文献あり

チコノフの定理の証明

本記事では，参考文献 [1], [2] をもとに，ネットの収束を用いたチコノフの定理の証明を紹介します．

ネットの収積点とコンパクト性

ネットの収積点

$(X, O)$ を位相空間とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ 上のネットとする．
このとき点 $y \in X$ が $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の収積点であるとは，任意の $λ \in Λ$ と $y$ の任意の近傍 $N$ に対して， $λ ⪯ λ_{0}$ かつ $x_{λ_{0}} \in N$ を満たす $λ_{0} \in Λ$ が存在することをいう．

収積点の存在は，収束部分ネットの存在と同値である．

$(X, O)$ を位相空間とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ 上のネット， $y \in X$ とする．
このとき，次の2条件は互いに同値である．

$y$ は $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の収積点である．
$(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の部分ネットで $y$ に収束するものが存在する．

$(1) \Rightarrow (2)$ は既に示した． $(2) \Rightarrow (1)$ を示すため， $λ \in Λ$ と $y$ の近傍 $N$ を任意に取る．(2) より $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の部分ネットで $y$ に収束するもの $(x_{ϕ (μ)})_{μ \in M}$ が存在し，次の2性質を満たす $μ_{1}, μ_{2} \in M$ が取れる．

$μ_{1} ⪯ μ$ を満たす任意の $μ \in M$ に対して $λ ⪯ ϕ (μ)$ である．
$μ_{2} ⪯ μ$ を満たす任意の $μ \in M$ に対して $x_{ϕ (μ)} \in N$ である．

そこで ${μ_{1}, μ_{2}}$ の上界 $μ_{0} \in M$ を取り $λ_{0} := ϕ (μ_{0})$ とおけば， $λ ⪯ λ_{0}$ かつ $x_{λ_{0}} \in N$ が成り立つ．

したがって，コンパクト性は次のように特徴づけられる．

ネットの収積点によるコンパクト性の特徴づけ

位相空間 $(X, O)$ について，次の2条件は互いに同値である．

$(X, O)$ はコンパクトである．
$X$ 上の任意のネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ が収積点をもつ．

チコノフの定理の証明

直積位相空間 $X$ のコンパクト性を示すには， $X$ 上のどのネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ にも収積点が存在することを確かめればよい．そのため「一部の成分だけに注目すると収積点が存在する」という状況を考えることから始める．

成分の制限

$(X_{j})_{j \in J}$ を集合族とし， $I$ を $J$ の空でない部分集合とする．

$x = (x_{j})_{j \in J} \in \prod_{j \in J}$ に対して， $x |_{I} := (x_{i})_{i \in I}$ と書く．
写像 ${pr}_{J, I} : \prod_{j \in J} X_{j} \to \prod_{j \in I} X_{j}$ を ${pr}_{J, I} (x) := x |_{I} (x \in \prod_{j \in J})$ で定める．

ここでは，証明を次の3段階に分ける．

「収積点が存在する成分」の包含関係によって半順序集合 $P$ を定義する．
ツォルンの補題を用いて $P$ の極大元の存在を示す．
$P$ の極大元を用いて収積点の存在を示す．

半順序集合 $P$ の定義

「一部の成分だけに注目すると収積点が存在する」という状況を考え，注目した成分と集積点の組全体の集合 $P^{*}$ を考える．
この集合 $P^{*}$ には，「収積点が存在する成分」の包含関係によって次のように前順序が定まる．

前順序集合

P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})

