Chu-Zhangの隣接関係式3: 2ψ2の部分和
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^n
\end{align}
とする.
前の記事
で2つの隣接関係式
\begin{align} &\Omega(a|b,c,d,e)\\ &=\frac{(1-a/b)(1-a^2q/cde)}{1-a^2q/bcde}\\ &\qquad+\frac{a(1-b)(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/de)}{b(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-a^2q/bcde)}\Omega(aq|bq,c,d,e)\\ &=\frac{(1-a/b)(1-a/c)}{1-a/bc}+\frac{(1-b)(1-c)(1-aq/de)}{(1-bc/a)(1-aq/d)(1-aq/e)}\Omega(aq|bq,cq,d,e) \end{align}
を示した. この$\Omega$に関して,
\begin{align}
\lim_{a\to 0}\Omega(a|b,c,aq/d,aq/e)&=\lim_{a\to 0}\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,aq/d,aq/e;q)_n}{(aq/b,aq/c,d,e;q)_n}\left(\frac{de}{bcq}\right)^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(d,e;q)_n}\left(\frac{de}{bcq}\right)^n
\end{align}
が成り立つ. この右辺を
\begin{align}
\Xi(b,c|d,e):=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(d,e;q)_n}\left(\frac{de}{bcq}\right)^n
\end{align}
とする. これは
\begin{align}
\BQ22{b,c}{d,e}{\frac{de}{bcq}}
\end{align}
の$0\leq n$の部分だけを取り出したものである. Chu-Zhangの隣接関係式の特別な場合として, 今回はこの$\Xi$の隣接関係式を導出したいと思う. まず, 定理1の1つ目の関係式より,
\begin{align}
&\Xi(d,e|b,c)\\
&=\lim_{a\to0}\Omega(a|aq/b,aq/c,d,e)\\
&=\lim_{a\to 0}\frac{(1-b/q)(1-ac/de)}{1-bc/deq}\\
&\qquad+\lim_{a\to 0}\frac{b(1-aq/b)(1-c/d)(1-c/e)(1-aq/de)}{q(1-c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-bc/deq)}\Omega(aq|aq^2/b,aq/c,d,e)\\
&=\frac{1-b/q}{1-bc/deq}+\frac{b(1-c/d)(1-c/e)}{q(1-c)(1-bc/deq)}\Xi(d,e|b,cq)
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\Xi(b,c|d,e)&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq}+\frac{e(1-d/b)(1-d/c)}{q(1-d)(1-de/bcq)}\Xi(b,c|dq,e)
\end{align}
を得る. 次に, 定理1の2つ目の等式より
\begin{align}
&\Xi(b,e|c,d)\\
&\lim_{a\to 0}\Omega(a|b,aq/c,aq/d,e)\\
&=\lim_{a\to 0}\frac{(1-a/b)(1-c/q)}{1-c/bq}+\frac{(1-b)(1-aq/c)(1-d/e)}{(1-bq/c)(1-d)(1-aq/e)}\Omega(aq|bq,aq^2/c,aq/d,e)\\
&=\frac{1-c/q}{1-c/bq}+\frac{(1-b)(1-d/e)}{(1-bq/c)(1-d)}\Xi(bq,e|c,dq)
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\Xi(b,c|d,e)&=\frac{1-e/q}{1-e/bq}+\frac{(1-b)(1-d/c)}{(1-bq/e)(1-d)}\Xi(bq,c|dq,e)
\end{align}
を得る. つまり以下が得られる.
