直積集合 ⑧

Prop&Proof

$A\subseteq B$ を仮定する。
$$ A\times C\subseteq B\times C $$
を示すため、任意の $(x,y)\in A\times C$ をとる。
直積集合の定義より
$$ x\in A\ \land\ y\in C $$
が成り立つ。ここで、仮定 $A\subseteq B$ より
$$ x\in B $$
が従う。したがって
$$ x\in B\ \land\ y\in C $$
が成り立つ。
ゆえに、再び直積集合の定義より
$$ (x,y)\in B\times C $$
を得る。
$(x,y)\in A\times C$ は任意であったから、部分集合の定義より
$$ A\times C\subseteq B\times C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合 $U,V$ に対し、$A,B\subseteq U,\ C\subseteq V$ とする。

1. $A\subseteq B\Rightarrow A\times C\subseteq B\times C$ を示す
   $A\subseteq B$ と仮定する。$A\times C\subseteq B\times C$ を示すため、任意の $(x,y)\in A\times C$ を取る。
   直積集合の定義より、
   $$ x\in A\land y\in C $$
   である。$A\subseteq B$ より $x\in B$ である。したがって、
   $$ x\in B\land y\in C $$
   である。ゆえに、直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in B\times C $$
   である。したがって
   $$ A\times C\subseteq B\times C $$
   である。
   $ $
2. $A\times C\subseteq B\times C\Rightarrow A\subseteq B$ を示す
   $A\times C\subseteq B\times C$ と仮定する。$C\neq\varnothing$ より、ある $c\in C$ が存在する。
   $A\subseteq B$ を示すため、任意の $a\in A$ を取る。このとき $a\in A$ かつ $c\in C$ であるから、直積集合の定義より
   $$ (a,c)\in A\times C $$
   である。仮定 $A\times C\subseteq B\times C$ より
   $$ (a,c)\in B\times C $$
   である。したがって、直積集合の定義より
   $$ a\in B\land c\in C $$
   である。特に $a\in B$ である。
   $a\in A$ は任意であったから
   $$ A\subseteq B $$
   である。

-以上より、
$$ A\times C\subseteq B\times C \Longleftrightarrow A\subseteq B $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$A\subseteq B$ を仮定する。
$$ C\times A\subseteq C\times B $$
を示すため、任意の $(x,y)\in C\times A$ をとる。
直積集合の定義より
$$ x\in C\ \land\ y\in A $$
が成り立つ。
ここで、仮定 $A\subseteq B$ より
$$ y\in B $$
が従う。
したがって
$$ x\in C\ \land\ y\in B $$
が成り立つ。
ゆえに、再び直積集合の定義より
$$ (x,y)\in C\times B $$
を得る。
$(x,y)\in C\times A$ は任意であったから、部分集合の定義より
$$ C\times A\subseteq C\times B $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合 $U,V$ に対し、$A,B\subseteq U,\ C\subseteq V$ とする。

1. $A\subseteq B\Rightarrow C\times A\subseteq C\times B$ を示す
   $A\subseteq B$ と仮定する。
   $$ C\times A\subseteq C\times B $$
   を示すため、任意の $(x,y)\in C\times A$ を取る。
   直積集合の定義より、
   $$ x\in C\land y\in A $$
   である。$A\subseteq B$ より、
   $$ y\in B $$
   である。したがって、
   $$ x\in C\land y\in B $$
   である。ゆえに、直積集合の定義より、
   $$ (x,y)\in C\times B $$
   である。
   $(x,y)\in C\times A$ は任意であったから、
   $$ C\times A\subseteq C\times B $$
   である。
   $ $
2. $C\times A\subseteq C\times B\Rightarrow A\subseteq B$ を示す
   $C\times A\subseteq C\times B$ と仮定する。さらに $C\neq\varnothing$ より、ある $c\in C$ が存在する。
   $A\subseteq B$ を示すため、任意の $a\in A$ を取る。このとき、
   $$ c\in C\land a\in A $$
   であるから、直積集合の定義より、
   $$ (c,a)\in C\times A $$
   である。
   仮定 $C\times A\subseteq C\times B$ より、
   $$ (c,a)\in C\times B $$
   である。したがって、直積集合の定義より、
   $$ c\in C\land a\in B $$
   である。特に、
   $$ a\in B $$
   である。
   $a\in A$ は任意であったから、
   $$ A\subseteq B $$
   である。

-以上より、
$$ C\times A\subseteq C\times B \Longleftrightarrow A\subseteq B $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

1. $(\Rightarrow)$ を示す。
   $$ A\times B\subseteq C\times D $$
   と仮定する。
   $ $
   ■ まず $A\subseteq C$ を示す。
   　　任意の $a\in A$ をとる。$B\neq\varnothing$ であるから、ある $b\in B$ が存在する。
   　　このとき、直積集合の定義より
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   　　が成り立つ。
   　　仮定 $A\times B\subseteq C\times D$ より
   $$ (a,b)\in C\times D $$
   　　である。
   　　再び直積集合の定義より
   $$ a\in C\land b\in D $$
   　　が成り立つ。したがって、特に
   $$ a\in C $$
   　　を得る。
   　　$a\in A$ は任意であったから
   $$ A\subseteq C $$
   　　が成り立つ。
   $ $
   ■　次に $B\subseteq D$ を示す。
   　　任意の $b\in B$ をとる。$A\neq\varnothing$ であるから、ある $a\in A$ が存在する。
   　　このとき、直積集合の定義より
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   　　が成り立つ。
   　　仮定 $A\times B\subseteq C\times D$ より
   $$ (a,b)\in C\times D $$
   　　である。
   　　再び直積集合の定義より
   $$ a\in C\land b\in D $$
   　　が成り立つ。したがって、特に
   $$ b\in D $$
   　　を得る。
   　　$b\in B$ は任意であったから
   $$ B\subseteq D $$
   　　が成り立つ。
   $ $
   以上より
   $$ A\subseteq C\land B\subseteq D $$
   が従う。
   $ $
2. $(\Leftarrow)$ を示す。
   $$ A\subseteq C\land B\subseteq D $$
   と仮定する。$A\times B\subseteq C\times D$ を示すため、任意の $(x,y)\in A\times B$ をとる。
   $ $
   直積集合の定義より
   $$ x\in A\land y\in B $$
   が成り立つ。仮定 $A\subseteq C$ および $B\subseteq D$ より
   $$ x\in C\land y\in D $$
   が成り立つ。
   したがって、直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in C\times D $$
   を得る。$(x,y)\in A\times B$ は任意であったから
   $$ A\times B\subseteq C\times D $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上より
$$ A\times B\subseteq C\times D \ \Leftrightarrow\ A\subseteq C\land B\subseteq D $$
が成り立つ。
$$ \Box$$