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mod 10のRogers-Ramanujan型恒等式

今回はmod 10のRogers-Ramanujan型恒等式を示す. 以下の両側Bailey対に関する定理を用いる.

Berkovich-McCoy-Schilling(1996)

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関する両側Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} & = \frac{(a q, a q / b c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} (b, c; q)_{n} {(\frac{a q}{b c})}^{n} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

特に, $a = q, b = - q, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$(α_{n}, β_{n})$ が $q$ に関する両側Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} q^{\frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n} α_{n} & = \frac{(q^{2}; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} (- q; q)_{n} q^{\frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

また, $b, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関する両側Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} a^{n} q^{n^{2}} α_{n} & = (a q; q)_{\infty} \sum_{n \in Z} a^{n} q^{n^{2}} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{3}{2} n^{2} - \frac{n}{2}}}{(q; q^{2})_{n} (q; q)_{n}} & = \frac{(q^{4}, q^{6}, q^{10}; q^{10})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{3}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n}}{(q; q^{2})_{n + 1} (q; q)_{n}} & = \frac{(q^{2}, q^{8}, q^{10}; q^{10})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

前の記事において示した等式
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{4 k}}{1 - a} \frac{(b, c; q^{2})_{k} q^{2 k^{2}}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c; q^{2})_{k} (a q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} {(\frac{a^{2}}{b c})}^{k} \\ = \frac{(q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q / b, a q / c; q^{2})_{\infty}}{(q, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q / b c; q^{2})_{\infty}} \frac{(a^{2} q / b c; q^{2})_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (a q; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
において, $b = a, a \to 1$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(c; q^{2})_{k} q^{2 k^{2}}}{(q^{2} / c; q^{2})_{k} (q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k} c^{k}} = \frac{(q / c; q^{2})_{n}}{(q, q / c; q)_{n} (q; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
ここで, $c \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(- 1)^{k} q^{k^{2} + k}}{(q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} = \frac{q^{\frac{1}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
ここで, 系2を用いると,
$\begin{aligned} (q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{3}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + n} \\ = (q^{4}, q^{6}, q^{10}; q^{10})_{\infty} \end{aligned}$
となって1つ目の等式が得られる. 先ほどの等式
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{4 k}}{1 - a} \frac{(b, c; q^{2})_{k} q^{2 k^{2}}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c; q^{2})_{k} (a q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} {(\frac{a^{2}}{b c})}^{k} \\ = \frac{(q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q / b, a q / c; q^{2})_{\infty}}{(q, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q / b c; q^{2})_{\infty}} \frac{(a^{2} q / b c; q^{2})_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (a q; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
において, $b = a, a \to q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - q^{4 k + 2}) (c; q^{2})_{k} q^{2 k^{2}}}{(q^{4} / c; q^{2})_{k} (q^{2}; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k}} {(\frac{q^{2}}{c})}^{k} = \frac{(q^{3} / c; q^{2})_{n}}{(q, q^{3} / c; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
ここで, $c \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - q^{4 k + 2}) (- 1)^{k} q^{k^{2} - k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k}} & = \frac{q^{\frac{1}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n}}{(q; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
ここで, $q^{n} (1 - q^{4 k + 2}) = q^{2 k} (1 - q^{n + 2 k + 2}) - q^{2 k} (1 - q^{n - 2 k})$
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} (\frac{(- 1)^{k} q^{k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} - \frac{(- 1)^{k} q^{k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k - 1}}) & = \frac{q^{\frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n}}{(q; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
これは
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(- 1)^{k} q^{k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} & = \frac{q^{\frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n}}{(q; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
と書き表される. よって, これに系2を用いると,
$\begin{aligned} (q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{3}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n + 1}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + 3 n} \\ = (q^{2}, q^{8}, q^{10}; q^{10})_{\infty} \end{aligned}$
となって2つ目の等式が示される.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q)_{n} q^{\frac{1}{2} n^{2} + \frac{n}{2}}}{(q; q^{2})_{n + 1} (q; q)_{n}} & = \frac{(- q; q)_{\infty} (q^{3}, q^{7}, q^{10}; q^{10})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q)_{n} q^{\frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n}}{(q; q^{2})_{n + 1} (q; q)_{n}} & = \frac{(- q; q)_{\infty} (q, q^{9}, q^{10}; q^{10})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

先ほどの等式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - q^{4 k + 2}) (c; q^{2})_{k} q^{2 k^{2}}}{(q^{4} / c; q^{2})_{k} (q^{2}; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k}} {(\frac{q^{2}}{c})}^{k} = \frac{(q^{3} / c; q^{2})_{n}}{(q, q^{3} / c; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
において, $c \to \infty$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - q^{4 k + 2}) (- 1)^{k} q^{3 k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k}} = \frac{1}{(q; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
を得る. $1 - q^{4 k + 2} = (1 - q^{n + 2 k + 2}) - q^{4 k + 2} (1 - q^{n - 2 k})$ と $q^{n} (1 - q^{4 k + 2}) = q^{2 k} (1 - q^{n + 2 k + 2}) - q^{2 k} (1 - q^{n - 2 k})$ を用いると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} (\frac{(- 1)^{k} q^{3 k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} - \frac{(- 1)^{k} q^{3 k^{2} + 5 k + 1}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k - 1}}) & = \frac{1}{(q; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \\ \sum_{0 \leq k} (\frac{(- 1)^{k} q^{3 k^{2} + 3 k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} - \frac{(- 1)^{k} q^{3 k^{2} + 3 k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k - 1}}) & = \frac{q^{n}}{(q; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
が得られる. これは
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(- 1)^{k} q^{3 k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} & = \frac{1}{(q; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \\ \sum_{k \in Z} \frac{(- 1)^{k} q^{3 k^{2} + 3 k}}{(q^{2}; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} & = \frac{q^{n}}{(q; q)_{n} (q^{3}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
と書き表される. よって, これらに系1を適用すると
$\begin{aligned} \frac{(q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q)_{n} q^{\frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n + 1}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + 2 n} = (q^{3}, q^{7}, q^{10}; q^{10})_{\infty} \\ \frac{(q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q)_{n} q^{\frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n + 1}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + 4 n} = (q, q^{9}, q^{10}; q^{10})_{\infty} \end{aligned}$
となって示される.