大学数学基礎解説

文献あり

二項係数を含む総和についてNo.1

級数,ベータ関数,積分

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

あいさつ

んちゃ！
今回は次のような級数で遊びます。

今回対象としている $x$ は常に収束半径内にあるとし、級数、積分記号の入れ替えなどは特に断りなく行います。

ららら君から $C = 3$ の場合の解法を教えて頂きました！
微分方程式を使うのはシンプルに面白いのです！

ちなみに、筆者にはまだ理解できていない部分があります...。
分かり次第更新いたします。

$A, B \in R, C \in N$ とする。この時、下記の級数について以下の問いに答えよ。
$f (A, B; C; x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A k + B}{(\begin{matrix} C k \\ k \end{matrix})} x^{k}$
(0)本級数の収束半径 $R$ は $C (\frac{C}{C - 1})^{C - 1}$ で与えられる。
(1)C=2の場合
(2)C=3の場合
(3)一般のCの場合(解き方募集中)

(0)に関する回答

Cauchy-Hadamardの定理を使うだけ。

\begin{array}{rcl} R & = & lim_{k \to \infty} \frac{A k + B}{A k + B + A} \frac{(\begin{array}{c} C k + C \\ k + 1 \end{array})}{(\begin{array}{c} C k \\ k \end{array})} \\ = & lim_{k \to \infty} \frac{1}{k + 1} \frac{(C k + C)!}{k! {(C - 1) k + k - 1}!} \frac{k! {(C - 1) k}!}{(C k)!} \\ = & lim_{k \to \infty} \frac{1}{k + 1} \frac{(C k + C) \dots (C k + 1)}{{(C - 1) k + C - 1} \dots {(C - 1) k + 1}} \\ = & C (\frac{C}{C - 1})^{C - 1} \end{array}

前処理

[1]変形1
$\begin{array}{rcl} f (A, B; C; x) & = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A k + B}{(\begin{array}{c} C k \\ k \end{array})} x^{k} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} (A k + B) (C k + 1) B (k + 1, (C - 1) k + 1) x^{k} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} {A C k^{2} + (A + B C) k + B} \int_{0}^{1} (x t)^{k} (1 - t)^{(C - 1) k} d t \end{array}$
[2]メモA
等比級： $S (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} = \frac{1}{1 - x} (| x | < 1)$
派生1: $x \frac{d}{d x} S (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} k x^{k} = \frac{x}{(1 - x)^{2}} (| x | < 1)$
派生2: $(x \frac{d}{d x})^{2} S (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} k^{2} x^{k} = \frac{2 x^{2}}{(1 - x)^{3}} + \frac{x}{(1 - x)^{2}} (| x | < 1)$
[3]メモB
長いから以下の様に変数を定義しておく。
$(x t) (1 - t)^{(C - 1)} = u$
[4]変形2
$\begin{array}{rcl} f (A, B; C; x) & = & \sum_{k = 0}^{\infty} {A C k^{2} + (A + B C) k + B} \int_{0}^{1} u^{k} d t \\ = & \int_{0}^{1} {A C \sum_{k = 0}^{\infty} k^{2} u^{k} + (A + B C) \sum_{k = 0}^{\infty} k u^{k} + B \sum_{k = 0}^{\infty} u^{k}} d t \\ = & \int_{0}^{1} [A C {\frac{2 u^{2}}{(1 - u)^{3}} + \frac{u}{(1 - u)^{2}}} + (A + B C) \frac{u}{(1 - u)^{2}} + B \frac{1}{1 - u}] d t \end{array}$
[5]メモC
被積分関数だけに着目してもう少し簡単になるよう変形しよう。
$\begin{array}{rcl} A C {\frac{2 u^{2}}{(1 - u)^{3}} + \frac{u}{(1 - u)^{2}}} + (A + B C) \frac{u}{(1 - u)^{2}} + B \frac{1}{1 - u} & = & 2 A C \frac{u^{2}}{(1 - u)^{3}} + {A + (A + B) C} \frac{u}{(1 - u)^{2}} + B \frac{1}{1 - u} \\ = & 2 A C \frac{(1 - u)^{2} + 2 u - 2 + 1}{(1 - u)^{3}} + {A + (A + B) C} \frac{u - 1 + 1}{(1 - u)^{2}} + B \frac{1}{1 - u} \\ = & 2 A C \frac{1}{(1 - u)^{3}} + {A + (B - 3 A) C} \frac{1}{(1 - u)^{2}} + {B - A + (A - B) C} \frac{1}{1 - u} \end{array}$
[6]メモD
今回の問題を解くカギは次の積分を求める事。
$I_{k} (C; x) = \int_{0}^{1} \frac{1}{{1 - x t (1 - t)^{C - 1}}^{k}} d t (k = 1, 2, 3)$
[7][6]メモDを用いると問題の回答は次の様に書ける。
$f (A, B; C; x) = 2 A C I_{3} (C; x) + {A + (B - 3 A) C} I_{2} (C; x) + {B - A + (A - B) C} I_{1} (C; x)$

