チコノフの定理の証明
本記事では，参考文献 [1], [2] をもとに，ネットの収束を用いたチコノフの定理の証明を紹介します．
ネットの収積点とコンパクト性
$\pair{X,\mathcal{O}}$を位相空間とし，$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を$X$上のネットとする．
このとき点$y\in X$が$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$の収積点であるとは，任意の$\lambda\in\Lambda$と$y$の任意の近傍$N$に対して，$\lambda\preceq\lambda_0$かつ$x_{\lambda_0}\in N$を満たす$\lambda_0\in\Lambda$が存在することをいう．
収積点の存在は，収束部分ネットの存在と同値である．
$\pair{X,\mathcal{O}}$を位相空間とし，$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を$X$上のネット，$y\in X$とする．
このとき，次の2条件は互いに同値である．
- $y$は$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$の収積点である．
- $\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$の部分ネットで$y$に収束するものが存在する．
$(1)\Rightarrow(2)$は 既に示した ．$(2)\Rightarrow(1)$を示すため，$\lambda\in\Lambda$と$y$の近傍$N$を任意に取る．(2) より$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$の部分ネットで$y$に収束するもの$\net{x_{\phi(\mu)}}{\mu\in M}$が存在し，次の2性質を満たす$\mu_1,\mu_2\in M$が取れる．
- $\mu_1\preceq\mu$を満たす任意の$\mu\in M$に対して$\lambda\preceq\phi(\mu)$である．
- $\mu_2\preceq\mu$を満たす任意の$\mu\in M$に対して$x_{\phi(\mu)}\in N$である．
そこで$\{\mu_1,\mu_2\}$の上界$\mu_0\in M$を取り$\lambda_0:=\phi(\mu_0)$とおけば，$\lambda\preceq\lambda_0$かつ$x_{\lambda_0}\in N$が成り立つ．
したがって，コンパクト性は次のように特徴づけられる．
位相空間$\pair{X,\mathcal{O}}$について，次の2条件は互いに同値である．
- $\pair{X,\mathcal{O}}$はコンパクトである．
- $X$上の任意のネット$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$が収積点をもつ．
チコノフの定理の証明
直積位相空間$X$のコンパクト性を示すには，$X$上のどのネット$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$にも収積点が存在することを確かめればよい．そのため「一部の成分だけに注目すると収積点が存在する」という状況を考えることから始める．
$\net{X_j}{j\in J}$を集合族とし，$I$を$J$の空でない部分集合とする．
- $x=\net{x_j}{j\in J}\in \prod_{j\in J}$に対して，$x|_I:=\net{x_i}{i\in I}$と書く．
- 写像$\pr_{J,I}:\prod_{j\in J}X_j\to\prod_{j\in I}X_j$を$\pr_{J,I}(x):=x|_{I}\ (x\in \prod_{j\in J})$で定める．
ここでは，証明を次の3段階に分ける．
- 「収積点が存在する成分」の包含関係によって半順序集合$P$を定義する．
- ツォルンの補題を用いて$P$の極大元の存在を示す．
- $P$の極大元を用いて収積点の存在を示す．
半順序集合$P$の定義
「一部の成分だけに注目すると収積点が存在する」という状況を考え，注目した成分と集積点の組全体の集合$P^{\ast}$を考える．
この集合$P^{\ast}$には，「収積点が存在する成分」の包含関係によって次のように前順序が定まる．
位相空間の空でない族$\net{\pair{X_j,\mathcal{O}_j}}{j\in J}$に対して，その直積位相空間を$\pair{X,\mathcal{O}}$とし，$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を$X$上のネットとする．
このとき，$\powerset{J}\times X$の部分集合$P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$を
$$ P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}):=\{\pair{I,y}\in\powerset{J}\times X\mid
\text{$I\ne \emptyset$ であり，$y|_I$ は $\net{x_\lambda|_{I}}{\lambda\in\Lambda}$ の収積点である}\}$$
で定め，$P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$上の二項関係${\preceq},{\sim}$を次式で定める．
\begin{align*}
\begin{array}{lll}
\pair{I,y}\preceq\pair{I',y'} &:\Longleftrightarrow& \text{$I\subset I'$ かつ $y|_{I}=y'|_{I}$ }, \\
\pair{I,y}\sim\pair{I',y'} &:\Longleftrightarrow& \text{$\pair{I,y}\preceq\pair{I',y'}$ かつ $\pair{I',y'}\preceq\pair{I,y}$ }
\end{array} \qquad (\pair{I,y},\pair{I',y'}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})).
