距離空間の直積と完備化

写像${\iota_X}\times{\iota_Y}:X\times Y\to\overline{X}\times\overline{Y}$を
$$ ({\iota_X}\times{\iota_Y})(x,y):=(\iota_X(x),\iota_Y(y)) \qquad (x\in X,\ y\in Y)$$
で定め，$((\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}}),{\iota_X}\times{\iota_Y})$が$(X\times Y,d_{X\times Y})$の完備化であることを示せばよい．

1. ${\iota_X}\times{\iota_Y}$の等距離性
   \begin{align*} d_{\overline{X}\times\overline{Y}}(({\iota_X}\times{\iota_Y})(x_1,y_1),({\iota_X}\times{\iota_Y})(x_2,y_2)) &=d_{\overline{X}\times\overline{Y}}((\iota_X(x_1),\iota_Y(y_1)),(\iota_X(x_2),\iota_Y(y_2))) \\ &=d_{\overline{X}}(\iota_X(x_1),\iota_X(x_2))+d_{\overline{Y}}(\iota_Y(y_1),\iota_Y(y_2)) \\ &=d_{X}(x_1,x_2)+d_{Y}(y_1,y_2) \\ &=d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)). \end{align*}
2. $({\iota_X}\times{\iota_Y})(X\times Y)$の稠密性
   \begin{align*} \operatorname{Cl}_{\overline{X}\times\overline{Y}}(({\iota_X}\times{\iota_Y})(X\times Y)) &=\operatorname{Cl}_{\overline{X}\times\overline{Y}}({\iota_X(X)}\times{\iota_Y(Y)}) \\ &=\operatorname{Cl}_{\overline{X}}(\iota_X(X))\times\operatorname{Cl}_{\overline{Y}}(\iota_Y(Y)) \\ &=\overline{X}\times\overline{Y}. \end{align*}
3. $(\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}})$の完備性
   $\{(\bar{x}_n,\bar{y}_n)\}$を$(\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}})$のコーシー列とする．このとき射影$\operatorname{pr}_{\overline{X}}:\overline{X}\times\overline{Y}\to\overline{X}$，$\operatorname{pr}_{\overline{Y}}:\overline{X}\times\overline{Y}\to\overline{Y}$の一様連続性より，$\{\bar{x}_n\},\{\bar{y}_n\}$はそれぞれ$(\overline{X},d_{\overline{X}}),(\overline{Y},d_{\overline{Y}})$のコーシー列となる．すると$(\overline{X},d_{\overline{X}}),(\overline{Y},d_{\overline{Y}})$の完備性より，ある$\bar{x}\in\overline{X}$と$\bar{y}\in\overline{Y}$が存在して$\bar{x}_n\to \bar{x}$ in $\overline{X}$かつ$\bar{y}_n\to\bar{y}$ in $\overline{Y}$が成り立つから，
   \begin{align*} d_{\overline{X}\times\overline{Y}}((\bar{x}_n,\bar{y}_n),(\bar{x},\bar{y})) &=d_{\overline{X}}(\bar{x}_n,\bar{x})+d_{\overline{Y}}(\bar{y}_n,\bar{y}) \xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{align*}
   より$(\bar{x}_n,\bar{y}_n)\to(\bar{x},\bar{y})$ in $\overline{X}\times\overline{Y}$であることが示された．

上記3点より$((\overline{X}\times\overline{Y},d_{\overline{X}\times\overline{Y}}),{\iota_X}\times{\iota_Y})$は$(X\times Y,d_{X\times Y})$の完備化であるから， 完備化の一意性 より${\iota_X}\times{\iota_Y}=\overline{{\iota_X}\times{\iota_Y}}\circ{\iota_{X\times Y}}$を満たす等距離同型写像$\overline{{\iota_X}\times{\iota_Y}}:\overline{X\times Y}\to\overline{X}\times\overline{Y}$が一意に定まる．

$d_X$の（最適）一様連続度$\omega_{d_X}:[0,\infty]\to[0,\infty]$を
$$ \omega_{d_X}(\delta):=\sup\{|d_X(x_1,y_1)-d_X(x_2,y_2)|\mid d_{X\times X}((x_1,y_1),(x_2,y_2))\le\delta\} \qquad (\delta\in[0,\infty]) $$
とし，$\delta\in[0,\infty]$を任意に取る．
このとき，$d_{X\times X}((x_1,y_1),(x_2,y_2))\le\delta$を満たす任意の$x_1,y_1,x_2,y_2\in X$に対して，距離空間の完備化の構成とその本質的一意性 の補題4（距離関数の連続性）より
\begin{align*} |d_X(x_1,y_1)-d_X(x_2,y_2)| &\le d_X(x_1,x_2)+d_X(y_1,y_2) \\ &= d_{X\times X}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \\ &\le\delta \end{align*}
が成り立つから，$\omega_{d_X}(\delta)\le\delta$を得る．したがって，はさみうちの原理より$\delta\to +0$のとき$\omega_{d_X}(\delta)\to 0$となるから，$d_X$は一様連続である．

