距離空間の直積と完備化
距離空間の直積と完備化
まず，距離空間の直積と完備化の関係性を調べる．
$(X,d_X),(Y,d_Y)$を距離空間とし，それらの直積距離空間を$(X\times Y,d_{X\times Y})$，それぞれの完備化を$((\overline{X},d_{\overline{X}}),\iota_X),((\overline{Y},d_{\overline{Y}}),\iota_Y)$とする．
さらに，$(X\times Y,d_{X\times Y})$の完備化を$((\overline{X\times Y},d_{\overline{X\times Y}}),\iota_{X\times Y})$とし，$(\overline{X},d_{\overline{X}}),(\overline{Y},d_{\overline{Y}})$の直積距離空間を$(\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}})$とするとき，$(\overline{X\times Y},d_{\overline{X\times Y}})$と$(\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}})$は等距離同型であることを示せ．
$$
\xymatrix{
X \ar^{\iota_X}[rr] & & \overline{X} \\
X\times Y \ar^{\iota_{X\times Y}}[r] \ar^{\operatorname{pr}_X}[u] \ar_{\operatorname{pr}_Y}[d] & \overline{X\times Y} \ar@{.>}^{?}[r] & \overline{X}\times\overline{Y} \ar@{.>}^{\sim}[l] \ar_{\operatorname{pr}_\overline{X}}[u] \ar^{\operatorname{pr}_\overline{Y}}[d] \\
Y \ar_{\iota_Y}[rr] & & \overline{Y}
}$$
ただし，この記事では距離空間$(X,d_X),(Y,d_Y)$の直積距離空間$(X\times Y,d_{X\times Y})$を
$$
d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)):=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2) \qquad (x_1,x_2\in X,\ y_1,y_2\in Y)
$$
で定義する．距離空間の完備化については，たとえば 距離空間の完備化の構成とその本質的一意性 を参照せよ．
また，直積$X\times Y$から各成分への射影$\operatorname{pr}_X:X\times Y\to X$, $\operatorname{pr}_Y:X\times Y\to Y$を
$$ \operatorname{pr}_X(x,y):=x, \qquad \operatorname{pr}_Y(x,y):=y \qquad (x\in X,\ y\in Y)$$
とする．これらは明らかに一様連続である．
写像${\iota_X}\times{\iota_Y}:X\times Y\to\overline{X}\times\overline{Y}$を
$$ ({\iota_X}\times{\iota_Y})(x,y):=(\iota_X(x),\iota_Y(y)) \qquad (x\in X,\ y\in Y)$$
で定め，$((\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}}),{\iota_X}\times{\iota_Y})$が$(X\times Y,d_{X\times Y})$の完備化であることを示せばよい．
- ${\iota_X}\times{\iota_Y}$の等距離性
\begin{align*} d_{\overline{X}\times\overline{Y}}(({\iota_X}\times{\iota_Y})(x_1,y_1),({\iota_X}\times{\iota_Y})(x_2,y_2)) &=d_{\overline{X}\times\overline{Y}}((\iota_X(x_1),\iota_Y(y_1)),(\iota_X(x_2),\iota_Y(y_2))) \\ &=d_{\overline{X}}(\iota_X(x_1),\iota_X(x_2))+d_{\overline{Y}}(\iota_Y(y_1),\iota_Y(y_2)) \\ &=d_{X}(x_1,x_2)+d_{Y}(y_1,y_2) \\ &=d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)). \end{align*} - $({\iota_X}\times{\iota_Y})(X\times Y)$の稠密性
