ノルム空間・内積空間の完備化

1つ目：距離の非退化性から従う．
\begin{align*} \omega_f(0) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le 0\} \\ &=\sup\{d_Y(f(x),f(x))\mid x\in X\} =\sup\{0\}=0. \end{align*}
2つ目：$0\le r\le s$のとき
\begin{align*} \omega_f(r) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le r\} \\ &\le \sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le s\}=\omega_f(s). \end{align*}
3つ目：$x,x'\in X$を任意に取る．上限の定義より「$d_X(z,z')\le d_X(x,x')$を満たす任意の$z,z'\in X$に対して$d_Y(f(z),f(z'))\le \omega_f(d_X(x,x'))$が成り立つ」から，特に$(z,z')=(x,x')$のときを考えればよい．

$\varepsilon>0$を任意に取ると，まず$\omega_f(r)\to 0\ (r\to +0)$より
$$ {}^\exists \delta>0,\ {}^\forall r\ge 0,\ [0< r<\delta\Rightarrow \omega_f(r)<\varepsilon]. $$
また$\{x_n\}$はCauchy列だから
$$ {}^\exists N\in\mathbb{N},\ {}^\forall m,n\in\mathbb{N},\ [m,n\ge N\Rightarrow d_X(x_m,x_n)<\delta]. $$
すると，$N$以上の任意の$m,n\in\mathbb{N}$に対して
$$ d_Y(f(x_m),f(x_n))\le \omega_f(d_X(x_m,x_n))<\varepsilon $$
が成り立つから，$\{f(x_n)\}$もCauchy列である．

STEP 0：$\bar{f}$の構成とwell-defined性．
各$\bar{x}\in \bar{X}$に対して，$\iota(x_n)\to \bar{x}$ in $\bar{X}$を満たす$X$の点列$\{x_n\}$を任意に取り
$$ \bar{f}(\bar{x}):=\lim_{n\to\infty}f(x_n) $$
と定める．
こうして定める写像$\bar{f}:\bar{X}\to Y$がwell-definedであることは次のように確かめられる．

• $\{f(x_n)\}$の収束性

  $\{\iota(x_n)\}$が$\bar{X}$のCauchy列であることと$\iota$の等長性から，$\{x_n\}$は$X$のCauchy列である．すると$f$の一様連続性より$\{f(x_n)\}$は$Y$のCauchy列であり，$Y$の完備性から$\{f(x_n)\}$は$Y$の収束列となる．
• 極限$\bar{f}(\bar{x})$が$\{x_n\}$の取り方に依らないこと

  $X$の点列$\{x_n\},\{x_n'\}$が$\iota(x_n)\to\bar{x}$かつ$\iota(x_n')\to\bar{x}$ in $\bar{X}$を満たすとする．このとき，上で述べたことより$\{f(x_n)\},\{f(x_n')\}$はそれぞれある元$y,y'\in Y$に収束する．また仮定より
  $$ d_X(x_n,x_n')=\bar{d_X}(\iota(x_n),\iota(x_n'))\le \bar{d_X}(\iota(x_n),\bar{x})+\bar{d_X}(\iota(x_n'),\bar{x})\to 0 $$
  が成り立つから，$y=y'$であることが次のように示せる：
  \begin{align*} d_Y(y,y') &\le d_Y(y,f(x_n))+d_Y(f(x_n),f(x_n'))+d_Y(f(x_n'),y') \\ &\le d_Y(y,f(x_n))+\omega_f(d_X(x_n,x_n'))+d_Y(f(x_n'),y') \to 0. \end{align*}
  

STEP 1：$f=\bar{f}\circ {\iota}$が成り立つこと．
$\bar{f}$の定義より，任意の$x\in X$に対して
$$ f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x)=\bar{f}(\iota(x)) $$
が成り立つから，$f=\bar{f}\circ{\iota}$である．

