距離空間の直積と完備化

写像${\iota }_X\times {\iota }_Y:X\times Y\to \bar{X}\times \bar{Y}$を
$$({\iota }_X\times {\iota }_Y)(x,y):=({\iota }_X(x),{\iota }_Y(y))(x\in X,y\in Y)$$
で定め，$((\bar{X}\times \bar{Y},d_{\bar{X}\times \bar{Y}}),{\iota }_X\times {\iota }_Y)$が$(X\times Y,d_{X\times Y})$の完備化であることを示せばよい．

1. ${\iota }_X\times {\iota }_Y$の等距離性
   $$\begin{array}{rl}{d}_{\bar{X}\times \bar{Y}}(({\iota }_X\times {\iota }_Y)(x_1,y_1),({\iota }_X\times {\iota }_Y)(x_2,y_2))& =d_{\bar{X}\times \bar{Y}}(({\iota }_X(x_1),{\iota }_Y(y_1)),({\iota }_X(x_2),{\iota }_Y(y_2)))\\ & =d_{\bar{X}}({\iota }_X(x_1),{\iota }_X(x_2))+d_{\bar{Y}}({\iota }_Y(y_1),{\iota }_Y(y_2))\\ & =d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)\\ & =d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)).\end{array}$$
2. $({\iota }_X\times {\iota }_Y)(X\times Y)$の稠密性
   $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Cl}}_{\bar{X}\times \bar{Y}}(({\iota }_X\times {\iota }_Y)(X\times Y))& ={\mathrm{Cl}}_{\bar{X}\times \bar{Y}}({\iota }_X(X)\times {\iota }_Y(Y))\\ & ={\mathrm{Cl}}_{\bar{X}}({\iota }_X(X))\times {\mathrm{Cl}}_{\bar{Y}}({\iota }_Y(Y))\\ & =\bar{X}\times \bar{Y}.\end{array}$$
3. $(\bar{X}\times \bar{Y},d_{\bar{X}\times \bar{Y}})$の完備性
   $\{({\overline{x}}_n,{\overline{y}}_n)\}$を$(\bar{X}\times \bar{Y},d_{\bar{X}\times \bar{Y}})$のコーシー列とする．このとき射影${\mathrm{pr}}_{\bar{X}}:\bar{X}\times \bar{Y}\to \bar{X}$，${\mathrm{pr}}_{\bar{Y}}:\bar{X}\times \bar{Y}\to \bar{Y}$の一様連続性より，$\{{\overline{x}}_n\},\{{\overline{y}}_n\}$はそれぞれ$(\bar{X},d_{\bar{X}}),(\bar{Y},d_{\bar{Y}})$のコーシー列となる．すると$(\bar{X},d_{\bar{X}}),(\bar{Y},d_{\bar{Y}})$の完備性より，ある$\overline{x}\in \bar{X}$と$\overline{y}\in \bar{Y}$が存在して${\overline{x}}_n\to \overline{x}$ in $\bar{X}$かつ${\overline{y}}_n\to \overline{y}$ in $\bar{Y}$が成り立つから，
   $$\begin{array}{rl}{d}_{\bar{X}\times \bar{Y}}(({\overline{x}}_n,{\overline{y}}_n),(\overline{x},\overline{y}))& =d_{\bar{X}}({\overline{x}}_n,\overline{x})+d_{\bar{Y}}({\overline{y}}_n,\overline{y})\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0\end{array}$$
   より$({\overline{x}}_n,{\overline{y}}_n)\to (\overline{x},\overline{y})$ in $\bar{X}\times \bar{Y}$であることが示された．

上記3点より$((\bar{X}\times \bar{Y},d_{\bar{X}\times \bar{Y}}),{\iota }_X\times {\iota }_Y)$は$(X\times Y,d_{X\times Y})$の完備化であるから， 完備化の一意性 より${\iota }_X\times {\iota }_Y=\overline{{\iota }_X\times {\iota }_Y}\circ {\iota }_{X\times Y}$を満たす等距離同型写像$\overline{{\iota }_X\times {\iota }_Y}:\overline{X\times Y}\to \bar{X}\times \bar{Y}$が一意に定まる．

$d_X$の（最適）一様連続度${\omega }_{d_X}:[0,\mathrm{\infty }]\to [0,\mathrm{\infty }]$を
$${\omega }_{d_X}(\delta ):=sup\{|d_X(x_1,y_1)-d_X(x_2,y_2)|\mid d_{X\times X}((x_1,y_1),(x_2,y_2))\le \delta \}(\delta \in [0,\mathrm{\infty }])$$
とし，$\delta \in [0,\mathrm{\infty }]$を任意に取る．
このとき，$d_{X\times X}((x_1,y_1),(x_2,y_2))\le \delta$を満たす任意の$x_1,y_1,x_2,y_2\in X$に対して，距離空間の完備化の構成とその本質的一意性 の補題4（距離関数の連続性）より
$$\begin{array}{rl}|d_X(x_1,y_1)-d_X(x_2,y_2)|& \le d_X(x_1,x_2)+d_X(y_1,y_2)\\ & =d_{X\times X}((x_1,y_1),(x_2,y_2))\\ & \le \delta \end{array}$$
が成り立つから，${\omega }_{d_X}(\delta )\le \delta$を得る．したがって，はさみうちの原理より$\delta \to +0$のとき${\omega }_{d_X}(\delta )\to 0$となるから，$d_X$は一様連続である．

