ノルム空間・内積空間の完備化

1つ目：距離の非退化性から従う．
$$\begin{array}{rl}{\omega }_f(0)& =sup\{d_Y(f(x),f(x^{\prime }))\mid x,x^{\prime }\in X,d_X(x,x^{\prime })\le 0\}\\ & =sup\{d_Y(f(x),f(x))\mid x\in X\}=sup\{0\}=0.\end{array}$$
2つ目：$0\le r\le s$のとき
$$\begin{array}{rl}{\omega }_f(r)& =sup\{d_Y(f(x),f(x^{\prime }))\mid x,x^{\prime }\in X,d_X(x,x^{\prime })\le r\}\\ & \le sup\{d_Y(f(x),f(x^{\prime }))\mid x,x^{\prime }\in X,d_X(x,x^{\prime })\le s\}={\omega }_f(s).\end{array}$$
3つ目：$x,x^{\prime }\in X$を任意に取る．上限の定義より「$d_X(z,z^{\prime })\le d_X(x,x^{\prime })$を満たす任意の$z,z^{\prime }\in X$に対して$d_Y(f(z),f(z^{\prime }))\le {\omega }_f(d_X(x,x^{\prime }))$が成り立つ」から，特に$(z,z^{\prime })=(x,x^{\prime })$のときを考えればよい．

$\epsilon >0$を任意に取ると，まず${\omega }_f(r)\to 0(r\to +0)$より
$${}^{\mathrm{\exists }}\delta >0,{}^{\mathrm{\forall }}r\ge 0,[0<r<\delta \Rightarrow {\omega }_f(r)<\epsilon ].$$
また$\{x_n\}$はCauchy列だから
$${}^{\mathrm{\exists }}N\in \mathbb{N},{}^{\mathrm{\forall }}m,n\in \mathbb{N},[m,n\ge N\Rightarrow d_X(x_m,x_n)<\delta ].$$
すると，$N$以上の任意の$m,n\in \mathbb{N}$に対して
$$d_Y(f(x_m),f(x_n))\le {\omega }_f(d_X(x_m,x_n))<\epsilon$$
が成り立つから，$\{f(x_n)\}$もCauchy列である．

STEP 0：$\overline{f}$の構成とwell-defined性．
各$\overline{x}\in \overline{X}$に対して，$\iota (x_n)\to \overline{x}$ in $\overline{X}$を満たす$X$の点列$\{x_n\}$を任意に取り
$$\overline{f}(\overline{x}):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)$$
と定める．
こうして定める写像$\overline{f}:\overline{X}\to Y$がwell-definedであることは次のように確かめられる．

• $\{f(x_n)\}$の収束性

  $\{\iota (x_n)\}$が$\overline{X}$のCauchy列であることと$\iota$の等長性から，$\{x_n\}$は$X$のCauchy列である．すると$f$の一様連続性より$\{f(x_n)\}$は$Y$のCauchy列であり，$Y$の完備性から$\{f(x_n)\}$は$Y$の収束列となる．
• 極限$\overline{f}(\overline{x})$が$\{x_n\}$の取り方に依らないこと

  $X$の点列$\{x_n\},\{x_n^{\prime }\}$が$\iota (x_n)\to \overline{x}$かつ$\iota (x_n^{\prime })\to \overline{x}$ in $\overline{X}$を満たすとする．このとき，上で述べたことより$\{f(x_n)\},\{f(x_n^{\prime })\}$はそれぞれある元$y,y^{\prime }\in Y$に収束する．また仮定より
  $$d_X(x_n,x_n^{\prime })=\overline{d_X}(\iota (x_n),\iota (x_n^{\prime }))\le \overline{d_X}(\iota (x_n),\overline{x})+\overline{d_X}(\iota (x_n^{\prime }),\overline{x})\to 0$$
  が成り立つから，$y=y^{\prime }$であることが次のように示せる：
  $$\begin{array}{rl}{d}_Y(y,y^{\prime })& \le d_Y(y,f(x_n))+d_Y(f(x_n),f(x_n^{\prime }))+d_Y(f(x_n^{\prime }),y^{\prime })\\ & \le d_Y(y,f(x_n))+{\omega }_f(d_X(x_n,x_n^{\prime }))+d_Y(f(x_n^{\prime }),y^{\prime })\to 0.\end{array}$$
  