前処理まとめ

本問題を解くことと下記の積分を求める事は等価。
$I_{k} (C; x) = \int_{0}^{1} \frac{1}{{1 - x t (1 - t)^{C - 1}}^{k}} d t (k = 1, 2, 3)$
実際、この積分を求める事が出来れば、次の様に元の級数は与えられるから。
$f (A, B; C; x) = 2 A C I_{3} (C; x) + {A + (B - 3 A) C} I_{2} (C; x) + {B - A + (A - B) C} I_{1} (C; x)$

(1)回答(

C = 2

)

[1]メモA
$\begin{array}{rcl} 1 - x t (1 - t) & = & 1 - x t + x t^{2} \\ = & 1 - \frac{x}{4} + x (t - \frac{1}{2})^{2} \\ = & \frac{4 - x}{4} {1 + x (\frac{2 t}{\sqrt{4 - x}} - \frac{1}{\sqrt{4 - x}})^{2}} \\ = & \frac{4 - x}{4} {1 + (\frac{2 t \sqrt{x}}{\sqrt{4 - x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x}})^{2}} \end{array}$
[2] $u = \frac{2 t \sqrt{x}}{\sqrt{4 - x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x}}, d u = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{4 - x}} d t$
[3]計算
$\begin{array}{rcl} I_{k} (2; x) & = & (\frac{4}{4 - x})^{k} \int_{- \sqrt{\frac{x}{4 - x}}}^{\sqrt{\frac{x}{4 - x}}} \frac{1}{(1 + u^{2})^{k}} \frac{\sqrt{4 - x}}{2 \sqrt{x}} d u \\ = & (\frac{4}{4 - x})^{k} \frac{\sqrt{4 - x}}{2 \sqrt{x}} \int_{- \sqrt{\frac{x}{4 - x}}}^{\sqrt{\frac{x}{4 - x}}} \frac{1}{(1 + u^{2})^{k}} d u (u = \tan θ) \\ = & (\frac{4}{4 - x})^{k} \frac{\sqrt{4 - x}}{\sqrt{x}} \int_{0}^{\tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}}} \cos^{2 (k - 1)} θ d θ \\ = & \frac{4^{k}}{(4 - x)^{k - 1} \sqrt{x (4 - x)}} \int_{0}^{\tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}}} \cos^{2 (k - 1)} θ d θ \end{array}$
[4]メモB
$Θ = \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}}$ とすると以下の様に計算できる。
$\begin{array}{rcl} J_{k} & = & \int_{0}^{Θ} \cos^{2 (k - 1)} θ d θ \\ = & \sin θ \cos^{2 k - 3} θ |_{0}^{Θ} + (2 k - 3) \int_{0}^{Θ} \sin^{2} θ \cos^{2 k - 2} θ d θ \\ = & \sin Θ \cos^{2 k - 3} Θ + (2 k - 3) J_{k - 1} - (2 k - 3) J_{k} \end{array}$
整理して以下の漸化式を得る。
$J_{k} = \frac{1}{2 k - 2} \sin Θ \cos^{2 k - 3} Θ + \frac{2 k - 3}{2 k - 2} J_{k - 1} (k \geq 2)$
以下の事実を用いると
$\begin{array}{r} {\begin{cases} \cos (\tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}}) = \frac{\sqrt{4 - x}}{2} \\ \sin (\tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}}) = \frac{\sqrt{x}}{2} \end{cases} \end{array}$
得られた漸化式は下記の様に書き直せる
$J_{k} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{4 - x})^{2 k - 3}}{2^{2 k - 1} (k - 1)} + \frac{2 k - 3}{2 k - 2} J_{k - 1}$
[6]メモD
$\begin{array}{r} {\begin{cases} J_{1} = \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \\ J_{2} = \frac{\sqrt{x (4 - x)}}{8} + \frac{1}{2} \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \\ J_{3} = \frac{(4 - x) \sqrt{x (4 - x)}}{64} + \frac{5 \sqrt{x (4 - x)}}{32} + \frac{3}{8} \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \end{cases} \end{array}$
[7]メモE
$\begin{array}{r} {\begin{cases} I_{1} = \frac{4}{\sqrt{x (4 - x)}} J_{1} = \frac{4}{\sqrt{x (4 - x)}} \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \\ I_{2} = \frac{16}{(4 - x) \sqrt{x (4 - x)}} J_{2} = \frac{2}{4 - x} + \frac{8}{(4 - x) \sqrt{x (4 - x)}} \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \\ I_{3} = \frac{64}{(4 - x)^{2} \sqrt{x (4 - x)}} J_{3} = \frac{1}{4 - x} + \frac{10}{(4 - x)^{2}} + \frac{24}{(4 - x)^{2} \sqrt{x (4 - x)}} \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \end{cases} \end{array}$
[8]メモF
$\begin{array}{rcl} f (A, B; 2; x) & = & 4 A I_{3} + (2 B - 5 A) I_{2} + (A - B) I_{1} \\ = & \frac{40 A}{(4 - x)^{2}} + \frac{4 B - 6 A}{4 - x} + \frac{4}{\sqrt{x (4 - x)}} (A - B + \frac{2 (2 B - 5 A)}{4 - x} + \frac{6 A}{(4 - x)^{2}}) \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \end{array}$