問題1と同様に，${\iota }_X\times {\iota }_X:X\times X\to \bar{X}\times \bar{X}$を
$$({\iota }_X\times {\iota }_X)(x,y):=({\iota }_X(x),{\iota }_X(y))(x,y\in X)$$
で定め，$\overline{{\iota }_X\times {\iota }_X}:\overline{X\times X}\to \bar{X}\times \bar{X}$は${\iota }_X\times {\iota }_X=\overline{{\iota }_X\times {\iota }_X}\circ {\iota }_{X\times X}$を満たす一意的な等距離同型写像とする．
$$\bar{X}\times \bar{X}{d}_{\bar{X}}X\times X{\iota }_X\times {\iota }_X{\iota }_{X\times X}{d}_X\mathbb{R}\overline{X\times X}\overline{{\iota }_X\times {\iota }_X}\overline{d_X}$$
このとき，${\iota }_X$の等距離性と$\overline{{\iota }_X\times {\iota }_X}$の取り方より
$$\begin{array}{rl}{d}_X& =d_{\bar{X}}\circ ({\iota }_X\times {\iota }_X)=d_{\bar{X}}\circ \overline{{\iota }_X\times {\iota }_X}\circ {\iota }_{X\times X}\end{array}$$
が成り立つから，$\overline{d_X}$の定義より$\overline{d_X}=d_{\bar{X}}\circ \overline{{\iota }_X\times {\iota }_X}$を得る．

1. 解答例

   $y,y^{\prime }\in Y$を任意に取る．このとき$f(X)$の稠密性から
   $$f(x_n)\to y,f(x_n^{\prime })\to y^{\prime }\text{in }Y$$
   を満たす$X$の点列$\{x_n\},\{x_n^{\prime }\}$が取れる．$f$と$g\circ f$の等距離性より
   $$d_Y(f(x_n),f(x_n^{\prime }))=d_X(x_n,x_n^{\prime })=d_Z(g(f(x_n)),g(f(x_n^{\prime })))$$
   が成り立つから，$n\to \mathrm{\infty }$とすれば$g$と距離の連続性から$d_Y(y,y^{\prime })=d_Z(g(y),g(y^{\prime }))$を得る．

2. 解答例

   $z\in Z$を任意に取る．このとき$(g\circ f)(X)$の稠密性から
   $$(g\circ f)(x_n)\to z\text{in }Z$$
   を満たす$X$の点列$\{x_n\}$が取れる．$g\circ f$の等距離性から$\{x_n\}$は$X$のコーシー列であり，$f$の一様連続性から$\{f(x_n)\}$は$Y$のコーシー列となるため，$Y$の完備性より
   $$f(x_n)\to y\text{in }Y$$
   を満たす$y\in Y$が存在する．すると$g$の連続性より
   $$(g\circ f)(x_n)\to g(y)\text{in }Z$$
   となり，極限の一意性から$z=g(y)$を得る．

1. $(\hat{A},d_{\hat{A}})$の完備性
   $(\hat{A},d_{\hat{A}})$は完備距離空間$(\bar{X},d_{\bar{X}})$の閉部分空間だから，それ自身も完備である．
2. $j_A$の等距離性
   $a,b\in A$を任意に取る．このとき
   $$\begin{array}{r}{d}_{\hat{A}}(j_A(a),j_A(b))=d_{\hat{A}}({\iota }_X(a),{\iota }_X(b))=d_{\bar{X}}({\iota }_X(a),{\iota }_X(b))=d_X(a,b)=d_A(a,b)\end{array}$$
   だから，$j_A$は等距離である．
3. $j_A(A)$の稠密性
   $${\mathrm{Cl}}_{\hat{A}}(j_A(A))={\mathrm{Cl}}_{\hat{A}}({\iota }_X(A))={\mathrm{Cl}}_{\bar{X}}({\iota }_X(A))\cap \hat{A}=\hat{A}\cap \hat{A}=\hat{A}$$
   だから，$j_A(A)$は$\hat{A}$の稠密部分集合である．

上記3点より，$((\hat{A},d_{\hat{A}}),j_A)$は$(A,d_A)$の完備化である．

1. 解答例

   $B$のコーシー列$\{b_n\}$を任意に取る．このとき$d_B$の定義から$\{b_n\}$は$Y$のコーシー列となるため，$b_n\to y$ in $Y$を満たす$y\in Y$が存在する．いま$B$は閉集合だから，$B$の収束列$\{b_n\}$の極限$y$は$B$に属していて
   $$d_B(b_n,y)=d_Y(b_n,y)\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0$$
   より$b_n\to y$ in $B$であることがわかった．よって$B$も完備である．

2. 解答例

   ${\mathrm{Cl}}_Z(D)$は$Z$の閉集合だから，${\mathcal{O}}_C$の定義より${\mathrm{Cl}}_Z(D)\cap C$は$C$の閉集合である．また
   $$D=D\cap D\subset {\mathrm{Cl}}_Z(D)\cap C$$
   でもあるから，${\mathrm{Cl}}_C(D)\subset {\mathrm{Cl}}_Z(D)\cap C$がわかった．一方${\mathrm{Cl}}_C(D)$は$C$の閉集合だから，$Z$のある閉集合$F$が存在して${\mathrm{Cl}}_C(D)=F\cap C$と表せる．すると
   $$D\subset {\mathrm{Cl}}_C(D)=F\cap C\subset F$$
   より$D\subset F$だから${\mathrm{Cl}}_Z(D)\subset F$でもあり，
   $${\mathrm{Cl}}_C(D)=F\cap C\supset {\mathrm{Cl}}_Z(D)\cap C$$
   を得る．よって${\mathrm{Cl}}_C(D)={\mathrm{Cl}}_Z(D)\cap C$が示された．