STEP 1：$f=\overline{f}\circ \iota$が成り立つこと．
$\overline{f}$の定義より，任意の$x\in X$に対して
$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\overline{f}(\iota (x))$$
が成り立つから，$f=\overline{f}\circ \iota$である．

STEP 2：$\overline{f}$の一様連続性．

$r\in (0,\mathrm{\infty })$および$\overline{d_X}(\overline{x},{\overline{x}}^{\prime })\le r$を満たす$\overline{x},{\overline{x}}^{\prime }\in \overline{X}$を任意に取る．このとき$\iota (X)$の稠密性より
$$\overline{d_X}(\iota (x_n),\overline{x})<\frac{r}{n}\text{かつ}\overline{d_X}(\iota (x_n^{\prime }),{\overline{x}}^{\prime })<\frac{r}{n}$$
を満たす$X$の点列$\{x_n\},\{x_n^{\prime }\}$が取れるから，$\overline{f}$の定義より$f(x_n)\to \overline{f}(\overline{x})$かつ$f(x_n^{\prime })\to \overline{f}({\overline{x}}^{\prime })$ in $Y$であることにも注意すれば
$$\begin{array}{rl}{d}_Y(\overline{f}(\overline{x}),\overline{f}({\overline{x}}^{\prime }))& \le d_Y(\overline{f}(\overline{x}),f(x_n))+d_Y(f(x_n),f(x_n^{\prime }))+d_Y(f(x_n^{\prime }),\overline{f}({\overline{x}}^{\prime }))\\ & \le d_Y(\overline{f}(\overline{x}),f(x_n))+{\omega }_f(d_X(x_n,x_n^{\prime }))+d_Y(f(x_n^{\prime }),\overline{f}({\overline{x}}^{\prime }))\\ & \le d_Y(\overline{f}(\overline{x}),f(x_n))+{\omega }_f(\overline{d_X}(\iota (x_n),\overline{x})+\overline{d_X}(\overline{x},{\overline{x}}^{\prime })+\overline{d_X}({\overline{x}}^{\prime },\iota (x_n^{\prime })))+d_Y(f(x_n^{\prime }),\overline{f}({\overline{x}}^{\prime }))\\ & \le d_Y(\overline{f}(\overline{x}),f(x_n))+{\omega }_f(3r)+d_Y(f(x_n^{\prime }),\overline{f}({\overline{x}}^{\prime }))\\ & \to {\omega }_f(3r)(n\to \mathrm{\infty }),\end{array}$$
つまり${\omega }_{\overline{f}}(r)\le {\omega }_f(3r)$を得る．ここで$r\to +0$とすれば，$f$の一様連続性より${\omega }_{\overline{f}}(r)\to 0$となるから$\overline{f}$も一様連続である．

STEP 3：$\overline{f}$の一意性．

一様連続写像$g:\overline{X}\to Y$が$f=g\circ \iota$を満たすとし，$\overline{x}\in \overline{X}$および${\iota }_X(x_n)\to \overline{x}$ in $\overline{X}$を満たす$X$の点列$\{x_n\}$を任意に取ると
$$d_Y(g(\iota (x_n)),g(\overline{x}))\le {\omega }_g(\overline{d_X}(\iota (x_n),\overline{x}))\to 0,$$
つまり$g(\iota (x_n))\to g(\overline{x})$ in $Y$が成り立つから
$$\overline{f}(\overline{x})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}g(\iota (x_n))=g(\overline{x})$$
である．したがって一意性$\overline{f}=g$も示された．

