【スピン幾何】Dirac形式
spinor空間の複素スカラー積の１つであるDirac形式を解説します。
$\Delta:\mathbb{C}l_{(t,s)}\to End(\Delta)$をClifford代数の既約表現とします。$\delta=\pm1$に対して、次を満たす非退化双線形形式$\Delta\times\Delta\to\mathbb{C}$をDirac形式といいます。
- $\langle X\cdot\psi,\phi\rangle=\delta\langle\psi,X\cdot\phi\rangle,\ \psi,\phi\in\Delta,X\in\mathbb{E}^{(t,s)}$
- $\langle\psi,\phi\rangle=\langle\phi,\psi\rangle^*,\ \psi,\phi\in\Delta$
- $\langle\psi,c\phi\rangle=c\langle\psi,\phi\rangle=\langle c^*\psi,\phi\rangle,\ \psi,\phi\in\Delta,\ c\in\mathbb{C}$
$\delta=\pm1$は$n=t+s$に依存します。Dirac形式を行列表示は、複素行列$A$で
\begin{align}
&\gamma_a^\dagger A=\delta A\gamma_a\\
&A^\dagger=A
\end{align}
を満たすものにより、
\begin{align}
\langle\psi,\phi\rangle=\psi^\dagger A\phi
\end{align}
となります。$\delta,A$は一意的ではありません。
Dirac形式が$Spin^+(t,s)$不変であることがMajorana形式のときと同様に示されます。
Dirac形式による双対をDirac共役と呼びます。
$\psi\in\Delta$に対して、$\bar\psi\in\Delta^*$を
$$
\bar\psi(\phi):=\langle\psi,\phi\rangle
$$
と定義する。$\bar\psi$を$\psi$のDirac共役と呼ぶ。
行列表示だと
$$
\bar\psi=\psi^\dagger A
$$
となります。
Dirac形式は標準模型においてフェルミオンの質量項、運動項、相互作用項を記述するのに使われます。
4次元Lorentzの場合
$t=1,s=3$の４次元Lorentzのとき、$\delta=1$で、
$$
A=\gamma_0=\begin{pmatrix}0 & I_2 \\ I_2 & 0\end{pmatrix}
$$
とすることができます。