STEP 2：$\bar{f}$の一様連続性．

$r\in(0,\infty)$および$\bar{d_X}(\bar{x},\bar{x}')\le r$を満たす$\bar{x},\bar{x}'\in\bar{X}$を任意に取る．このとき$\iota(X)$の稠密性より
$$ \bar{d_X}(\iota(x_n),\bar{x})<\frac{r}{n}\quad\text{かつ}\quad \bar{d_X}(\iota(x_n'),\bar{x}')<\frac{r}{n} $$
を満たす$X$の点列$\{x_n\},\{x_n'\}$が取れるから，$\bar{f}$の定義より$f(x_n)\to \bar{f}(\bar{x})$かつ$f(x_n')\to\bar{f}(\bar{x}')$ in $Y$であることにも注意すれば
\begin{align*} d_Y(\bar{f}(\bar{x}),\bar{f}(\bar{x}')) &\le d_Y(\bar{f}(\bar{x}),f(x_n))+d_Y(f(x_n),f(x_n'))+d_Y(f(x_n'),\bar{f}(\bar{x}')) \\ &\le d_Y(\bar{f}(\bar{x}),f(x_n))+\omega_f(d_X(x_n,x_n'))+d_Y(f(x_n'),\bar{f}(\bar{x}')) \\ &\le d_Y(\bar{f}(\bar{x}),f(x_n))+\omega_f(\bar{d_X}(\iota(x_n),\bar{x})+\bar{d_X}(\bar{x},\bar{x}')+\bar{d_X}(\bar{x}',\iota(x_n')))+d_Y(f(x_n'),\bar{f}(\bar{x}')) \\ &\le d_Y(\bar{f}(\bar{x}),f(x_n))+\omega_f(3r)+d_Y(f(x_n'),\bar{f}(\bar{x}')) \\ &\to \omega_f(3r) \qquad (n\to\infty), \end{align*}
つまり$\omega_{\bar{f}}(r)\le \omega_{f}(3r)$を得る．ここで$r\to +0$とすれば，$f$の一様連続性より$\omega_{\bar{f}}(r)\to 0$となるから$\bar{f}$も一様連続である．

STEP 3：$\bar{f}$の一意性．

一様連続写像$g:\bar{X}\to Y$が$f=g\circ{\iota}$を満たすとし，$\bar{x}\in\bar{X}$および$\iota_X(x_n)\to \bar{x}$ in $\bar{X}$を満たす$X$の点列$\{x_n\}$を任意に取ると
$$ d_Y(g(\iota(x_n)),g(\bar{x}))\le\omega_g(\bar{d_X}(\iota(x_n),\bar{x}))\to 0, $$
つまり$g(\iota(x_n))\to g(\bar{x})$ in $Y$が成り立つから
$$ \bar{f}(\bar{x})=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}g(\iota(x_n))=g(\bar{x}) $$
である．したがって一意性$\bar{f}=g$も示された．