\begin{align*} \operatorname{Cl}_{\overline{X}\times\overline{Y}}(({\iota_X}\times{\iota_Y})(X\times Y)) &=\operatorname{Cl}_{\overline{X}\times\overline{Y}}({\iota_X(X)}\times{\iota_Y(Y)}) \\ &=\operatorname{Cl}_{\overline{X}}(\iota_X(X))\times\operatorname{Cl}_{\overline{Y}}(\iota_Y(Y)) \\ &=\overline{X}\times\overline{Y}. \end{align*} - $(\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}})$の完備性
$\{(\bar{x}_n,\bar{y}_n)\}$を$(\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}})$のコーシー列とする．このとき射影$\operatorname{pr}_{\overline{X}}:\overline{X}\times\overline{Y}\to\overline{X}$，$\operatorname{pr}_{\overline{Y}}:\overline{X}\times\overline{Y}\to\overline{Y}$の一様連続性より，$\{\bar{x}_n\},\{\bar{y}_n\}$はそれぞれ$(\overline{X},d_{\overline{X}}),(\overline{Y},d_{\overline{Y}})$のコーシー列となる．すると$(\overline{X},d_{\overline{X}}),(\overline{Y},d_{\overline{Y}})$の完備性より，ある$\bar{x}\in\overline{X}$と$\bar{y}\in\overline{Y}$が存在して$\bar{x}_n\to \bar{x}$ in $\overline{X}$かつ$\bar{y}_n\to\bar{y}$ in $\overline{Y}$が成り立つから，
\begin{align*} d_{\overline{X}\times\overline{Y}}((\bar{x}_n,\bar{y}_n),(\bar{x},\bar{y})) &=d_{\overline{X}}(\bar{x}_n,\bar{x})+d_{\overline{Y}}(\bar{y}_n,\bar{y}) \xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{align*}
より$(\bar{x}_n,\bar{y}_n)\to(\bar{x},\bar{y})$ in $\overline{X}\times\overline{Y}$であることが示された．
上記3点より$((\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}}),{\iota_X}\times{\iota_Y})$は$(X\times Y,d_{X\times Y})$の完備化であるから， 完備化の一意性 より${\iota_X}\times{\iota_Y}=\overline{{\iota_X}\times{\iota_Y}}\circ{\iota_{X\times Y}}$を満たす等距離同型写像$\overline{{\iota_X}\times{\iota_Y}}:\overline{X\times Y}\to\overline{X}\times\overline{Y}$が一意に定まる．
要するに，${\iota_X}\times{\iota_Y}$と$\overline{{\iota_X}\times{\iota_Y}}$は次の図式を可換にするものである．
$$
\xymatrix{
X \ar^{\iota_X}[rr] & & \overline{X} \\
X\times Y \ar^{\iota_{X\times Y}}[r] \ar^{\operatorname{pr}_X}[u] \ar_{\operatorname{pr}_Y}[d] \ar@/_20pt/[rr]_{{\iota_X}\times{\iota_Y}} & \overline{X\times Y} \ar@{.>}^{\overline{{\iota_X}\times{\iota_Y}}}[r]_{\sim} & \overline{X}\times\overline{Y} \ar_{\operatorname{pr}_\overline{X}}[u] \ar^{\operatorname{pr}_\overline{Y}}[d] \\
Y \ar_{\iota_Y}[rr] & & \overline{Y}
}$$
距離と完備化
一様連続写像は，一様連続性を保ったまま，その定義域を完備化へと拡張できるのだった．（参考：ノルム空間・内積空間の完備化 の命題3（距離空間の完備化の普遍性））
ところで三角不等式から直ちに，距離の一様連続性が得られる．
距離空間$(X,d_X)$について，写像$d_X:X\times X\to\mathbb{R}$は一様連続である．
（ただし，$X\times X$は直積距離$d_{X\times X}$によって，$\mathbb{R}$はユークリッド距離によって，それぞれ距離空間とみなしている．）
$d_X$の（最適）一様連続度$\omega_{d_X}:[0,\infty]\to[0,\infty]$を
