【微分幾何メモ】２次元擬リーマン多様体の計量の対角化座標について

２次元擬リーマン多様体の計量は適当な調和座標により
$$h=e^{2\lambda }(ϵ(d{x}^0{)}^2+(d{x}^1{)}^2)$$
と表される。
変換${\overline{x}}^i={\overline{x}}^i(x^0,x^1)$を考える。ただし、${\partial }_0{\overline{x}}^1,{\partial }_1{\overline{x}}^1$が同時に０になることはないと仮定してよい。

与えられたベクトル$\xi$に対して、$\xi (\psi )=0$となるスカラー関数$\psi (x^0,x^1)$は$\xi$に横断的に交わる任意の曲線上の初期条件に対して定まる。
${\overline{x}}^1$が与えられたとき、ベクトル場$\xi ={\partial }_0{\overline{x}}^1{\partial }_0+ϵ{\partial }_1{\overline{x}}^1{\partial }_1$に対して、$\xi ({\overline{x}}^0)=0$となるスカラー関数${\overline{x}}^0$に対して
$\xi ({\overline{x}}^0)=ϵ{\partial }_1{\overline{x}}^0{\partial }_1{\overline{x}}^1+{\partial }_0{\overline{x}}^0{\partial }_0{\overline{x}}^1=0$
となる。
ただし、${\overline{x}}^0$の初期条件として、${\partial }_1{\overline{x}}^1=0$のとき、${\partial }_1{\overline{x}}^0\ne 0$となるようする。
また、${\partial }_1{\overline{x}}^1\ne 0$のときは$||\mathrm{\nabla }{\overline{x}}^1|{|}^2=({\partial }_1{\overline{x}}^1{)}^2-ϵ({\partial }_0{\overline{x}}^1{)}^2\ne 0$となるように${\overline{x}}^1$を与えるものとする。

変換${\overline{x}}^i={\overline{x}}^i(x^0,x^1)$のヤコビ行列は
$J=\left(\begin{array}{cc}{\partial }_0{\overline{x}}^0& {\partial }_0{\overline{x}}^1\\ {\partial }_1{\overline{x}}^0& {\partial }_1{\overline{x}}^1\end{array}\right)$
である。
${\partial }_1{\overline{x}}^1=0$のとき、${\partial }_1{\overline{x}}^0\ne 0$であるから、$\det J={\partial }_0{\overline{x}}^0{\partial }_1{\overline{x}}^1-{\partial }_1{\overline{x}}^0{\partial }_0{\overline{x}}^1=-{\partial }_1{\overline{x}}^0{\partial }_0{\overline{x}}^1\ne 0$となる。
${\partial }_1{\overline{x}}^1\ne 0,||\mathrm{\nabla }{\overline{x}}^1|{|}^2=({\partial }_1{\overline{x}}^1{)}^2-ϵ({\partial }_0{\overline{x}}^1{)}^2\ne 0$のとき、
${\partial }_1{\overline{x}}^0=ϵ\frac{{\partial }_0{\overline{x}}^0{\partial }_0{\overline{x}}^1}{{\partial }_1{\overline{x}}^1}$より$\det J={\partial }_0{\overline{x}}^0{\partial }_1{\overline{x}}^1-{\partial }_1{\overline{x}}^0{\partial }_0{\overline{x}}^1=\frac{{\partial }_0{\overline{x}}^0}{{\partial }_1{\overline{x}}^1}(({\partial }_1{\overline{x}}^1{)}^2-ϵ({\partial }_0{\overline{x}}^1{)}^2)=\frac{{\partial }_0{\overline{x}}^0}{{\partial }_1{\overline{x}}^1}||\mathrm{\nabla }{\overline{x}}^1|{|}^2\ne 0$となる。
よって変換${\overline{x}}^i={\overline{x}}^i(x^0,x^1)$は座標変換である。

$J^{-1}=\frac{1}{\det J}\left(\begin{array}{cc}{\partial }_1{\overline{x}}^1& -{\partial }_0{\overline{x}}^1\\ -{\partial }_1{\overline{x}}^0& {\partial }_0{\overline{x}}^0\end{array}\right)$
であるから、座標変換後の$h$の成分は
$$\begin{array}{rl}{J}^{-1}{e}^{2\lambda }\left(\begin{array}{cc}ϵ& 0\\ 0& 1\end{array}\right){}^t{J}^{-1}& =\frac{e^{2\lambda }}{\det J^2}\left(\begin{array}{cc}{\partial }_1{\overline{x}}^1& -{\partial }_0{\overline{x}}^1\\ -{\partial }_1{\overline{x}}^0& {\partial }_0{\overline{x}}^0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}ϵ{\partial }_1{\overline{x}}^1& -ϵ{\partial }_1{\overline{x}}^0\\ -{\partial }_0{\overline{x}}^1& {\partial }_0{\overline{x}}^0\end{array}\right)\\ & =\frac{e^{2\lambda }}{\det J^2}\left(\begin{array}{cc}\ast & -ϵ{\partial }_1{\overline{x}}^0{\partial }_1{\overline{x}}^1-{\partial }_0{\overline{x}}^0{\partial }_0{\overline{x}}^1\\ \ast & \ast \end{array}\right)\end{array}$$
となるから非対角成分が消えることが分かる。