一様連続写像${\iota }_Y\circ f:X\to \overline{Y}$に対して前命題を適用すればよい．

Step 1：和とスカラー倍がwell-definedであること．
$\iota (v_n),\iota (v_n^{\prime })\to \overline{v}$かつ$\iota (w_n),\iota (w_n^{\prime })\to \overline{w}$ in $\overline{V}$を満たす$V$の点列$\{v_n\},\{v_n^{\prime }\},\{w_n\},\{w_n^{\prime }\}$を任意に取ると，これらは$V$のCauchy列である．
すると$\iota$の等長性より$\{\iota (v_n+w_n)\},\{\iota (\lambda v_n)\},\{\iota (v_n^{\prime }+w_n^{\prime })\},\{\iota (\lambda v_n^{\prime })\}$はすべて$\overline{V}$のCauchy列となり，$\overline{V}$の完備性よりそれぞれある元${\overline{u}}_1,{\overline{u}}_2,{\overline{u}}_1^{\prime },{\overline{u}}_2^{\prime }\in \overline{V}$に収束する．
このとき
$$\begin{array}{rl}\overline{d}({\overline{u}}_1,{\overline{u}}_1^{\prime })& \le \overline{d}({\overline{u}}_1,\iota (v_n+w_n))+\overline{d}(\iota (v_n+w_n),\iota (v_n^{\prime }+w_n^{\prime }))+\overline{d}(\iota (v_n^{\prime }+w_n^{\prime }),{\overline{u}}_1^{\prime })\\ & =\overline{d}({\overline{u}}_1,\iota (v_n+w_n))+\parallel (v_n+w_n)-(v_n^{\prime }+w_n^{\prime }){\parallel }_V+\overline{d}(\iota (v_n^{\prime }+w_n^{\prime }),{\overline{u}}_1^{\prime })\\ & \le \overline{d}({\overline{u}}_1,\iota (v_n+w_n))+\parallel v_n-v_n^{\prime }{\parallel }_V+\parallel w_n-w_n^{\prime }{\parallel }_V+\overline{d}(\iota (v_n^{\prime }+w_n^{\prime }),{\overline{u}}_1^{\prime })\\ & =\overline{d}({\overline{u}}_1,\iota (v_n+w_n))+\overline{d}(\iota (v_n),\iota (v_n^{\prime }))+\overline{d}(\iota (w_n),\iota (w_n^{\prime }))+\overline{d}(\iota (v_n^{\prime }+w_n^{\prime }),{\overline{u}}_1^{\prime })\\ & \to 0(n\to \mathrm{\infty }),\\ \overline{d}({\overline{u}}_2,{\overline{u}}_2^{\prime })& \le \overline{d}({\overline{u}}_2,\iota (\lambda v_n))+\overline{d}(\iota (\lambda v_n),\iota (\lambda v_n^{\prime }))+\overline{d}(\iota (\lambda v_n^{\prime }),{\overline{u}}_2^{\prime })\\ & =\overline{d}({\overline{u}}_2,\iota (\lambda v_n))+\parallel \lambda v_n-\lambda v_n^{\prime }{\parallel }_V+\overline{d}(\iota (\lambda v_n^{\prime }),{\overline{u}}_2^{\prime })\\ & =\overline{d}({\overline{u}}_2,\iota (\lambda v_n))+|\lambda |\cdot \parallel v_n-v_n^{\prime }{\parallel }_V+\overline{d}(\iota (\lambda v_n^{\prime }),{\overline{u}}_2^{\prime })\\ & =\overline{d}({\overline{u}}_2,\iota (\lambda v_n))+|\lambda |\cdot \overline{d}(\iota (v_n)\iota (v_n^{\prime }))+\overline{d}(\iota (\lambda v_n^{\prime }),{\overline{u}}_2^{\prime })\\ & \to 0(n\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
だから，${\overline{u}}_1={\overline{u}}_1^{\prime }$かつ${\overline{u}}_2={\overline{u}}_2^{\prime }$が示され，$\overline{V}$の和とスカラー倍はwell-definedである．

Step 2：$\overline{V}$が線形空間となること．
$\overline{u},\overline{v},\overline{w}\in \overline{V}$と$\lambda ,\mu \in K$，および$\iota (u_n)\to \overline{u}$かつ$\iota (v_n)\to \overline{v}$かつ$\iota (w_n)\to \overline{w}$ in $\overline{V}$を満たす$V$の点列$\{u_n\},\{v_n\},\{w_n\}$を任意に取る．
このとき和とスカラー倍の定義より
$$\begin{array}{rl}(\overline{u}+\overline{v})+\overline{w}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota ((u_n+v_n)+w_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (u_n+(v_n+w_n))=\overline{u}+(\overline{v}+\overline{w}),\\ \overline{u}+\iota (0_V)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (u_n+0_V)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (u_n)=\overline{u},\\ \overline{u}+(-1)\overline{u}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (u_n+(-1)u_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (0_V)=\iota (0_V),\\ \overline{u}+\overline{v}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (u_n+v_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (v_n+u_n)=\overline{v}+\overline{u},\\ \lambda (\mu \overline{u})& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (\lambda (\mu u_n))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota ((\lambda \mu )u_n)=(\lambda \mu )\overline{u},\\ \lambda (u_n+v_n)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (\lambda (u_n+v_n))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (\lambda u_n+\lambda v_n)=\lambda \overline{u}+\lambda \overline{v},\\ (\lambda +\mu )\overline{u}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota ((\lambda +\mu )u_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (\lambda u_n+\mu u_n)=\lambda \overline{u}+\mu \overline{u},\\ 1\overline{u}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (1u_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iota (u_n)=\overline{u}\end{array}$$
が成り立つから，$\overline{V}$は線形空間である．