$$
\omega_{d_X}(\delta):=\sup\{|d_X(x_1,y_1)-d_X(x_2,y_2)|\mid d_{X\times X}((x_1,y_1),(x_2,y_2))\le\delta\} \qquad (\delta\in[0,\infty])
$$
とし，$\delta\in[0,\infty]$を任意に取る．
このとき，$d_{X\times X}((x_1,y_1),(x_2,y_2))\le\delta$を満たす任意の$x_1,y_1,x_2,y_2\in X$に対して，距離空間の完備化の構成とその本質的一意性 の補題4（距離関数の連続性）より
\begin{align*}
|d_X(x_1,y_1)-d_X(x_2,y_2)|
&\le d_X(x_1,x_2)+d_X(y_1,y_2) \\
&= d_{X\times X}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \\
&\le\delta
\end{align*}
が成り立つから，$\omega_{d_X}(\delta)\le\delta$を得る．したがって，はさみうちの原理より$\delta\to +0$のとき$\omega_{d_X}(\delta)\to 0$となるから，$d_X$は一様連続である．
よって，$d_X=\overline{d_X}\circ{\iota_{X\times X}}$を満たす一様連続写像$\overline{d_X}:\overline{X\times X}\to\mathbb{R}$が一意に定まる．
$$\xymatrix{X\times X\ar^{d_X}[r]\ar_{\iota_{X\times X}}[d]&\mathbb{R}\\\overline{X\times X}\ar@{.>}_{{}^{\exists!}\overline{d_X}}[ur]}$$
ところで$\overline{X\times X}$は$\overline{X}\times\overline{X}$と等距離同型だから，$\overline{d_X}$は$\overline{X}\times\overline{X}$から$\mathbb{R}$への写像とみなせる．
実はこれは$\overline{X}$上の距離$d_{\overline{X}}:\overline{X}\times\overline{X}\to\mathbb{R}$である．
距離空間$(X,d_X)$に対して，その完備化を$((\overline{X},d_{\overline{X}}),\iota_X)$とし，直積距離空間$(X\times X,d_{X\times X})$の完備化を$((\overline{X\times X},d_{\overline{X\times X}}),\iota_{X\times X})$とする．
また，$\overline{d_X}:\overline{X\times X}\to\mathbb{R}$を$d_X=\overline{d_X}\circ{\iota_{X\times X}}$を満たす一意的な一様連続写像とする．
このとき，$\overline{d_X}={d_{\overline{X}}}\circ \Phi$を満たす等距離同型写像$\Phi:\overline{X\times X}\to\overline{X}\times\overline{X}$が存在する．
問題1と同様に，${\iota_X}\times{\iota_X}:X\times X\to\overline{X}\times\overline{X}$を
$$ ({\iota_X}\times{\iota_X})(x,y):=(\iota_X(x),\iota_X(y))\qquad (x,y\in X)$$
で定め，$\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}:\overline{X\times X}\to\overline{X}\times\overline{X}$は${\iota_X}\times{\iota_X}=\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}\circ{\iota_{X\times X}}$を満たす一意的な等距離同型写像とする．
$$\xymatrix{
\overline{X}\times\overline{X}\ar@/^15pt/[rrd]^{d_{\overline{X}}} \\
& X\times X\ar_{{\iota_X}\times{\iota_X}}[lu]\ar^{\iota_{X\times X}}[ld]\ar^{d_X}[r]& \mathbb{R} \\
\overline{X\times X}\ar^{\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}}[uu]\ar@/_15pt/[rru]_{\overline{d_X}}
}$$
このとき，$\iota_X$の等距離性と$\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}$の取り方より
\begin{align*}
d_X
&={d_{\overline{X}}}\circ({\iota_X}\times{\iota_X})