問題1と同様に，${\iota_X}\times{\iota_X}:X\times X\to\overline{X}\times\overline{X}$を
$$ ({\iota_X}\times{\iota_X})(x,y):=(\iota_X(x),\iota_X(y))\qquad (x,y\in X)$$
で定め，$\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}:\overline{X\times X}\to\overline{X}\times\overline{X}$は${\iota_X}\times{\iota_X}=\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}\circ{\iota_{X\times X}}$を満たす一意的な等距離同型写像とする．
$$\xymatrix{ \overline{X}\times\overline{X}\ar@/^15pt/[rrd]^{d_{\overline{X}}} \\ & X\times X\ar_{{\iota_X}\times{\iota_X}}[lu]\ar^{\iota_{X\times X}}[ld]\ar^{d_X}[r]& \mathbb{R} \\ \overline{X\times X}\ar^{\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}}[uu]\ar@/_15pt/[rru]_{\overline{d_X}} }$$
このとき，$\iota_X$の等距離性と$\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}$の取り方より
\begin{align*} d_X &={d_{\overline{X}}}\circ({\iota_X}\times{\iota_X}) ={d_{\overline{X}}}\circ\overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}\circ{\iota_{X\times X}} \end{align*}
が成り立つから，$\overline{d_X}$の定義より$\overline{d_X}={d_{\overline{X}}}\circ \overline{{\iota_X}\times{\iota_X}}$を得る．

1. 解答例

   $y,y'\in Y$を任意に取る．このとき$f(X)$の稠密性から
   $$ f(x_n)\to y, \quad f(x_n')\to y' \qquad \text{in $Y$}$$
   を満たす$X$の点列$\{x_n\},\{x_n'\}$が取れる．$f$と$g\circ f$の等距離性より
   $$ d_Y(f(x_n),f(x_n'))=d_X(x_n,x_n')=d_Z(g(f(x_n)),g(f(x_n')))$$
   が成り立つから，$n\to\infty$とすれば$g$と距離の連続性から$d_Y(y,y')=d_Z(g(y),g(y'))$を得る．

2. 解答例

   $z\in Z$を任意に取る．このとき$(g\circ f)(X)$の稠密性から
   $$ (g\circ f)(x_n)\to z \qquad \text{in $Z$}$$
   を満たす$X$の点列$\{x_n\}$が取れる．$g\circ f$の等距離性から$\{x_n\}$は$X$のコーシー列であり，$f$の一様連続性から$\{f(x_n)\}$は$Y$のコーシー列となるため，$Y$の完備性より
   $$ f(x_n)\to y \qquad \text{in $Y$}$$
   を満たす$y\in Y$が存在する．すると$g$の連続性より
   $$ (g\circ f)(x_n)\to g(y) \qquad \text{in $Z$}$$
   となり，極限の一意性から$z=g(y)$を得る．

1. $(\widehat{A},d_{\widehat{A}})$の完備性
   $(\widehat{A},d_{\widehat{A}})$は完備距離空間$(\overline{X},d_{\overline{X}})$の閉部分空間だから，それ自身も完備である．
2. $j_A$の等距離性
   $a,b\in A$を任意に取る．このとき
   \begin{align*} d_{\widehat{A}}(j_A(a),j_A(b)) =d_{\widehat{A}}(\iota_X(a),\iota_X(b)) =d_{\overline{X}}(\iota_X(a),\iota_X(b)) =d_{X}(a,b) =d_{A}(a,b) \end{align*}
   だから，$j_A$は等距離である．
3. $j_A(A)$の稠密性
   $$ \operatorname{Cl}_{\widehat{A}}(j_A(A))=\operatorname{Cl}_{\widehat{A}}(\iota_X(A))=\operatorname{Cl}_{\overline{X}}(\iota_X(A))\cap\widehat{A}=\widehat{A}\cap\widehat{A}=\widehat{A}$$
   だから，$j_A(A)$は$\widehat{A}$の稠密部分集合である．

上記3点より，$((\widehat{A},d_{\widehat{A}}),j_A)$は$(A,d_A)$の完備化である．

1. 解答例

   $B$のコーシー列$\{b_n\}$を任意に取る．このとき$d_B$の定義から$\{b_n\}$は$Y$のコーシー列となるため，$b_n\to y$ in $Y$を満たす$y\in Y$が存在する．いま$B$は閉集合だから，$B$の収束列$\{b_n\}$の極限$y$は$B$に属していて
   $$ d_B(b_n,y)=d_Y(b_n,y)\xrightarrow{n\to\infty} 0$$
   より$b_n\to y$ in $B$であることがわかった．よって$B$も完備である．

2. 解答例

   $\operatorname{Cl}_Z(D)$は$Z$の閉集合だから，$\mathcal{O}_C$の定義より$\operatorname{Cl}_Z(D)\cap C$は$C$の閉集合である．また
   $$ D=D\cap D\subset\operatorname{Cl}_Z(D)\cap C $$
   でもあるから，$\operatorname{Cl}_C(D)\subset\operatorname{Cl}_Z(D)\cap C$がわかった．一方$\operatorname{Cl}_C(D)$は$C$の閉集合だから，$Z$のある閉集合$F$が存在して$\operatorname{Cl}_C(D)=F\cap C$と表せる．すると
   $$ D\subset \operatorname{Cl}_C(D)=F\cap C\subset F$$
   より$D\subset F$だから$\operatorname{Cl}_Z(D)\subset F$でもあり，
   $$ \operatorname{Cl}_C(D)=F\cap C\supset \operatorname{Cl}_Z(D)\cap C$$
   を得る．よって$\operatorname{Cl}_C(D)=\operatorname{Cl}_Z(D)\cap C$が示された．