位相空間の空でない族 $((X_{j}, O_{j}))_{j \in J}$ に対して，その直積位相空間を $(X, O)$ とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ 上のネットとする．
このとき， $2^{J} \times X$ の部分集合 $P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ を
$P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ}) := {(I, y) \in 2^{J} \times X ∣ I \neq \emptyset であり， y |_{I} は (x_{λ} |_{I})_{λ \in Λ} の収積点である}$
で定め， $P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ 上の二項関係 $⪯, \sim$ を次式で定める．
$\begin{array}{r} \begin{array}{lll} (I, y) ⪯ (I^{'}, y^{'}) & :⟺ & I \subset I^{'} かつ y |_{I} = y^{'} |_{I}, \\ (I, y) \sim (I^{'}, y^{'}) & :⟺ & (I, y) ⪯ (I^{'}, y^{'}) かつ (I^{'}, y^{'}) ⪯ (I, y) \end{array} ((I, y), (I^{'}, y^{'}) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})) . \end{array}$

ツォルンの補題を使いやすくするため，同値関係で割って半順序集合にしておく．

半順序集合

P ((x_{λ})_{λ \in Λ})

空でない位相空間の空でない族 $((X_{j}, O_{j}))_{j \in J}$ に対して，その直積位相空間を $(X, O)$ とする．
このとき，次のことが成り立つ．

$X$ 上のネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ に対して，上で定義した二項関係 $⪯$ は $P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ 上の前順序である．したがって $\sim$ は $P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ 上の同値関係であり，商集合 $P ((x_{λ})_{λ \in Λ}) := P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ}) / \sim$ は次の二項関係 $\leq$
$[(I, y)] \leq [(I^{'}, y^{'})] :⟺ (I, y) ⪯ (I^{'}, y^{'}) ((I, y), (I^{'}, y^{'}) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ}))$
によって半順序集合となる．（ただし， $(I, y) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ}))$ が代表する同値類を $[(I, y)]$ とした．）
$J$ の空でない部分集合 $I$ に対して，次の2条件は同値である．
1. $\prod_{j \in I} X_{j}$ はコンパクトである．
2. $X$ 上の各ネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ に対して， $(I, y) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ を満たす $y \in X$ が存在する．

$(I, y), (I^{'}, y^{'}), (I^{″}, y^{″}) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ を任意に取る．
- $I \subset I$ と $y |_{I} = y |_{I}$ が成り立つから， $(I, y) ⪯ (I, y)$ である．
- $(I, y) ⪯ (I^{'}, y^{'})$ かつ $(I^{'}, y^{'}) ⪯ (I^{″}, y^{″})$ が成り立つとき， $I \subset I^{'}$ かつ $I^{'} \subset I^{″}$ より $I \subset I^{″}$ である．また $y |_{I} = y^{'} |_{I} = y^{'} |_{I^{'}} |_{I} = y^{″} |_{I^{'}} |_{I} = y^{″} |_{I}$ も成り立つから， $(I, x) ⪯ (I^{″}, x^{″})$ である．
したがって， $⪯$ は $P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ 上の前順序である．
- 1. $\Rightarrow$ 2.） $X$ 上のネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を任意に取る．このとき 1. より $(x_{λ} |_{I})_{λ \in Λ}$ の収積点 $y^{'} \in \prod_{j \in I} X_{j}$ が存在するから， $y |_{I} = y^{'}$ なる $y \in X$ を取れば $(I, y) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ が成り立つ．
- 2. $\Rightarrow$ 1.） $\prod_{j \in I} X_{j}$ 上のネット $(x_{λ}^{'})_{λ \in Λ}$ を任意に取る．このとき $(x_{λ} |_{I})_{λ \in Λ} = (x_{λ}^{'})_{λ \in Λ}$ を満たす $X$ 上のネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を取れば，2. より $(I, y) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ を満たす $y \in X$ が取れるから， $y |_{I}$ は $(x_{λ}^{'})_{λ \in Λ}$ の収積点となる．

チコノフの定理の証明に向けて

直積位相空間 $(X, O)$ がコンパクトであることを証明するには， $X$ 上の各ネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ に対して $(J, y) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ を満たす $y \in X$ が存在することを示せばいい．

極大元の存在

ツォルンの補題を用いて，半順序集合 $P ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ が極大元を持つことを示す．