\begin{align} \Xi(b,c|d,e)&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq}+\frac{e(1-d/b)(1-d/c)}{q(1-d)(1-de/bcq)}\Xi(b,c|dq,e)\\ &=\frac{1-e/q}{1-e/bq}+\frac{(1-b)(1-d/c)}{(1-bq/e)(1-d)}\Xi(bq,c|dq,e)\\ &=\frac{(1-d/q)(1-e/q)}{b(1-d/bq)(1-e/bq)}-\frac{(1-b)(1-de/bcq^2)}{b(1-d/bq)(1-e/bq)}\Xi(bq,c|d,e)\\ &=1+\frac{de(1-b)(1-c)}{bcq(1-d)(1-e)}\Xi(bq,cq|dq,eq) \end{align}
この3つ目の等式については, 1つ目の式において$b\mapsto bq$としてから2つ目の式を用いると,
\begin{align}
\Xi(bq,c|d,e)&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq^2}+\frac{e(1-d/bq)(1-d/c)}{q(1-d)(1-de/bcq^2)}\Xi(bq,c|dq,e)\\
&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq^2}+\frac{e(1-d/bq)(1-d/c)}{q(1-d)(1-de/bcq^2)}\frac{(1-bq/e)(1-d)}{(1-b)(1-d/c)}\left(\Xi(b,c|d,e)-\frac{1-e/q}{1-e/bq}\right)\\
&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq^2}-\frac{b(1-e/bq)(1-d/bq)}{(1-b)(1-de/bcq^2)}\left(\Xi(b,c|d,e)-\frac{1-e/q}{1-e/bq}\right)\\
&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq^2}+\frac{b(1-e/q)(1-d/bq)}{(1-b)(1-de/bcq^2)}-\frac{b(1-e/bq)(1-d/bq)}{(1-b)(1-de/bcq^2)}\Xi(b,c|d,e)\\
&=\frac{(1-d/q)(1-e/q)}{(1-b)(1-de/bcq^2)}-\frac{b(1-e/bq)(1-d/bq)}{(1-b)(1-de/bcq^2)}\Xi(b,c|d,e)
\end{align}
より,
\begin{align}
\Xi(b,c|d,e)&=\frac{(1-d/q)(1-e/q)}{b(1-e/bq)(1-d/bq)}-\frac{(1-b)(1-de/bcq^2)}{b(1-e/bq)(1-d/bq)}\Xi(bq,c|d,e)
\end{align}
となって得られる. また, 4つ目の等式に関しては定義から
\begin{align}
\Xi(b,c|d,e)&=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(d,e;q)_n}\left(\frac{de}{bcq}\right)^n\\
&=1+\frac{(1-b)(1-c)}{(1-d)(1-e)}\frac{de}{bcq}\sum_{0\leq n}\frac{(bq,cq;q)_n}{(dq,eq;q)_n}\left(\frac{de}{bcq}\right)^n\\
&=1+\frac{de(1-b)(1-c)}{bcq(1-d)(1-e)}\Xi(bq,cq|dq,eq)
\end{align}
となって得られる.
変換公式
定理2の1つ目の式より,
\begin{align}
\Xi(b,c|dq^k,e)&=\frac{1-e/q}{1-deq^{k-1}/bc}+\frac{e(1-dq^k/b)(1-dq^k/c)}{q(1-dq^k)(1-deq^{k-1}/bc)}\Xi(b,c|dq^{k+1},e)
\end{align}
だから,
\begin{align}
\frac{(d/b,d/c;q)_k}{(d,de/bcq;q)_k}\left(\frac eq\right)^k\Xi(b,c|dq^k,e)&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq}\frac{(d/b,d/c;q)_k}{(d,de/bc;q)_k}\left(\frac eq\right)^k+\frac{(d/b,d/c;q)_{k+1}}{(d,de/bcq;q)_{k+1}}\left(\frac eq\right)^{k+1}\Xi(b,c|dq^{k+1},e)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
\Xi(b,c|d,e)&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq}\sum_{0\leq k}\frac{(d/b,d/c;q)_k}{(d,de/bc;q)_k}\left(\frac eq\right)^k+\lim_{n\to\infty}\frac{(d/b,d/c;q)_n}{(d,de/bcq;q)_n}\left(\frac eq\right)^n\Xi(b,c|dq^n,e)\\
&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq}\Xi(d/b,d/c|d,de/bc)
\end{align}
となる. つまり以下が得られた.