\end{align*}
ツォルンの補題を使いやすくするため，同値関係で割って半順序集合にしておく．
空でない位相空間の空でない族$\net{\pair{X_j,\mathcal{O}_j}}{j\in J}$に対して，その直積位相空間を$\pair{X,\mathcal{O}}$とする．
このとき$X$上のネット$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$に対して，上で定義した二項関係$\preceq$は$P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$上の前順序である．
したがって$\sim$は$P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$上の同値関係であり，商集合$P(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}):=P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})/{\sim}$は次の二項関係$\le$
$$ [\pair{I,y}]\le[\pair{I',y'}] \ :\Longleftrightarrow \pair{I,y}\preceq\pair{I',y'} \qquad (\pair{I,y},\pair{I',y'}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}))$$
によって半順序集合となる．（ただし，$\pair{I,y}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}))$が代表する同値類を$[\pair{I,y}]$とした．）
$\pair{I,y},\pair{I',y'},\pair{I'',y''}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$を任意に取る．
- $I\subset I$と$y|_{I}=y|_{I}$が成り立つから，$\pair{I,y}\preceq\pair{I,y}$である．
- $\pair{I,y}\preceq\pair{I',y'}$かつ$\pair{I',y'}\preceq\pair{I'',y''}$が成り立つとき，$I\subset I'$かつ$I'\subset I''$より$I\subset I''$である．また$y|_{I}=y'|_{I}=y'|_{I'}|_{I}=y''|_{I'}|_{I}=y''|_{I}$も成り立つから，$\pair{I,x}\preceq\pair{I'',x''}$である．
空でない位相空間の空でない族$\net{\pair{X_j,\mathcal{O}_j}}{j\in J}$に対して，その直積位相空間を$\pair{X,\mathcal{O}}$とする．
このとき，$J$の空でない部分集合$I$に対して，次の2条件は同値である．
- $\prod_{j\in I}X_j$はコンパクトである．
- $X$上の各ネット$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$に対して，$\pair{I,y}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$を満たす$y\in X$が存在する．
- (1)$\Rightarrow$(2)： $X$上のネット$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を任意に取る．このとき (1) より$\net{x_\lambda|_{I}}{\lambda\in\Lambda}$の収積点$y'\in \prod_{j\in I}X_j$が存在するから，$y|_{I}=y'$なる$y\in X$を取れば$\pair{I,y}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$が成り立つ．
- (2)$\Rightarrow$(1)： $\prod_{j\in I}X_j$上のネット$\net{x_\lambda'}{\lambda\in\Lambda}$を任意に取る．このとき$\net{x_\lambda|_{I}}{\lambda\in\Lambda}=\net{x_\lambda'}{\lambda\in\Lambda}$を満たす$X$上のネット$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を取れば，(2) より$\pair{I,y}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$を満たす$y\in X$が取れるから，$y|_{I}$は$\net{x_\lambda'}{\lambda\in\Lambda}$の収積点となる．
直積位相空間$\pair{X,\mathcal{O}}$がコンパクトであることを証明するには，$X$上の各ネット$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$に対して$\pair{{\color{red}J},y}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$を満たす$y\in X$が存在することを示せばいい．