とても心をすり減らす計算の果てに得た結果だからまとめておこうか。

任意の実数 $A, B \in R$ に対して以下の級数が成り立つ！
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A k + B}{(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})} x^{k} = \frac{40 A}{(4 - x)^{2}} + \frac{4 B - 6 A}{4 - x} + \frac{4}{\sqrt{x (4 - x)}} (A - B + \frac{2 (2 B - 5 A)}{4 - x} + \frac{6 A}{(4 - x)^{2}}) \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} (| x | < 4)$

(2)検算

有名な公式で検算してみよう！
僕のこの記事から抜粋するね。

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})} = \frac{x}{4 - x} + \frac{4 \sqrt{x}}{(4 - x)^{\frac{3}{2}}} \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}}$

問題1(2)の結果において $A = 0, B = 1$ とすると以下の式を得る。
$\begin{array}{rcl} f (0, 1; 2; x) & = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array})} \\ = & \frac{4}{4 - x} + \frac{\sqrt{x}}{(4 - x)^{\frac{3}{2}}} \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \end{array}$

(3) $C = 3$ の場合ららら君の解法

ららら君から $C = 3$ の場合の解法を教えて頂いたので早速く追記いたします！

級数:
$f (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{3 k - 1}}{(\begin{matrix} 3 k \\ k \end{matrix})} (| x |^{3} < \frac{27}{4})$
は以下の様な微分方程式を満たす!
$(4 x^{3} - 27) f^{^{″}} + 30 x^{2} f^{^{'}} + 40 x f + 108 = 0$

[1]計算メモA

\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k - 1} \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(2 k)! k!}{(3 k)!} x^{3 k - 1} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 k + 2)! (k + 1)!}{(3 k + 3)!} x^{3 k + 2} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 k)! k!}{(3 k)!} \frac{(2 k + 2) (2 k + 1) (k + 1)}{(3 k + 3) (3 k + 2) (3 k + 1)} x^{3 k + 2} \\ = & \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 k)! k!}{(3 k)!} \frac{(2 k + 1) (k + 1)}{(3 k + 2) (3 k + 1)} x^{3 k + 2} \\ = & \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 k + 1) (k + 1)}{(3 k + 2) (3 k + 1)} \frac{x^{3 k + 2}}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} \end{array}

[2]計算メモB

\begin{array}{rcl} f^{^{'}} (x) & = & \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{3 k - 1}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k - 2} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(3 k + 2) (2 k + 2) (2 k + 1) (k + 1)}{(3 k + 3) (3 k + 2) (3 k + 1) (\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k + 1} \\ = & \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 k + 1) (k + 1)}{3 k + 1} \frac{x^{3 k + 1}}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} \end{array}

[3]計算メモC

\begin{array}{rcl} f^{^{″}} (x) & = & \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(3 k - 1) (3 k - 2)}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k - 3} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(3 k + 2) (3 k + 1) (2 k + 2) (2 k + 1) (k + 1)}{(3 k + 3) (3 k + 2) (3 k + 1) (\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} \\ = & \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} (2 k + 1) (k + 1) \frac{x^{3 k}}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} \\ = & \frac{4}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k^{2}}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} + 2 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} + \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} \\ = \end{array}

[4]計算メモD
適当な実数

A, B, C \in R

に対して

A x f (x) + B x^{2} f^{^{'}} (x) + C x^{3} f^{^{″}} (x)