一様連続写像${\iota_Y}\circ f:X\to\bar{Y}$に対して前命題を適用すればよい．

Step 1：和とスカラー倍がwell-definedであること．
$\iota(v_n),\iota(v_n')\to\bar{v}$かつ$\iota(w_n),\iota(w_n')\to\bar{w}$ in $\bar{V}$を満たす$V$の点列$\{v_n\},\{v_n'\},\{w_n\},\{w_n'\}$を任意に取ると，これらは$V$のCauchy列である．
すると$\iota$の等長性より$\{\iota(v_n+w_n)\},\{\iota(\lambda v_n)\},\{\iota(v_n'+w_n')\},\{\iota(\lambda v_n')\}$はすべて$\bar{V}$のCauchy列となり，$\bar{V}$の完備性よりそれぞれある元$\bar{u}_1,\bar{u}_2,\bar{u}_1',\bar{u}_2'\in\bar{V}$に収束する．
このとき
\begin{align*} \bar{d}(\bar{u}_1,\bar{u}_1') &\le \bar{d}(\bar{u}_1,\iota(v_n+w_n))+\bar{d}(\iota(v_n+w_n),\iota(v_n'+w_n'))+\bar{d}(\iota(v_n'+w_n'),\bar{u}_1') \\ &=\bar{d}(\bar{u}_1,\iota(v_n+w_n))+\|(v_n+w_n)-(v_n'+w_n')\|_{V}+\bar{d}(\iota(v_n'+w_n'),\bar{u}_1') \\ &\le \bar{d}(\bar{u}_1,\iota(v_n+w_n))+\|v_n-v_n'\|_{V}+\|w_n-w_n'\|_{V}+\bar{d}(\iota(v_n'+w_n'),\bar{u}_1') \\ &=\bar{d}(\bar{u}_1,\iota(v_n+w_n))+\bar{d}(\iota(v_n),\iota(v_n'))+\bar{d}(\iota(w_n),\iota(w_n'))+\bar{d}(\iota(v_n'+w_n'),\bar{u}_1') \\ &\to 0 \qquad (n\to\infty),\\ \bar{d}(\bar{u}_2,\bar{u}_2') &\le \bar{d}(\bar{u}_2,\iota(\lambda v_n))+\bar{d}(\iota(\lambda v_n),\iota(\lambda v_n'))+\bar{d}(\iota(\lambda v_n'),\bar{u}_2') \\ &=\bar{d}(\bar{u}_2,\iota(\lambda v_n))+\|\lambda v_n-\lambda v_n'\|_{V}+\bar{d}(\iota(\lambda v_n'),\bar{u}_2') \\ &=\bar{d}(\bar{u}_2,\iota(\lambda v_n))+|\lambda|\cdot\|v_n-v_n'\|_{V}+\bar{d}(\iota(\lambda v_n'),\bar{u}_2') \\ &=\bar{d}(\bar{u}_2,\iota(\lambda v_n))+|\lambda|\cdot\bar{d}(\iota(v_n)\iota(v_n'))+\bar{d}(\iota(\lambda v_n'),\bar{u}_2') \\ &\to 0 \qquad (n\to\infty) \end{align*}
だから，$\bar{u}_1=\bar{u}_1'$かつ$\bar{u}_2=\bar{u}_2'$が示され，$\bar{V}$の和とスカラー倍はwell-definedである．

Step 2：$\bar{V}$が線形空間となること．
$\bar{u},\bar{v},\bar{w}\in\bar{V}$と$\lambda,\mu\in K$，および$\iota(u_n)\to\bar{u}$かつ$\iota(v_n)\to\bar{v}$かつ$\iota(w_n)\to\bar{w}$ in $\bar{V}$を満たす$V$の点列$\{u_n\},\{v_n\},\{w_n\}$を任意に取る．
このとき和とスカラー倍の定義より
\begin{align*} (\bar{u}+\bar{v})+\bar{w} &=\lim_{n\to\infty}\iota((u_n+v_n)+w_n) =\lim_{n\to\infty}\iota(u_n+(v_n+w_n)) =\bar{u}+(\bar{v}+\bar{w}), \\ \bar{u}+\iota(0_V) &=\lim_{n\to\infty}\iota(u_n+0_V) =\lim_{n\to\infty}\iota(u_n)=\bar{u}, \\ \bar{u}+(-1)\bar{u} &=\lim_{n\to\infty}\iota(u_n+(-1)u_n) =\lim_{n\to\infty}\iota(0_V)=\iota(0_V),\\ \bar{u}+\bar{v} &=\lim_{n\to\infty}\iota(u_n+v_n) =\lim_{n\to\infty}\iota(v_n+u_n) =\bar{v}+\bar{u}, \\ \lambda(\mu\bar{u}) &=\lim_{n\to\infty}\iota(\lambda(\mu u_n)) =\lim_{n\to\infty}\iota((\lambda\mu)u_n) =(\lambda\mu)\bar{u}, \\ \lambda(u_n+v_n) &=\lim_{n\to\infty}\iota(\lambda(u_n+v_n)) =\lim_{n\to\infty}\iota(\lambda u_n+\lambda v_n) =\lambda\bar{u}+\lambda\bar{v}, \\ (\lambda+\mu)\bar{u} &=\lim_{n\to\infty}\iota((\lambda+\mu)u_n) =\lim_{n\to\infty}\iota(\lambda u_n+\mu u_n) =\lambda\bar{u}+\mu\bar{u}, \\ 1\bar{u} &=\lim_{n\to\infty}\iota(1u_n) =\lim_{n\to\infty}\iota(u_n) =\bar{u} \end{align*}
が成り立つから，$\bar{V}$は線形空間である．

