【スピン幾何】Dirac形式

スピノルの基本事項

　spinor空間の複素スカラー積の１つであるDirac形式を解説します。

　$\delta =\pm 1$は$n=t+s$に依存します。Dirac形式を行列表示は、複素行列$A$で
$$\begin{array}{rl}& {\gamma }_a^{†}A=\delta A{\gamma }_a\\ & A^{†}=A\end{array}$$
を満たすものにより、
$$\begin{array}{r}⟨\psi ,\varphi ⟩={\psi }^{†}A\varphi \end{array}$$
となります。$\delta ,A$は一意的ではありません。

　Dirac形式が$Spi{n}^{+}(t,s)$不変であることがMajorana形式のときと同様に示されます。

　Dirac形式による双対をDirac共役と呼びます。

　行列表示だと
$$\overline{\psi }={\psi }^{†}A$$
となります。

　Dirac形式は標準模型においてフェルミオンの質量項、運動項、相互作用項を記述するのに使われます。

4次元Lorentzの場合

　$t=1,s=3$の４次元Lorentzのとき、$\delta =1$で、
$$A={\gamma }_0=\left(\begin{array}{cc}0& I_2\\ I_2& 0\end{array}\right)$$
とすることができます。