P ((x_{λ})_{λ \in Λ})

は極大元を持つ

位相空間の空でない族 $((X_{j}, O_{j}))_{j \in J}$ に対して，その直積位相空間を $(X, O)$ とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ 上のネットとする．
また， $C$ を $P ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ の空でない全順序部分集合とする．このとき $J$ の部分集合 $I_{0}$ を
$\begin{aligned} I_{0} & := ⋃ {I \in 2^{J} ∣ [(I, y)] \in C を満たす y \in X が存在する} \end{aligned}$
で定めると，次のことが成り立つ．

$j \in I \cap I^{'}$ を満たす $j \in I_{0}$ と $[(I, y)], [(I^{'}, y^{'})] \in C$ に対して， $y_{j} = y_{j}^{'}$ が成り立つ．
$a \in X$ を任意に取り， $y_{0} \in X$ を
$\begin{aligned} y_{0, j} & := {\begin{cases} y_{j} & (j \in I_{0}; I \in 2^{J} と y \in X は j \in I と [(I, y)] \in C を満たす), \\ a_{j} & (j \notin I_{0}) \end{cases} (j \in J) \end{aligned}$
で定めると，任意の $[(I, y)] \in C$ に対して $I \subset I_{0}$ かつ $y |_{I} = y_{0} |_{I}$ が成り立つ．
$I_{0}$ の空でない任意の有限部分集合 $F$ に対して， $F \subset I$ を満たす $[(I, y)] \in C$ が存在し， $[(I, y)] = [(I, y_{0})]$ が成り立つ．
$(I_{0}, y_{0}) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ である．したがって， $[(I_{0}, y_{0})]$ は $C$ の上界である．

したがって $P ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ が空集合でなければ，ツォルンの補題より $P ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ は極大元をもつ．

$[(I, y)] \leq [(I^{'}, y^{'})]$ の場合， $j \in I \subset I^{'}$ と $y |_{I} = y^{'} |_{I}$ より $y_{j} = y_{j}^{'}$ である． $[(I, y)] \geq [(I^{'}, y^{'})]$ の場合も同様．
$y_{0}$ は (1) よりwell-definedである． $[(I, y)] \in C$ のとき， $I_{0}$ の定義より $I \subset I_{0}$ であり， $y_{0}$ の定義より各 $j \in I$ に対して $y_{0, j} = y_{j}$ が成り立つ．
各 $j \in F$ に対して $j \in I^{j}$ を満たす $I^{j} \in 2^{J}$ と $[(I^{j}, y^{j})] \in C$ を満たす $y^{j} \in X$ を1つずつ取る．このとき ${[(I^{j}, y^{j})] \in C ∣ j \in F}$ の最大元を $[(I, y)]$ とすれば $F \subset I$ が成り立つ．さらに $y |_{I} = y_{0} |_{I}$ より， $(I, y_{0}) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ かつ $[(I, y)] = [(I, y_{0})]$ が成り立つ．
$λ \in Λ$ と $y_{0} |_{I_{0}}$ の近傍 $N$ を任意に取る．直積位相の定義より
$y_{0} |_{I_{0}} \in ⋂_{j \in F} {pr}_{I_{0}, {j}}^{\leftarrow} (U_{j}) \subset N$
を満たす空でない有限集合 $F \subset I_{0}$ と開集合 $U_{j} \subset X_{j}$ （ $j \in F$ ）が取れる．このとき $F \subset I$ を満たす $[(I, y_{0})] \in C$ を考えると，
$y_{0} |_{I_{0}} \in ⋂_{j \in F} {pr}_{I_{0}, {j}}^{\leftarrow} (U_{j}) = {pr}_{I_{0}, I}^{\leftarrow} (⋂_{j \in F} {pr}_{I, {j}}^{\leftarrow} (U_{j}))$
より $⋂_{j \in F} {pr}_{I, {j}}^{\leftarrow} (U_{j})$ は $y_{0} |_{I} = {pr}_{I_{0}, I} (y_{0} |_{I_{0}})$ の開近傍だから，ある $λ_{0} \in Λ$ に対して $λ ⪯ λ_{0}$ かつ
$x_{λ_{0}} |_{I} \in ⋂_{j \in F} {pr}_{I, {j}}^{\leftarrow} (U_{j})$
が成り立つ．よって
$x_{λ_{0}} |_{I_{0}} \in {pr}_{I_{0}, I}^{\leftarrow} ({x_{λ_{0}} |_{I}}) \subset {pr}_{I_{0}, I}^{\leftarrow} (⋂_{j \in F} {pr}_{I, {j}}^{\leftarrow} (U_{j})) \subset N$
だから $(I_{0}, y_{0}) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ である．