Step 3：$\parallel \cdot {\parallel }_{\overline{V}}$がノルムであること．
$\overline{u},\overline{v}\in \overline{V}$と$\lambda \in K$，および$\iota (u_n)\to \overline{u}$かつ$\iota (v_n)\to \overline{v}$ in $\overline{V}$を満たす$V$の点列$\{u_n\},\{v_n\}$を任意に取ると
$$\begin{array}{rl}d(\lambda u_n,0_V)=\parallel \lambda u_n{\parallel }_V& =|\lambda |\cdot \parallel u_n{\parallel }_V=|\lambda |\cdot d(u_n,0_V),\\ d(u_n+v_n,0_V)=\parallel u_n+v_n{\parallel }_V& \le \parallel u_n{\parallel }_V+\parallel v_n{\parallel }_V=d(u_n,0_V)+d(v_n,0_V)\end{array}$$
が成り立つから，$n\to \mathrm{\infty }$とすれば
$$\begin{array}{rl}\parallel \lambda \overline{u}{\parallel }_{\overline{V}}=\overline{d}(\iota (\lambda \overline{u}),\iota (0_V))& =|\lambda |\cdot \overline{d}(\overline{u},\iota (0_V))=|\lambda |\cdot \parallel \overline{u}{\parallel }_{\overline{V}},\\ \parallel \overline{u}+\overline{v}{\parallel }_{\overline{V}}=\overline{d}(\overline{u}+\overline{v},\iota (0_V))& \le \overline{d}(\overline{u},\iota (0_V))+\overline{d}(\overline{v},\iota (0_V))=\parallel \overline{u}{\parallel }_{\overline{V}}+\parallel \overline{v}{\parallel }_{\overline{V}}\end{array}$$
を得る．また，$\overline{w}\in \overline{V}$に対して
$$\parallel \overline{w}{\parallel }_{\overline{V}}=0⟺\overline{d}(\overline{w},\iota (0_V))=0⟺\overline{w}=\iota (0_V)$$
が成り立つから，$\parallel \cdot {\parallel }_{\overline{V}}$は$\overline{V}$上のノルムである．

Step 4：$\overline{d}(\overline{v},\overline{w})=\parallel \overline{v}-\overline{w}{\parallel }_{\overline{V}}$が成り立つこと．
$\iota (v_n)\to \overline{v}$かつ$\iota (w_n)\to \overline{w}$ in $\overline{V}$を満たす$V$の点列$\{v_n\},\{w_n\}$を任意に取れば，和の定義より$\iota (v_n-w_n)\to \overline{v}-\overline{w}$ in $\overline{V}$が成り立つから
$$\begin{array}{rl}\overline{d}(\overline{v},\overline{w})& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(v_n,w_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(v_n-w_n,0)=\overline{d}(\overline{v}-\overline{w},\iota (0))=\parallel \overline{v}-\overline{w}{\parallel }_{\overline{V}}.\end{array}$$
よって$\parallel \cdot {\parallel }_{\overline{V}}$が誘導する距離は完備な距離$\overline{d}$だから，$\overline{V}$はBanach空間である．