\begin{align} \Xi(b,c|d,e)&=\frac{1-e/q}{1-de/bcq}\Xi(d/b,d/c|d,de/bc) \end{align}
定理2の2つ目の式より,
\begin{align}
\Xi(bq^k,c|dq^k,e)&=\frac{1-e/q}{1-eq^{-k-1}/b}+\frac{(1-bq^k)(1-dq^k/c)}{(1-bq^kq/e)(1-dq^k)}\Xi(bq^{k+1},c|dq^{k+1},e)
\end{align}
だから,
\begin{align}
\frac{(b,d/c;q)_k}{(bq/e,d;q)_k}\Xi(bq^k,c|dq^k,e)&=\frac{1-e/q}{1-e/bq}\frac{(b,d/c;q)_k}{(bq^2/e,d;q)_k}q^k+\frac{(b,d/c;q)_{k+1}}{(bq/e,d;q)_{k+1}}\Xi(bq^{k+1},c|dq^{k+1},e)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
\Xi(b,c|d,e)&=\frac{1-e/q}{1-e/bq}\sum_{0\leq k}\frac{(b,d/c;q)_k}{(bq^2/e,d;q)_k}q^k+\lim_{n\to\infty}\frac{(b,d/c;q)_{n}}{(bq/e,d;q)_{n}}\Xi(bq^n,c|dq^n,e)\\
&=\frac{1-e/q}{1-e/bq}\sum_{0\leq k}\frac{(b,d/c;q)_k}{(bq^2/e,d;q)_k}q^k+\frac{(b,d/c;q)_{\infty}}{(bq/e,d;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(c;q)_k}{(e;q)_k}\left(\frac{de}{bcq}\right)^k\\
\end{align}
となる. つまり, 以下が得られた.
\begin{align} \Xi(b,c|d,e)&=\frac{1-e/q}{1-e/bq}\sum_{0\leq k}\frac{(b,d/c;q)_k}{(bq^2/e,d;q)_k}q^k+\frac{(b,d/c;q)_{\infty}}{(bq/e,d;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(c;q)_k}{(e;q)_k}\left(\frac{de}{bcq}\right)^k \end{align}
が成り立つ.
古典極限
記号の濫用であるが, 以下では上の$\Xi$の古典極限として得られる和
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(b,c)_n}{(d,e)_n}
\end{align}
を$\Xi(b,c|d,e)$と書くことにする. そのとき, 定理2, 3の古典極限は以下のようになる.
\begin{align} \Xi(b,c|d,e)&=\frac{e-1}{d+e-b-c-1}+\frac{(d-b)(d-c)}{d(d+e-b-c-1)}\Xi(b,c|d+1,e)\\ &=\frac{e-1}{e-b-1}+\frac{b(d-c)}{d(1+b-e)}\Xi(b+1,c|d+1,e)\\ &=\frac{(d-1)(e-1)}{(e-b-1)(d-b-1)}-\frac{b(d+e-b-c-2)}{(e-b-1)(d-b-1)}\Xi(b+1,c|d,e)\\ &=1+\frac{bc}{de}\Xi(b+1,c+1|d+1,e+1) \end{align}
\begin{align} \Xi(b,c|d,e)&=\frac{e-1}{d+e-b-c-1}\Xi(d-b,d-c|d,d+e-b-c) \end{align}
定理4の古典極限は右辺第2項にHeineの変換公式を適用して,
\begin{align}
&\frac{(b,d/c;q)_{\infty}}{(bq/e,d;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(c;q)_k}{(e;q)_k}\left(\frac{de}{bcq}\right)^k\\
&=\frac{(b,d/c;q)_{\infty}}{(bq/e,d;q)_{\infty}}\frac{(q,de/bq;q)_{\infty}}{(e,de/bcq;q)_{\infty}}\Q21{e/q,de/bcq}{de/bq}{q}
\end{align}
としてから古典極限を考えることによって, 右辺第2項の古典極限はGaussの超幾何定理より
\begin{align}
&\frac{\Gamma(1+b-e)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(d+e-b-c-1)}{\Gamma(b)\Gamma(d-c)\Gamma(d+e-b-1)}\F21{e-1,d+e-b-c-1}{d+e-b-1}1\\
&=\frac{\Gamma(1+b-e)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(d+e-b-c-1)}{\Gamma(b)\Gamma(d-c)\Gamma(d+e-b-1)}\frac{\Gamma(d+e-b-1)\Gamma(1+c-e)}{\Gamma(d-b)\Gamma(c)}\\
&=\frac{\Gamma(1+b-e)\Gamma(1+c-e)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(d+e-b-c-1)}{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d-b)\Gamma(d-c)}
\end{align}
となる. よって, 定理4の古典極限は以下のようになる.
\begin{align} \Xi(b,c|d,e)&=\frac{e-1}{e-b-1}\Xi(b,d-c|2+b-e,d)+\frac{\Gamma(1+b-e)\Gamma(1+c-e)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(d+e-b-c-1)}{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d-b)\Gamma(d-c)} \end{align}
これは Dougallの${}_2H_2$和公式 の類似と言えるかもしれない.