Step 3：$\|\cdot\|_{\bar{V}}$がノルムであること．
$\bar{u},\bar{v}\in\bar{V}$と$\lambda\in K$，および$\iota(u_n)\to\bar{u}$かつ$\iota(v_n)\to\bar{v}$ in $\bar{V}$を満たす$V$の点列$\{u_n\},\{v_n\}$を任意に取ると
\begin{align*} d(\lambda u_n,0_V)=\|\lambda u_n\|_{V}&=|\lambda|\cdot\|u_n\|_{V}=|\lambda|\cdot d(u_n,0_V), \\ d(u_n+v_n,0_V)=\|u_n+v_n\|_{V}&\le \|u_n\|_{V}+\|v_n\|_{V}=d(u_n,0_V)+d(v_n,0_V) \end{align*}
が成り立つから，$n\to\infty$とすれば
\begin{align*} \|\lambda\bar{u}\|_{\bar{V}}=\bar{d}(\iota(\lambda \bar{u}),\iota(0_V))&=|\lambda|\cdot \bar{d}(\bar{u},\iota(0_V))=|\lambda|\cdot\|\bar{u}\|_{\bar{V}}, \\ \|\bar{u}+\bar{v}\|_{\bar{V}}=\bar{d}(\bar{u}+\bar{v},\iota(0_V))&\le \bar{d}(\bar{u},\iota(0_V))+\bar{d}(\bar{v},\iota(0_V))=\|\bar{u}\|_{\bar{V}}+\|\bar{v}\|_{\bar{V}} \end{align*}
を得る．また，$\bar{w}\in\bar{V}$に対して
$$ \|\bar{w}\|_{\bar{V}}=0\iff\bar{d}(\bar{w},\iota(0_V))=0\iff \bar{w}=\iota(0_V) $$
が成り立つから，$\|\cdot\|_{\bar{V}}$は$\bar{V}$上のノルムである．

Step 4：$\bar{d}(\bar{v},\bar{w})=\|\bar{v}-\bar{w}\|_{\bar{V}}$が成り立つこと．
$\iota(v_n)\to\bar{v}$かつ$\iota(w_n)\to\bar{w}$ in $\bar{V}$を満たす$V$の点列$\{v_n\},\{w_n\}$を任意に取れば，和の定義より$\iota(v_n-w_n)\to \bar{v}-\bar{w}$ in $\bar{V}$が成り立つから
\begin{align*} \bar{d}(\bar{v},\bar{w}) &=\lim_{n\to\infty}d(v_n,w_n) =\lim_{n\to\infty}d(v_n-w_n,0) =\bar{d}(\bar{v}-\bar{w},\iota(0)) =\|\bar{v}-\bar{w}\|_{\bar{V}}. \end{align*}
よって$\|\cdot\|_{\bar{V}}$が誘導する距離は完備な距離$\bar{d}$だから，$\bar{V}$はBanach空間である．

距離空間の完備化の一意性より，$\Phi\circ\iota=\iota'$を満たす等長同型写像$\Phi:\bar{V}\to \hat{V}$がただ一つ存在する．この$\Phi$が線形であることを示そう．
$\bar{u},\bar{v}\in\bar{V}$と$\lambda\in K$，および$\iota(u_n)\to\bar{u}$かつ$\iota(v_n)\to\bar{v}$ in $\bar{V}$を満たす$V$の点列$\{u_n\},\{v_n\}$を任意に取る．
このとき$\Phi\circ\iota=\iota'$から
$$ \Phi(\bar{u})=\lim_{n\to\infty}\iota'(u_n) $$
等が成り立つことに注意すると，$\iota'$の線形性より
\begin{align*} \Phi(\bar{u}+\lambda\bar{v}) &=\lim_{n\to\infty}\iota'(u_n+\lambda v_n) \\ &=\lim_{n\to\infty}\iota'(u_n)+\lambda\lim_{n\to\infty}\iota'(v_n) \\ &=\Phi(\bar{u})+\lambda\Phi(\bar{v}) \end{align*}
となる．

