集合 ⑥
はじめに
こちら ① に、これまでに作成した数学ノートをシリーズとしてまとめています(※)。
※ 読み進める順番は、ページ下部（古い記事）から上部（新しい記事）へです。
$ $
こちら ➁ に、証明を進めるうえでのポイントを随時まとめています。必要に応じて参照してください。
こちら ③ に、数学における基本用語を随時まとめています。必要に応じて参照してください。
$ $
Prop & Proof
集合 $U$ を全体集合とし、$A\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cup\varnothing=A
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cup\varnothing\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。和集合の定義より
$$
x\in A\cup\varnothing\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in\varnothing)
$$
が成り立つ。ここで空集合の定義より、任意の $x$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから、
$$
(x\in A\ \lor\ x\in\varnothing)\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
が成り立つ。
ここでは、命題論理の恒真式
$$
P\lor \bot \ \Leftrightarrow\ P
$$
を使っている。ここで、$\bot$は「偽（False）」を表す命題定数であり、常に偽である命題を表す。
したがって、$P\lor\bot$は「$P$が真である、または偽が真である」という命題であるが、
後者は常に成り立たないので、結局$P\lor\bot$は$P$と同値になる。
$ $
実際、次の真理表により $P\lor\bot$ と $P$ が常に同じ真理値をとることが分かる（よって同値であり、恒真式である）。
$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
P & P\lor \bot & (P\lor \bot)\Leftrightarrow P \\
\hline
T & T & T \\
\hline
F & F & T \\
\hline
\end{array}
$$
空集合の定義より任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから，
$$
x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。したがって
$$
(x\in A\lor x\in\varnothing)
\ \Leftrightarrow\
(x\in A\lor \bot)
\ \Leftrightarrow\
x\in A
$$
が成り立つ。
従って、
$$
x\in A\cup\varnothing\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
が任意の $x\in U$ について成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cup\varnothing=A
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cap\varnothing=\varnothing
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cap\varnothing\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。共通部分の定義より
$$
x\in A\cap\varnothing\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in\varnothing)
$$
が成り立つ。ここで空集合の定義より、任意の $x$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから、
$$
(x\in A\ \land\ x\in\varnothing)\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が成り立つ。
ここでは、命題論理の恒真式
$$
P\land \bot \ \Leftrightarrow\ \bot
$$
を用いている。ここで、$\bot$ は「偽（False）」を表す命題定数であり、常に偽である命題を表す。
したがって、$P\land\bot$ は「$P$ が真であり、かつ偽が真である」という命題であるが、
後者は常に成り立たないので、結局 $P\land\bot$ は常に偽となり、$\bot$ と同値になる。
$ $
実際、次の真理表により $P\land\bot$ と $\bot$ が常に同じ真理値をとることが分かる（よって同値であり、恒真式である）。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
P & \bot & P\land\bot & (P\land\bot)\Leftrightarrow \bot \\
\hline
T & F & F & T \\
\hline
F & F & F & T \\
\hline
\end{array}
$$
空集合の定義より任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから，
$$
x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。したがって
$$
(x\in A\land x\in\varnothing)
\ \Leftrightarrow\
(x\in A\land \bot)
\ \Leftrightarrow\
\bot
\ \Leftrightarrow\
x\in\varnothing
$$
が成り立つ。
従って
$$
x\in A\cap\varnothing\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が任意の $x\in U$ について成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cap\varnothing=\varnothing
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合$U$を全体集合とし、$A\subseteq U$とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cap U=A
$$
集合の等号を示すため、$A\cap U\subseteq A$と$A\subseteq A\cap U$を示す。
$ $
- $A\cap U\subseteq A$を示す。
任意の$x\in U$を取る。$x\in A\cap U$を仮定する。
共通部分の定義より
$$ x\in A\cap U\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in U) $$
が成り立つから、$x\in A\ \land\ x\in U$が成り立つ。よって$x\in A$が従う。
したがって任意の$x\in U$について$(x\in A\cap U\Rightarrow x\in A)$が成り立つ。部分集合の定義より$A\cap U\subseteq A$である。
$ $ - $A\subseteq A\cap U$を示す。
任意の$x\in U$を取る。$x\in A$を仮定する。
ここで$A\subseteq U$より、$x\in A$ならば$x\in U$が従う。したがって$x\in A\ \land\ x\in U$が成り立つ。
よって共通部分の定義より$x\in A\cap U$が従う。
したがって任意の$x\in U$について$(x\in A\Rightarrow x\in A\cap U)$が成り立つ。部分集合の定義より$A\subseteq A\cap U$である。
$ $
-以上より、$A\cap U\subseteq A$と$A\subseteq A\cap U$が成り立つから、集合の等号の定義より
$$
A\cap U=A
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合$U$を全体集合とし、$A\subseteq U$とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cup U=U
$$
集合の等号を示すため、$A\cup U\subseteq U$と$U\subseteq A\cup U$を示す。
$ $
- $A\cup U\subseteq U$を示す。
任意の$x\in U$を取る。$x\in A\cup U$を仮定する。
和集合の定義より
$$ x\in A\cup U\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in U) $$
が成り立つから、$x\in A\ \lor\ x\in U$が成り立つ。
ここで、もし$x\in A$ならば$A\subseteq U$より$x\in U$が従う。もし$x\in U$ならばそのまま$x\in U$である。
したがって$x\in U$が従う。よって任意の$x\in U$について$(x\in A\cup U\Rightarrow x\in U)$が成り立つ。部分集合の定義より$A\cup U\subseteq U$である。
$ $ - $U\subseteq A\cup U$を示す。
任意の$x\in U$を取る。このとき$x\in U$であるから、命題論理より$(x\in A\ \lor\ x\in U)$が成り立つ。
したがって和集合の定義より$x\in A\cup U$が従う。
よって任意の$x\in U$について$(x\in U\Rightarrow x\in A\cup U)$が成り立つ。部分集合の定義より$U\subseteq A\cup U$である。
$ $
-以上より、$A\cup U\subseteq U$と$U\subseteq A\cup U$が成り立つから、集合の等号の定義より
$$
A\cup U=U
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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