極大元の存在
ツォルンの補題を用いて，半順序集合$P(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$が極大元を持つことを示す．
位相空間の空でない族$\net{\pair{X_j,\mathcal{O}_j}}{j\in J}$に対して，その直積位相空間を$\pair{X,\mathcal{O}}$とし，$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を$X$上のネットとする．
また，$C$を$P(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$の空でない全順序部分集合とする．このとき$J$の部分集合$I_0$を
\begin{align*}
I_0&:=\bigcup\{I\in\powerset{J}\mid \text{$[\pair{I,y}]\in C$ を満たす $y\in X$ が存在する}\}
\end{align*}
で定めると，次のことが成り立つ．
- $j\in I\cap I'$を満たす$j\in I_0$と$[\pair{I,y}],[\pair{I',y'}]\in C$に対して，$y_j=y_j'$が成り立つ．
- $a\in X$を任意に取り，$y_0\in X$を
\begin{align*} y_{0,j}&:=\begin{cases} y_j & (j\in I_0; \text{$I\in\powerset{J}$ と $y\in X$ は $j\in I$ と $[\pair{I,y}]\in C$ を満たす}), \\ a_j & (j\not\in I_0) \end{cases} \qquad (j\in J) \end{align*}
で定めると，任意の$[\pair{I,y}]\in C$に対して$I\subset I_0$かつ$y|_{I}=y_0|_{I}$が成り立つ． - $I_0$の空でない任意の有限部分集合$F$に対して，$F\subset I$を満たす$[\pair{I,y}]\in C$が存在し，$[\pair{I,y}]=[\pair{I,y_0}]$が成り立つ．
- $\pair{I_0,y_0}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$である．したがって，$[\pair{I_0,y_0}]$は$C$の上界である．
したがって$P(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$が空集合でなければ，ツォルンの補題より$P(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$は極大元をもつ．
- $[\pair{I,y}]\le[\pair{I',y'}]$の場合，$j\in I\subset I'$と$y|_{I}=y'|_{I}$より$y_j=y'_j$である．$[\pair{I,y}]\ge[\pair{I',y'}]$の場合も同様．
- $y_0$は (1) よりwell-definedである．$[\pair{I,y}]\in C$のとき，$I_0$の定義より$I\subset I_0$であり，$y_0$の定義より各$j\in I$に対して$y_{0,j}=y_j$が成り立つ．
- 各$j\in F$に対して$j\in I^{j}$を満たす$I^{j}\in\powerset{J}$と$[\pair{I^{j},y^{j}}]\in C$を満たす$y^{j}\in X$を1つずつ取る．このとき$\{[\pair{I^{j},y^{j}}]\in C\mid j\in F\}$の最大元を$[\pair{I,y}]$とすれば$F\subset I$が成り立つ．さらに$y|_{I}=y_0|_{I}$より，$\pair{I,y_0}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$かつ$[\pair{I,y}]=[\pair{I,y_0}]$が成り立つ．
- $\lambda\in\Lambda$と$y_0|_{I_0}$の近傍$N$を任意に取る．直積位相の定義より
$$ y_0|_{I_0}\in\bigcap_{j\in F}\pullback{\pr_{I_0,\{j\}}}(U_j)\subset N$$
を満たす空でない有限集合$F\subset I_0$と開集合$U_j\subset X_j$（$j\in F$）が取れる．このとき$F\subset I$を満たす$[\pair{I,y_0}]\in C$を考えると，
$$ y_0|_{I_0}\in\bigcap_{j\in F}\pullback{\pr_{I_0,\{j\}}}(U_j)=\pullback{\pr_{I_0,I}}\bigg(\bigcap_{j\in F}\pullback{\pr_{I,\{j\}}}(U_j)\bigg)$$
より$\bigcap_{j\in F}\pullback{\pr_{I,\{j\}}}(U_j)$は$y_0|_{I}=\pr_{I_0,I}(y_0|_{I_0})$の開近傍だから，ある$\lambda_0\in\Lambda$に対して$\lambda\preceq\lambda_0$かつ
