Chu-Zhangの隣接関係式4: 1ψ1の部分和

前の記事 で
\begin{align} \Omega(a|b,c,d,e):=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^n \end{align}
に関するChu-Zhangの隣接関係式の特別な場合として,
\begin{align} \Xi(b,c|d,e):=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(d,e;q)_n}\left(\frac{de}{bcq}\right)^n \end{align}
の隣接関係式を得た. それを用いて示した 前の記事 の定理4は以下のようなものである.

今回は, この第2項に現れている級数の変数を置き換えた
\begin{align} \omega(a,b|x):=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n \end{align}
が満たす隣接関係式を, 前の記事 で示した以下の$\Xi$の隣接関係式から導きたいと思う.

$\omega$は定義から
\begin{align} \omega(b,d|x)=\lim_{c\to 0}\Xi(b,c|d,bcxq/d) \end{align}
と表される. よって, 定理2の1つ目の等式より,
\begin{align} \omega(b,d|x)&=\lim_{c\to 0}\frac{1-bcx/d}{1-x}+\frac{bcx(1-d/b)(1-d/c)}{d(1-d)(1-x)}\Xi(b,c|dq,bcxq/d)\\ &=\frac{1}{1-x}-\frac{bx(1-d/b)}{(1-d)(1-x)}\omega(b,dq|xq)\\ \end{align}
となる. つまり,
\begin{align} \omega(a,b|x)&=\frac 1{1-x}-\frac{ax(1-b/a)}{(1-b)(1-x)}\omega(a,bq|xq) \end{align}
を得る. 次に, 定理2の2つ目の等式で$b,c$を入れ替えたものより,
\begin{align} \omega(b,d|x)&=\lim_{c\to 0}\frac{(1-d/q)(1-bcx/d)}{c(1-bx/d)(1-d/cq)}-\frac{(1-c)(1-x/q)}{c(1-bx/d)(1-d/cq)}\Xi(b,cq|d,bcxq/d)\\ &=\frac{1-q/d}{1-bx/d}+\frac{q(1-x/q)}{d(1-bx/d)}\omega(b,d|x/q) \end{align}
となる. $x\mapsto xq$として
\begin{align} \omega(b,d|x)=\frac{1-d/q}{1-x}+\frac{d(1-bxq/d)}{q(1-x)}\omega(b,d|xq) \end{align}
を得る. 変数を置き換えて
\begin{align} \omega(a,b|x)=\frac{1-b/q}{1-x}+\frac{b(1-axq/b)}{q(1-x)}\omega(a,b|xq) \end{align}
となる. これを用いて, 先ほど示した式から
\begin{align} \omega(a,b|x)&=\frac 1{1-x}-\frac{ax(1-b/a)}{(1-b)(1-x)}\omega(a,bq|xq)\\ &=\frac 1{1-x}-\frac{ax(1-b/a)}{b(1-b)(1-ax/b)}\left(\omega(a,bq|x)-\frac{1-b}{1-x}\right)\\ &=\frac 1{1-x}-\frac{ax(1-b/a)}{b(1-b)(1-ax/b)}\omega(a,bq|x)+\frac{ax(1-b/a)}{b(1-x)(1-ax/b)}\\ &=\frac{b(1-ax/b)+ax(1-b/a)}{b(1-x)(1-ax/b)}-\frac{ax(1-b/a)}{b(1-b)(1-ax/b)}\omega(a,bq|x)\\ &=\frac{1}{1-ax/b}-\frac{ax(1-b/a)}{b(1-b)(1-ax/b)}\omega(a,bq|x) \end{align}
と変形できる. ここで, $\omega$の定義より
\begin{align} \omega(a,b|x)&=1+\frac{1-a}{1-b}x\sum_{0\leq n}\frac{(aq;q)_n}{(bq;q)_n}x^n\\ &=1+\frac{1-a}{1-b}x\omega(aq,bq|x) \end{align}
であるから, 先ほどの式
\begin{align} \omega(a,b|x)=\frac{1}{1-ax/b}-\frac{ax(1-b/a)}{b(1-b)(1-ax/b)}\omega(a,bq|x) \end{align}
において$a\mapsto aq$としたものは
\begin{align} \omega(aq,b|x)&=\frac{1}{1-axq/b}-\frac{axq(1-b/aq)}{b(1-b)(1-axq/b)}\omega(aq,bq|x)\\ &=\frac{1}{1-axq/b}-\frac{aq(1-b/aq)}{b(1-a)(1-axq/b)}(\omega(a,b|x)-1)\\ &=\frac{1}{1-axq/b}+\frac{aq(1-b/aq)}{b(1-a)(1-axq/b)}-\frac{aq(1-b/aq)}{b(1-a)(1-axq/b)}\omega(a,b|x)\\ &=\frac{a(q-b)}{b(1-a)(1-axq/b)}-\frac{aq(1-b/aq)}{b(1-a)(1-axq/b)}\omega(a,b|x) \end{align}
つまり,
\begin{align} \omega(a,b|x)&=\frac{1-b/q}{1-b/aq}-\frac{b(1-a)(1-axq/b)}{aq(1-b/aq)}\omega(aq,b|x) \end{align}
を得る. まとめると以下のようになる.