={d_{\overline{X}}}\circ\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}\circ{\iota_{X\times X}}
\end{align*}
が成り立つから，$\overline{d_X}$の定義より$\overline{d_X}={d_{\overline{X}}}\circ \overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}$を得る．
上の命題で，$\Phi$の一意性が成り立つとは限らない．実際，等距離同型写像$f:\overline{X}\to\overline{X}$に対して
$$(f\times f)(\bar{x},\bar{y}):=(f(\bar{x}),f(\bar{y})) \qquad (\bar{x},\bar{y}\in \overline{X})$$
で定める写像${f\times f}:\overline{X}\times\overline{X}\to\overline{X}\times\overline{X}$も等距離同型だから${d_{\overline{X}}}\circ(f\times f)=d_{\overline{X}}$が成り立ち，したがって$\overline{d_X}={d_{\overline{X}}}\circ \Phi$を満たす等距離同型写像$\Phi:\overline{X\times X}\to\overline{X}\times\overline{X}$に対して
$$ \overline{d_X}={d_{\overline{X}}}\circ(f\times f)\circ \Phi$$
となる．もし$f$を恒等写像以外で取ることができれば$(f\times f)\circ\Phi\ne\Phi$だから，$\Phi$の一意性は成り立たない．
ボツ供養
$(X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z)$を距離空間，$f:X\to Y$と$g:Y\to Z$を一様連続写像とし，合成写像$g\circ f:X\to Z$は等距離であると仮定する．このとき，次のことを示せ．
- $f$が等距離かつ$f(X)$が$Y$の稠密部分集合であれば，$g$は等距離である．
- $Y$が完備かつ$(g\circ f)(X)$が$Z$の稠密部分集合であれば，$g$は全射である．
解答例
$y,y'\in Y$を任意に取る．このとき$f(X)$の稠密性から
$$ f(x_n)\to y, \quad f(x_n')\to y' \qquad \text{in $Y$}$$
を満たす$X$の点列$\{x_n\},\{x_n'\}$が取れる．$f$と$g\circ f$の等距離性より
$$ d_Y(f(x_n),f(x_n'))=d_X(x_n,x_n')=d_Z(g(f(x_n)),g(f(x_n')))$$
が成り立つから，$n\to\infty$とすれば$g$と距離の連続性から$d_Y(y,y')=d_Z(g(y),g(y'))$を得る．解答例
$z\in Z$を任意に取る．このとき$(g\circ f)(X)$の稠密性から
$$ (g\circ f)(x_n)\to z \qquad \text{in $Z$}$$
を満たす$X$の点列$\{x_n\}$が取れる．$g\circ f$の等距離性から$\{x_n\}$は$X$のコーシー列であり，$f$の一様連続性から$\{f(x_n)\}$は$Y$のコーシー列となるため，$Y$の完備性より
$$ f(x_n)\to y \qquad \text{in $Y$}$$
を満たす$y\in Y$が存在する．すると$g$の連続性より
$$ (g\circ f)(x_n)\to g(y) \qquad \text{in $Z$}$$
となり，極限の一意性から$z=g(y)$を得る．
追記：距離空間の部分空間と完備化
（2023/09/17：新しく記事を作る程の内容でもないので，この記事に追記しました）
距離空間$X$の部分空間$A$に対して，$X,A$の完備化をそれぞれ$\overline{X},\overline{A}$とするとき，一般には$\overline{A}$が$\overline{X}$の部分空間であるとは限らない．しかし，$\overline{X}$の部分空間として扱えた方がやはり便利なため，ここでは$A$の完備化を$\overline{X}$の部分空間として構成する方法を紹介する．
距離空間$(X,d_X)$の完備化を$((\overline{X},d_{\overline{X}}),\iota_X)$とし，$(X,d_X)$の距離部分空間$(A,d_A)$に対して，$\overline{X}$の部分集合$\widehat{A}$と写像$j_A:A\to\widehat{A}$を次のように定める．
$$ j_A:A\ni a\mapsto \iota_X(a)\in \operatorname{Cl}_{\overline{X}}(\iota_X(A))=:\widehat{A}.$$
このとき，$(\overline{X},d_{\overline{X}})$の距離部分空間$(\widehat{A},d_{\widehat{A}})$と$j_A$の組$((\widehat{A},d_{\widehat{A}}),j_A)$は$(A,d_A)$の完備化であることを示せ．