収積点の存在

あとは， $P ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ の極大元 $[(I^{*}, y^{*})]$ について $I^{*} = J$ であることを示せばよい．

空でない位相空間 $(X, O_{X}), (Y, O_{Y})$ と $X \times Y$ 上のネット $((x_{λ}, y_{λ}))_{λ \in Λ}$ について， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の収積点 $x \in X$ が存在し， $(Y, O_{Y})$ はコンパクトであるとする．
このとき，ある点 $y \in Y$ が存在し， $(x, y)$ は $((x_{λ}, y_{λ}))_{λ \in Λ}$ の収積点となる．（ただし， $X \times Y$ は直積位相によって位相空間とみなす）

$x$ の近傍系 $N (x)$ を逆包含関係によって有向集合とみなし，集合 $M := {(λ, N) \in Λ \times N (x) ∣ x_{λ} \in N}$ を直積順序の制限によって有向集合とみなす．このとき部分ネット $(x_{λ})_{(λ, N) \in M}$ は $x$ に収束するのだったから， $Y$ のコンパクト性より $(x_{λ}, y_{λ})_{(λ, N) \in M}$ の部分ネットであって，ある点 $(x, y)$ に収束するものが取れる．

この補題から，2つのコンパクト空間の直積がコンパクトであることは直ちに従う．

チコノフの定理

空でないコンパクト位相空間の空でない族 $((X_{j}, O_{j}))_{j \in J}$ に対して，直積位相空間 $(X, O)$ はコンパクトである．

$X$ 上のネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を任意に取ると，因子空間のコンパクト性より $P ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ は空でないから，その極大元の代表元 $(I^{*}, y^{*}) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ を任意に取り $I^{*} = J$ であることを示す．
$I^{*} ⊊ J$ と仮定し， $j^{†} \in J ∖ I^{*}$ を任意に取る．このとき $(X_{j^{†}}, O_{j^{†}})$ のコンパクト性より $({j^{†}}, y^{†}) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ を満たす $y^{†} \in X$ が取れて，前補題より $y^{†}$ の第 $j^{†}$ 成分をうまく取り直すことによって， $(I^{*} \cup {j^{†}}, y^{† †}) \in P^{*} ((x_{λ})_{λ \in Λ})$ と $y^{† †} |_{I^{*}} = y^{†} |_{I^{*}}$ を満たすように $y^{† †} \in X$ を取ることができる．しかしこれは $[(I^{*}, y^{*})] < [(I^{*} \cup {j^{†}}, y^{† †})]$ を意味するから極大性に矛盾する．
したがって $I^{*} = J$ である他ないから， $(X, O)$ はコンパクトである．

誤りがあればご指摘いただけると幸いです．
ここまでお読みいただきありがとうございました．

参考文献

[1]

Paul R. Chernoff, A Simple Proof of Tychonoff's Theorem Via Nets, Mathematical Association of America

[2]

Tychonoff theorem, nLab, 閲覧日 2025年3月9日, https://ncatlab.org/nlab/show/Tychonoff+theorem

投稿日：21日前

更新日：11日前

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