「1からnまでの整数の約数の個数の平均はだいたいlog n」などなど(初投稿！！)

はじめに

はじめましてしとらすです！
初記事で何を書いてやろうかと迷っていた矢先とても面白そ～な発見が飛び込んできました！
やらねば！！！！

本題

$\displaystyle\sum^n_{N=1}d(N)$を考えます
これはつまり、$1,2,...,n$の約数全部を合わせた個数ですね

ところで、$1,2,...,n$の中に$k$を約数に持つ数は$\displaystyle\lfloor\frac{n}{k}\rfloor$個ありますね
ということは、
$$\sum^n_{N=1}d(N)=\sum^n_{k=1}\lfloor\frac{n}{k}\rfloor$$

ですね！！！！
というわけで、この変形が核です
　
あとは
$$\sum^n_{k=1}\left(\frac{n}{k}-1\right)\le\sum^n_{k=1}\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\le\sum^n_{k=1}\frac{n}{k}$$
というふうに上下から抑え付けてやれば
$\displaystyle H_n=\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}$を用いて
$$nH_n-n\le\sum^n_{k=1}\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\le nH_n$$
と書けるので、両辺$n$で割って
$$H_n-1\le\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\le H_n$$
というわけで

が得られた！！
$\displaystyle H_n=\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}≒\int^n_{1}\frac{1}{x}dx=\log n$と近似するなら
「$1$から$n$までの整数の約数の個数の平均はだいたい$\log n$」
ですね！！
おもろ！！

拡張

先程やった
$$\sum^n_{N=1}d(N)=\sum^n_{k=1}\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$
という変形は一般に
$$\sum^n_{N=1}\sum_{d|N}f(d)=\sum^n_{k=1}f(k)\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$

と拡張できます
左辺のシグマを展開して出てくる$f(k)$の個数は$\lfloor n/k\rfloor$なので、という感じですね
というわけで、これに色々代入して遊んでみましょう

$f(n)=n^x$の場合

$f(n)=n^x$を代入すると
$$\sum^n_{N=1}\sigma_x(N)=\sum^n_{k=1}k^x\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$
となる
$\displaystyle\frac{n}{k}-1≦\lfloor \frac{n}{k}\rfloor≦\frac{n}{k}$より
$$n\sum^n_{k=1}k^{x-1}-\sum^n_{k=1}k^x≦\sum^n_{N=1}\sigma_x(N)≦n\sum^n_{k=1}k^{x-1}$$
$n$で割ると
$$\sum^n_{k=1}k^{x-1}-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}k^x≦\frac{1}{n}\sum^n_{N=1}\sigma_x(N)≦\sum^n_{k=1}k^{x-1}$$
$x<0$ならば$\displaystyle\lim_{n→∞}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}k^x=0$なのではさみうちの原理により

が得られた！！

$f(n)=\phi(n)$の場合

$f(n)=\phi(n)$とすると
$$\sum^n_{N=1}\sum_{d|N}\phi(d)=\sum^n_{k=1}\phi(k)\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$
$\displaystyle\sum_{d|N}\phi(d)=N$より式は
$$\frac{n(n+1)}{2}=\sum^n_{k=1}\phi(k)\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$
となる
$\displaystyle\frac{n}{k}-1≦\lfloor \frac{n}{k}\rfloor≦\frac{n}{k}$より
$$n\sum^n_{k=1}\frac{\phi(k)}{k}-\sum^n_{k=1}\phi(k)≦\frac{n(n+1)}{2}≦n\sum^n_{k=1}\frac{\phi(k)}{k}$$
$n^2$で割る
$$\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{\phi(k)}{k}-\frac{1}{n^2}\sum^n_{k=1}\phi(k)≦\frac{n+1}{2n}≦\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{\phi(k)}{k}$$
さて、ところで、$\displaystyle\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{\phi(k)}{k}$というのは「$1$から$n$までの整数$k$について$k$と互いに素な数の割合を平均したもの」だから、$n$を$\infty$に飛ばすと「$2$つの数が互いに素な確率」と解釈できるので
$\displaystyle\lim_{n→∞}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{\phi(k)}{k}=\frac{6}{\pi^2}$
と言えそう(厳密な所が色々と怪しいが)
とりあえずこれを仮定するなら、不等式の$n→∞$の極限は
$$\frac{6}{\pi^2}-\lim_{n→∞}\frac{1}{n^2}\sum^n_{k=1}\phi(k)≦\frac{1}{2}≦\frac{6}{\pi^2}$$
となる
よって(多少怪しい部分はあったが)

が得られ(?)た！！
どうやらWikipedia情報1によると
$$\lim_{n→∞}\frac{1}{n^2}\sum^n_{k=1}\phi(k)=\frac{3}{\pi^2}$$
らしいので、$\displaystyle\frac{6}{\pi^2}-\frac{1}{2}≦\frac{3}{\pi^2}$(約$0.1079≦$約$0.3039$)より、とりあえず間違ったことは言っていなかったっぽいですね

$f(n)=\mu(n)$の場合

$f(n)=\mu(n)$とすると
$$\sum^n_{N=1}\sum_{d|N}\mu(d)=\sum^n_{k=1}\mu(k)\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$
$\displaystyle\sum_{d|N}\mu(d)$は$N=1$において$1$を、でなければ$0$を取るので
$$1=\sum^n_{k=1}\mu(k)\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$
となる
$n$で割って
$$\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\mu(k)\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$
$\displaystyle\lfloor \frac{n}{k}\rfloor=\frac{n}{k}-\{\frac{n}{k}\}$と分解する
$$\frac{1}{n}=\sum^n_{k=1}\frac{\mu(k)}{k}-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\mu(k)\{\frac{n}{k}\}$$
移項して
$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\mu(k)\{\frac{n}{k}\}=\sum^n_{k=1}\frac{\mu(k)}{k}$$
とすると、$\displaystyle\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\mu(k)\{\frac{n}{k}\}$の部分は
$$\left|\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\mu(k)\{\frac{n}{k}\}\right|≦\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\left|\mu(k)\{\frac{n}{k}\}\right|≦\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}1=1$$
より$-1$以上$1$以下の値の収束するので
$$\frac{1}{n}-1≦\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\mu(k)\{\frac{n}{k}\}≦\frac{1}{n}+1$$
となり、$n→∞$の極限を取ればすなわち

が得られた！！

おわり

非自明な命題をたくさん導けましたね！
結構面白いアイデアではありそう
まあというわけで、さいなら～