次冪零行列$N$に対して次は同値である：
- $\exists\,M,\ M^{2} = N;$
- $\forall i,\ r_{i},r_{i+1}:\text{odd} \implies r_{i}-r_{i+1} \geq 2.$
(i)$\implies$(ii)
$M$は冪零行列なので，その指数を$\nu' \leq \min\{2\nu,n\}$とし
$$
r'_{j} \coloneqq \begin{dcases}
r_{j}(M) & 1 \leq j \leq \nu' \\
0 & \nu' < j \leq 2\nu
\end{dcases}$$
とおくと，
\begin{align}
r_{i}
&= \rank N^{i-1} - \rank N^{i} \\
&= \rank M^{2i-2} - \rank M^{2i} \\
&= (\rank M^{2i-2} - \rank M^{2i-1}) + (\rank M^{2i-1} - \rank M^{2i}) \\
&= r'_{2i-1} + r'_{2i}
\end{align}
が成り立つ．よって
$$
r_{i} = r'_{2i-1}+r'_{2i} \geq 2r'_{2i} \geq 2r'_{2i+1} \geq r'_{2i+1}+r'_{2i+2} = r_{i+1}$$
となるので，$r_{i},r_{i+1}$が奇数のとき，
$$
r_{i}-1 \geq 2r'_{2i} \geq 2r'_{2i+1} \geq r_{i+1}+1 \quad\leadsto\quad r_{i} - r_{i+1} \geq 2$$
が成り立つ．
(ii)$\implies$(i)
非負整数$r'_{1},\ldots,r'_{2\nu}$を次のように定める：
$$
\begin{dcases}
r'_{2i-1} \coloneqq \frac{r_{i}}{2},\ r'_{2i} \coloneqq \frac{r_{i}}{2} & r_{i}:\text{even}; \\
r'_{2i-1} \coloneqq \frac{r_{i}+1}{2},\ r'_{2i} \coloneqq \frac{r_{i}-1}{2} & r_{i}:\text{odd}.
\end{dcases}$$
このとき，
$$
r'_{1} \geq\cdots\geq r'_{2\nu} \geq 0;\ \sum_{j=1}^{2\nu}r'_{j} = n;\ \forall i,\ r_{i}=r'_{2i-1}+r'_{2i}$$
が成り立つ．実際，任意の$i \in \{1,\ldots,\nu\}$に対して
$$
r'_{2i-1} \geq r'_{2i}$$
が成り立ち，$r_{i},r_{i+1}$の少なくとも一方が偶数のとき
$$
r_{i} = r_{i+1} \lor r_{i} \geq r_{i+1}+1 \quad\leadsto\quad r'_{2i} \geq r'_{2i+1}$$
が成り立ち，$r_{i},r_{i+1}$が共に奇数のときは仮定より
$$
r'_{2i} = \frac{r_{i}-1}{2} \geq \frac{r_{i+1}-1}{2} = r'_{2i+1}$$
が成り立つ．
ここで，satakep.149の図にあるように並べた基底を考えると，仮定より，各段の左から数えて奇数番目のベクトルの右下には必ずその下の段の偶数番目のベクトルがあることがわかる（最下段の場合は$0$があると考える）．したがって，各段の奇数番目のベクトル（$r'_{2i-1}$個ある）をその右下のベクトルに，偶数番目のベクトル（$r'_{2i}$個ある）をその左隣のベクトルにうつすことで定まる線型写像を$M$とおくと，明らかに$M^{2}=N$が成り立つ．
たとえば以下の通り：
$$
\xymatrix{
{a_{1}} \ar@{|->}[d]_{N} &&& &&& {a_{1}} \ar@{|->}[rd]^{M} &&& \\
{Na_{1}} \ar@{|->}[d] & {a_{2}} \ar@{|->}[d] & {a_{3}} \ar@{|->}[d] & & \ar@{~>}[r] && {Na_{1}} \ar@{|->}[rd] & {a_{2}} \ar@{|->}[l] & {a_{3}} \ar@{|->}[rd]^{M} & \\
{N^{2}a_{1}} \ar@{|->}[d] & {Na_{2}} \ar@{|->}[d] & {Na_{3}} \ar@{|->}[d] & {a_{4}} \ar@{|->}[d] &&& {N^{2}a_{1}} \ar@{|->}[rd] & {Na_{2}} \ar@{|->}[l] & {Na_{3}} \ar@{|->}[rd] & {a_{4}} \ar@{|->}[l] \\
{0} & {0} & {0} & {0} &&& {} & {0} & {} & {0} \\
}$$
$3$次冪零行列
$$
N \coloneqq \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
を考えると，$r_{1} = 2,\ r_{2} = 1$であるから，$N$は平方根を持つ．実際，
$$
\xymatrix{
{e_{3}} \ar@{|->}[d]_{N} & &&& {e_{3}} \ar@{|->}[rd] & \\
{e_{2}} \ar@{|->}[d] & {e_{1}} \ar@{|->}[d] & \ar@{~>}[r] && {e_{2}} \ar@{|->}[rd] & {e_{1}} \ar@{|->}[l]\\
{0} & {0} &&& {} & {0}
}$$
より，
$$
M \coloneqq \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
とおけば，$M^{2} = N$が成り立つ．
$n\geq 2$のとき，指数$n$の冪零行列$N$は平方根を持たない．実際，$M^{2}=N$なる$M$が存在したとすると，$M$は$n$次冪零行列なので$M^{n}=O$であるが，
$$
O \neq N^{n-1} = M^{2n-2} = M^{n}M^{n-2}=O$$
となって不合理である．したがって，たとえば
$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
は平方根を持たない．
