直積集合 ⑧

Prop & Proof

$A\subseteq B$ を仮定する。
$$ A\times C\subseteq B\times C $$
を示すため、任意の $(x,y)\in A\times C$ をとる。
直積集合の定義より
$$ x\in A\ \land\ y\in C $$
が成り立つ。ここで、仮定 $A\subseteq B$ より
$$ x\in B $$
が従う。したがって
$$ x\in B\ \land\ y\in C $$
が成り立つ。
ゆえに、再び直積集合の定義より
$$ (x,y)\in B\times C $$
を得る。
$(x,y)\in A\times C$ は任意であったから、部分集合の定義より
$$ A\times C\subseteq B\times C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$A\subseteq B$ を仮定する。
$$ C\times A\subseteq C\times B $$
を示すため、任意の $(x,y)\in C\times A$ をとる。
直積集合の定義より
$$ x\in C\ \land\ y\in A $$
が成り立つ。
ここで、仮定 $A\subseteq B$ より
$$ y\in B $$
が従う。
したがって
$$ x\in C\ \land\ y\in B $$
が成り立つ。
ゆえに、再び直積集合の定義より
$$ (x,y)\in C\times B $$
を得る。
$(x,y)\in C\times A$ は任意であったから、部分集合の定義より
$$ C\times A\subseteq C\times B $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

1. $(\Rightarrow)$ を示す。
   $$ A\times B\subseteq C\times D $$
   と仮定する。
   $ $
   ■ まず $A\subseteq C$ を示す。
   　　任意の $a\in A$ をとる。$B\neq\varnothing$ であるから、ある $b\in B$ が存在する。
   　　このとき、直積集合の定義より
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   　　が成り立つ。
   　　仮定 $A\times B\subseteq C\times D$ より
   $$ (a,b)\in C\times D $$
   　　である。
   　　再び直積集合の定義より
   $$ a\in C\land b\in D $$
   　　が成り立つ。したがって、特に
   $$ a\in C $$
   　　を得る。
   　　$a\in A$ は任意であったから
   $$ A\subseteq C $$
   　　が成り立つ。
   $ $
   ■　次に $B\subseteq D$ を示す。
   　　任意の $b\in B$ をとる。$A\neq\varnothing$ であるから、ある $a\in A$ が存在する。
   　　このとき、直積集合の定義より
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   　　が成り立つ。
   　　仮定 $A\times B\subseteq C\times D$ より
   $$ (a,b)\in C\times D $$
   　　である。
   　　再び直積集合の定義より
   $$ a\in C\land b\in D $$
   　　が成り立つ。したがって、特に
   $$ b\in D $$
   　　を得る。
   　　$b\in B$ は任意であったから
   $$ B\subseteq D $$
   　　が成り立つ。
   $ $
   以上より
   $$ A\subseteq C\land B\subseteq D $$
   が従う。
   $ $
2. $(\Leftarrow)$ を示す。
   $$ A\subseteq C\land B\subseteq D $$
   と仮定する。$A\times B\subseteq C\times D$ を示すため、任意の $(x,y)\in A\times B$ をとる。
   $ $
   直積集合の定義より
   $$ x\in A\land y\in B $$
   が成り立つ。仮定 $A\subseteq C$ および $B\subseteq D$ より
   $$ x\in C\land y\in D $$
   が成り立つ。
   したがって、直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in C\times D $$
   を得る。$(x,y)\in A\times B$ は任意であったから
   $$ A\times B\subseteq C\times D $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上より
$$ A\times B\subseteq C\times D \ \Leftrightarrow\ A\subseteq C\land B\subseteq D $$
が成り立つ。
$$ \Box$$