を考える。

\begin{array}{rcl} (A x f (x) + B x^{2} f^{^{'}} (x) + C x^{3} f^{^{″}} (x) の x^{3 k + 3} の 係 数) & = & \frac{2 (2 k + 1) (k + 1)}{3 (\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} {A \frac{1}{(3 k + 2) (3 k + 1)} + B \frac{1}{3 k + 1} + C} \\ = & \frac{2 (2 k + 1) (k + 1)}{3 (3 k + 2) (3 k + 1) (\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} {A + B (3 k + 2) + C (3 k + 2) (3 k + 1)} \\ = & \frac{2 (2 k + 1) (k + 1)}{3 (3 k + 2) (3 k + 1) (\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} {9 C k^{2} + 3 (B + 3 C) k + A + 2 B + 2 C} \\ = & \frac{2 (2 k + 2) (2 k + 1) (3 k + 3) (k + 1)}{3 (2 k + 2) (3 k + 3) (3 k + 2) (3 k + 1) (\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} {9 C k^{2} + 3 (B + 3 C) k + A + 2 B + 2 C} \\ = & \frac{1}{(\begin{array}{c} 3 k + 3 \\ k + 1 \end{array})} {9 C k^{2} + 3 (B + 3 C) k + A + 2 B + 2 C} \end{array}

[5]計算メモE
[5-1]

(A, B, C) = (1, 3, 1)

の場合

9 C k^{2} + 3 (B + 3 C) k + A + 2 B + 2 C = 9 k^{2} + 18 k + 9 = 9 (k + 1)^{2}

[5-2]

(A, B, C) = (1, 1, 0)

の場合

9 C k^{2} + 3 (B + 3 C) k + A + 2 B + 2 C = 3 k + 3 = 3 (k + 1)

[5-3]

(A, B, C) = (1, 0, 0)

の場合

9 C k^{2} + 3 (B + 3 C) k + A + 2 B + 2 C = 1

[6]計算メモF

\begin{array}{r} {\begin{cases} x f + 3 x^{2} f^{^{'}} + x^{3} f^{^{″}} = 9 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(k + 1)^{2}}{(\begin{array}{c} 3 k + 3 \\ k + 1 \end{array})} x^{3 k + 3} = 9 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k^{2}}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} - 9 \\ x f + x^{2} f^{^{'}} = 3 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k + 1}{(\begin{array}{c} 3 k + 3 \\ k + 1 \end{array})} x^{3 k + 3} = 3 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} - 3 \\ x f = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(\begin{array}{c} 3 k + 3 \\ k + 1 \end{array})} x^{3 k + 3} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} - 1 \end{cases} \end{array}

[7]計算メモG

\begin{array}{rcl} f^{^{″}} & = & \frac{4}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k^{2}}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} + 2 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} + \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(\begin{array}{c} 3 k \\ k \end{array})} x^{3 k} \\ = & \frac{4}{27} (x f + 3 x^{2} f^{^{'}} + x^{3} f^{^{″}} + 9) + \frac{2}{3} (x f + x^{2} f^{^{'}} + 3) + \frac{2}{3} (x f + 1) \end{array}

[8]結論

(4 x^{3} - 27) f^{^{″}} + 30 x^{2} f^{^{'}} + 40 x f + 108 = 0

ふむ。
微分方程式を導く事は出来たが
ここから先どうすればいいか分からないのだ。
とりあえず、仕事中に思い付いた下記の回答を書いておく事にしよう。

(3) $C = 3$ の場合(ずんだもん)

超幾何数列を使えばいけそう？

実際、 $r_{n} = \frac{1}{(\begin{matrix} 3 k \\ k \end{matrix})}$ とおくと以下の様な漸化式を得る。
$\frac{r_{k + 1}}{r_{k}} = \frac{(k + \frac{1}{2}) (k + 1)^{2}}{(k + \frac{2}{3}) (k + \frac{1}{3}) (k + 1)} \frac{4}{27}$
ゆえに、境界条件 $r_{0} = 1$ より
$r_{k} = \frac{(\frac{1}{2})_{k} (1)_{k} (1)_{k}}{(\frac{2}{3})_{k} (\frac{1}{3})_{k}} \frac{(\frac{4}{27})^{k}}{k!}$
ゆえに、 $f (0, 1; 3; x)$ に代入すると $f (0, 1; 3; x)$ は下記の様に書き直せることが分かる。
$f (0, 1; 3; x) =_{3} F_{2} (\frac{1}{2}, 1, 1; \frac{2}{3}, \frac{1}{3}; \frac{4 x}{27})$
この式を用いると
求める答えは
$f (A, B; 3; x) = (A x \frac{d}{d x} + B)_{3} F_{2} (\frac{1}{2}, 1, 1; \frac{2}{3}, \frac{1}{3}; \frac{4 x}{27})$

解けたうちに入らないかもだけど一応まとめておこう

任意の実数 $A, B \in R$ に対して以下の級数がなり立つ
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A k + B}{(\begin{matrix} 3 k \\ k \end{matrix})} x^{k} = (A x \frac{d}{d x} + B)_{3} F_{2} (\frac{1}{2}, 1, 1; \frac{2}{3}, \frac{1}{3}; \frac{4 x}{27}) (| x | < \frac{27}{4})$