$$
\xymatrix{
A\ar[r]^{\text{包含}}\ar[d]_{j_A} & X\ar[d]^{\iota_X} \\
\widehat{A}\ar[r]_{\text{包含}} & \overline{X}
}
$$
埋め込み$\iota_X$によって$X$を$\overline{X}$の部分集合$\iota_X(X)$と同一視しているため，$A$は$\iota_X(A)$と同一視される．$\overline{X}$の部分集合であって$\iota_X(A)$を稠密部分集合として含むものは閉包$\operatorname{Cl}_{\overline{X}}(\iota_X(A))$に他ならないから，$A$の完備化として$\operatorname{Cl}_{\overline{X}}(\iota_X(A))$を選ぶのは自然であろう．
任意の$a\in A$に対して
$$\iota_X(a)\in\iota_X(A)\subset\operatorname{Cl}_{\overline{X}}(\iota_X(A))=\widehat{A}$$
が成り立つから，$j_A$は$A$から$\widehat{A}$への写像として定義できている．
- $(\widehat{A},d_{\widehat{A}})$の完備性
$(\widehat{A},d_{\widehat{A}})$は完備距離空間$(\overline{X},d_{\overline{X}})$の閉部分空間だから，それ自身も完備である． - $j_A$の等距離性
$a,b\in A$を任意に取る．このとき
\begin{align*} d_{\widehat{A}}(j_A(a),j_A(b)) =d_{\widehat{A}}(\iota_X(a),\iota_X(b)) =d_{\overline{X}}(\iota_X(a),\iota_X(b)) =d_{X}(a,b) =d_{A}(a,b) \end{align*}
だから，$j_A$は等距離である． - $j_A(A)$の稠密性
$$ \operatorname{Cl}_{\widehat{A}}(j_A(A))=\operatorname{Cl}_{\widehat{A}}(\iota_X(A))=\operatorname{Cl}_{\overline{X}}(\iota_X(A))\cap\widehat{A}=\widehat{A}\cap\widehat{A}=\widehat{A}$$
だから，$j_A(A)$は$\widehat{A}$の稠密部分集合である．
上記3点より，$((\widehat{A},d_{\widehat{A}}),j_A)$は$(A,d_A)$の完備化である．
上の証明には，次の性質を用いた．
- 完備距離空間$(Y,d_Y)$の閉集合$B$について，$(Y,d_Y)$の距離部分空間$(B,d_B)$は完備である．
- 位相空間$(Z,\mathcal{O}_Z)$の位相部分空間$(C,\mathcal{O}_C)$と$C$の部分集合$D$について，$\operatorname{Cl}_C(D)=\operatorname{Cl}_Z(D)\cap C$が成り立つ．ただし，$D$の$(Z,\mathcal{O}_Z),(C,\mathcal{O}_C)$における閉包をそれぞれ$\operatorname{Cl}_Z(D),\operatorname{Cl}_C(D)$とした．
解答例
$B$のコーシー列$\{b_n\}$を任意に取る．このとき$d_B$の定義から$\{b_n\}$は$Y$のコーシー列となるため，$b_n\to y$ in $Y$を満たす$y\in Y$が存在する．いま$B$は閉集合だから，$B$の収束列$\{b_n\}$の極限$y$は$B$に属していて
$$ d_B(b_n,y)=d_Y(b_n,y)\xrightarrow{n\to\infty} 0$$
より$b_n\to y$ in $B$であることがわかった．よって$B$も完備である．解答例
$\operatorname{Cl}_Z(D)$は$Z$の閉集合だから，$\mathcal{O}_C$の定義より$\operatorname{Cl}_Z(D)\cap C$は$C$の閉集合である．また
$$ D=D\cap D\subset\operatorname{Cl}_Z(D)\cap C $$
でもあるから，$\operatorname{Cl}_C(D)\subset\operatorname{Cl}_Z(D)\cap C$がわかった．一方$\operatorname{Cl}_C(D)$は$C$の閉集合だから，$Z$のある閉集合$F$が存在して$\operatorname{Cl}_C(D)=F\cap C$と表せる．すると
$$ D\subset \operatorname{Cl}_C(D)=F\cap C\subset F$$
より$D\subset F$だから$\operatorname{Cl}_Z(D)\subset F$でもあり，
$$ \operatorname{Cl}_C(D)=F\cap C\supset \operatorname{Cl}_Z(D)\cap C$$
を得る．よって$\operatorname{Cl}_C(D)=\operatorname{Cl}_Z(D)\cap C$が示された．