$$ x_{\lambda_0}|_{I}\in\bigcap_{j\in F}\pullback{\pr_{I,\{j\}}}(U_j)$$
が成り立つ．よって
$$ x_{\lambda_0}|_{I_0}\in\pullback{\pr_{I_0,I}}(\{x_{\lambda_0}|_{I}\})\subset\pullback{\pr_{I_0,I}}\bigg(\bigcap_{j\in F}\pullback{\pr_{I,\{j\}}}(U_j)\bigg)\subset N$$
だから$\pair{I_0,y_0}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$である．
収積点の存在
あとは，$P(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$の極大元$[\pair{I^{\ast},y^{\ast}}]$について$I^{\ast}=J$であることを示せばよい．
空でない位相空間$\pair{X,\mathcal{O}_X},\pair{Y,\mathcal{O}_Y}$と$X\times Y$上のネット$\net{\pair{x_\lambda,y_\lambda}}{\lambda\in\Lambda}$について，$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$の収積点$x\in X$が存在し，$\pair{Y,\mathcal{O}_Y}$はコンパクトであるとする．
このとき，ある点$y\in Y$が存在し，$\pair{x,y}$は$\net{\pair{x_\lambda,y_\lambda}}{\lambda\in\Lambda}$の収積点となる．（ただし，$X\times Y$は直積位相によって位相空間とみなす）
$x$の近傍系$\mathcal{N}(x)$を逆包含関係によって有向集合とみなし，集合$M:=\{\pair{\lambda,N}\in\Lambda\times\mathcal{N}(x)\mid x_\lambda \in N\}$を直積順序の制限によって有向集合とみなす．このとき部分ネット$\net{x_\lambda}{\pair{\lambda,N}\in M}$は$x$に収束するのだったから，$Y$のコンパクト性より$\net{x_\lambda,y_\lambda}{\pair{\lambda,N}\in M}$の部分ネットであって，ある点$\pair{x,y}$に収束するものが取れる．
この補題から，2つのコンパクト空間の直積がコンパクトであることは直ちに従う．
この補題の証明には本節 チコノフの定理の証明 の内容（$P$の定義や極大元の存在）を使っていないことにも注意せよ．
空でないコンパクト位相空間の空でない族$\net{\pair{X_j,\mathcal{O}_j}}{j\in J}$に対して，直積位相空間$\pair{X,\mathcal{O}}$はコンパクトである．
$X$上のネット$\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を任意に取ると，因子空間のコンパクト性より$P(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$は空でないから，その極大元の代表元$\pair{I^{\ast},y^{\ast}}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$を任意に取り$I^{\ast}=J$であることを示す．
$I^{\ast}\subsetneq J$と仮定し，$j^{\dagger}\in J\setminus I^{\ast}$を任意に取る．このとき$\pair{X_{j^{\dagger}},\mathcal{O}_{j^{\dagger}}}$のコンパクト性より$\pair{\{j^{\dagger}\},y^{\dagger}}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$を満たす$y^{\dagger}\in X$が取れて，前補題より$y^{\dagger}$の第$j^{\dagger}$成分をうまく取り直すことによって，$\pair{I^{\ast}\cup\{j^{\dagger}\},y^{\dagger\dagger}}\in P^{\ast}(\net{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda})$と$y^{\dagger\dagger}|_{I^{\ast}}=y^{\dagger}|_{I^{\ast}}$を満たすように$y^{\dagger\dagger}\in X$を取ることができる．しかしこれは$[\pair{I^{\ast},y^{\ast}}]<[\pair{I^{\ast}\cup\{j^{\dagger}\},y^{\dagger\dagger}}]$を意味するから極大性に矛盾する．
したがって$I^{\ast}=J$である他ないから，$\pair{X,\mathcal{O}}$はコンパクトである．
誤りがあればご指摘いただけると幸いです．
ここまでお読みいただきありがとうございました．
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