これらは全てを$\omega$の定義から直接証明してもそれほど難しくはない. しかし, 今回はこれらがChu-Zhangの隣接関係式の特別な場合になっているということを強調するために定理2から導くという方針で示した.

Rogers-Fineの恒等式

定理3の応用として Rogers-Fineの恒等式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,axq/b;q)_n}{(b;q)_n(x;q)_{n+1}}(bx)^nq^{n^2-n}(1-axq^{2n}) \end{align}
を示すことができる. 定理3の5つ目の等式の右辺に3つ目の等式を適用すると,
\begin{align} \omega(a,b|x)&=1+\frac{1-a}{1-b}x\omega(aq,bq|x)\\ &=1+\frac{1-a}{1-b}x\left(\frac{1-b}{1-x}+\frac{b(1-axq/b)}{1-x}\omega(aq,bq|xq)\right)\\ &=\frac{1-ax}{1-x}+\frac{bx(1-a)(1-axq/b)}{(1-b)(1-x)}\omega(aq,bq|xq) \end{align}
となる. ここで, $a,b,x$を$aq^k,bq^k,xq^k$に置き換えて,
\begin{align} \omega(aq^k,bq^k|xq^k)&=\frac{1-axq^{2k}}{1-xq^k}+\frac{bxq^{2k}(1-aq^k)(1-axq^k/b)}{(1-bq^k)(1-xq^k)}\omega(aq^{k+1},bq^{k+1}|xq^{k+1}) \end{align}
両辺に
\begin{align} \frac{(a,axq/b;q)_k}{(b,x;q)_k}(bx)^kq^{k^2-k} \end{align}
を掛けると,
\begin{align} \frac{(a,axq/b;q)_k}{(b,x;q)_k}(bx)^kq^{k^2-k}\omega(aq^k,bq^k|xq^k)&=\frac{(1-axq^{2k})(a,axq/b;q)_k}{(b;q)_k(x;q)_{k+1}}(bx)^kq^{k^2-k}\\ &\qquad+\frac{(a,axq/b;q)_{k+1}}{(b,x;q)_{k+1}}(bx)^{k+1}q^{(k+1)^2-(k+1)}\omega(aq^{k+1},bq^{k+1}|xq^{k+1}) \end{align}
を得る. よって, これを$0\leq k$で足し合わせて,
\begin{align} \omega(a,b|x)&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-axq^{2k})(a,axq/b;q)_k}{(b;q)_k(x;q)_{k+1}}(bx)^kq^{k^2-k}\\ &\qquad+\lim_{n\to\infty}\frac{(a,axq/b;q)_n}{(b,x;q)_n}(bx)^nq^{n^2-n}\omega(aq^n,bq^n|xq^n)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-axq^{2k})(a,axq/b;q)_k}{(b;q)_k(x;q)_{k+1}}(bx)^kq^{k^2-k} \end{align}
を得る. これはRogers-Fineの恒等式である.

古典極限

改めて
\begin{align} \omega(a,b|x):=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{(b)_n}x^n \end{align}
とする. 定理3の古典極限を考えると以下を得る.