距離空間の完備化の一意性より，$\mathrm{\Phi }\circ \iota ={\iota }^{\prime }$を満たす等長同型写像$\mathrm{\Phi }:\overline{V}\to \hat{V}$がただ一つ存在する．この$\mathrm{\Phi }$が線形であることを示そう．
$\overline{u},\overline{v}\in \overline{V}$と$\lambda \in K$，および$\iota (u_n)\to \overline{u}$かつ$\iota (v_n)\to \overline{v}$ in $\overline{V}$を満たす$V$の点列$\{u_n\},\{v_n\}$を任意に取る．
このとき$\mathrm{\Phi }\circ \iota ={\iota }^{\prime }$から
$$\mathrm{\Phi }(\overline{u})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\iota }^{\prime }(u_n)$$
等が成り立つことに注意すると，${\iota }^{\prime }$の線形性より
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }(\overline{u}+\lambda \overline{v})& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\iota }^{\prime }(u_n+\lambda v_n)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\iota }^{\prime }(u_n)+\lambda \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\iota }^{\prime }(v_n)\\ & =\mathrm{\Phi }(\overline{u})+\lambda \mathrm{\Phi }(\overline{v})\end{array}$$
となる．

$f=\overline{f}\circ \iota$を満たす一様連続写像$\overline{f}:\overline{V}\to W$が一意に存在することは既に示したから，この$\overline{f}$が線形であることをまず示そう．

Step 1：$\overline{f}$の線形性．
$\overline{u},\overline{v}\in \overline{V}$と$\lambda \in K$，および$\iota (u_n)\to \overline{u}$かつ$\iota (v_n)\to \overline{v}$ in $\overline{V}$を満たす$V$の点列$\{u_n\},\{v_n\}$を任意に取る．このとき$\overline{f}$の構成を思い出すと
$$\begin{array}{rl}\overline{f}(\overline{u}+\lambda \overline{v})& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(u_n+\lambda v_n)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(u_n)+\lambda \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(v_n)\\ & =\overline{f}(\overline{u})+\lambda \overline{f}(\overline{v}).\end{array}$$

次に，対応$f\mapsto \overline{f}$の等長性・線形性・全射性を示す．

Step 2：等長性$\parallel f{\parallel }_{B(V,W)}=\parallel \overline{f}{\parallel }_{B(\overline{V},\overline{W})}$．
$$\parallel f{\parallel }_{B(V,W)}=\parallel \overline{f}\circ {\iota }_V{\parallel }_{B(V,W)}\le \parallel \overline{f}{\parallel }_{B(\overline{V},W)}\cdot \parallel \iota {\parallel }_{B(V,\overline{V})}=\parallel \overline{f}{\parallel }_{B(\overline{V},W)},$$
つまり$\parallel f{\parallel }_{B(V,W)}\le \parallel \overline{f}{\parallel }_{B(\overline{V},\overline{W})}$は成り立つ．逆向きの不等式を示すために，$\parallel \overline{v}{\parallel }_{\overline{V}}\le 1$を満たす$\overline{v}\in \overline{V}$，および$\iota (v_n)\to \overline{v}$ in $\overline{V}$を満たす$V$の点列$\{v_n\}$を任意に取ると，
$$\parallel \overline{f}(\overline{v}){\parallel }_W=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\parallel f(v_n){\parallel }_W\le \parallel f{\parallel }_{B(V,W)}\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\parallel v_n{\parallel }_V\le \parallel f{\parallel }_{B(V,W)}$$
が成り立つから，$\parallel f{\parallel }_{B(V,W)}$は$\{\parallel \overline{f}(\overline{v}){\parallel }_W\mid \overline{v}\in \overline{V},\parallel \overline{v}{\parallel }_{\overline{V}}\le 1\}$の上界である．よって作用素ノルム$\parallel \overline{f}{\parallel }_{B(\overline{V},W)}$の定義から$\parallel f{\parallel }_{B(V,W)}\ge \parallel \overline{f}{\parallel }_{B(\overline{V},W)}$も示された．

Step 3：線形性$\overline{f+\lambda g}=\overline{f}+\lambda \overline{g}$．
$f,g\in B(V,W)$と$\lambda \in K$を任意に取ると，既に示した通り$\overline{f},\overline{g}\in B(\overline{V},W)$は$f=\overline{f}\circ \iota$かつ$g=\overline{g}\circ \iota$を満たす．
すると
$$f+\lambda g=\overline{f}\circ \iota +\lambda \cdot \overline{g}\circ \iota =(\overline{f}+\lambda \overline{g})\circ \iota$$
が成り立ち，$\overline{f}+\lambda \overline{g}\in B(\overline{V},W)$でもあるから$\overline{f+\lambda g}=\overline{f}+\lambda \overline{g}$を得る．