$f=\bar{f}\circ\iota$を満たす一様連続写像$\bar{f}:\bar{V}\to W$が一意に存在することは既に示したから，この$\bar{f}$が線形であることをまず示そう．

Step 1：$\bar{f}$の線形性．
$\bar{u},\bar{v}\in\bar{V}$と$\lambda \in K$，および$\iota(u_n)\to \bar{u}$かつ$\iota(v_n)\to\bar{v}$ in $\bar{V}$を満たす$V$の点列$\{u_n\},\{v_n\}$を任意に取る．このとき$\bar{f}$の構成を思い出すと
\begin{align*} \bar{f}(\bar{u}+\lambda\bar{v}) &=\lim_{n\to\infty}f(u_n+\lambda v_n) \\ &=\lim_{n\to\infty}f(u_n)+\lambda\lim_{n\to\infty}f(v_n) \\ &=\bar{f}(\bar{u})+\lambda\bar{f}(\bar{v}). \end{align*}

次に，対応$f\mapsto\bar{f}$の等長性・線形性・全射性を示す．

Step 2：等長性$\|f\|_{B(V,W)}=\|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})}$．
$$ \|f\|_{B(V,W)} =\|\bar{f}\circ{\iota_V}\|_{B(V,W)} \le \|\bar{f}\|_{B(\bar{V},W)}\cdot\|\iota\|_{B(V,\bar{V})} =\|\bar{f}\|_{B(\bar{V},W)}, $$
つまり$\|f\|_{B(V,W)}\le \|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})}$は成り立つ．逆向きの不等式を示すために，$\|\bar{v}\|_{\bar{V}}\le 1$を満たす$\bar{v}\in\bar{V}$，および$\iota(v_n)\to\bar{v}$ in $\bar{V}$を満たす$V$の点列$\{v_n\}$を任意に取ると，
$$ \|\bar{f}(\bar{v})\|_{W} =\lim_{n\to\infty}\|f(v_n)\|_W \le \|f\|_{B(V,W)}\cdot\limsup_{n\to\infty}\|v_n\|_V \le \|f\|_{B(V,W)} $$
が成り立つから，$\|f\|_{B(V,W)}$は$\{\|\bar{f}(\bar{v})\|_{W}\mid \bar{v}\in \bar{V},\ \|\bar{v}\|_{\bar{V}}\le 1\}$の上界である．よって作用素ノルム$\|\bar{f}\|_{B(\bar{V},W)}$の定義から$\|f\|_{B(V,W)}\ge \|\bar{f}\|_{B(\bar{V},W)}$も示された．

Step 3：線形性$\overline{f+\lambda g}=\bar{f}+\lambda\bar{g}$．
$f,g\in B(V,W)$と$\lambda\in K$を任意に取ると，既に示した通り$\bar{f},\bar{g}\in B(\bar{V},W)$は$f=\bar{f}\circ\iota$かつ$g=\bar{g}\circ\iota$を満たす．
すると
$$ f+\lambda g =\bar{f}\circ\iota+\lambda\cdot\bar{g}\circ\iota =(\bar{f}+\lambda\bar{g})\circ\iota $$
が成り立ち，$\bar{f}+\lambda\bar{g}\in B(\bar{V},W)$でもあるから$\overline{f+\lambda g}=\bar{f}+\lambda\bar{g}$を得る．

Step 4：全射性．
任意の$g\in B(\bar{V},W)$に対して，$\overline{g\circ\iota}=g$である．

$(K,|\cdot|)$がBanach空間であることに注意してBLT定理を使えばよい．

有界線形作用素${\iota_W}\circ f:V\to\bar{W}$に対してBLT定理を適用すれば，${\iota_W}\circ f=\bar{f}\circ{\iota_V}$を満たす有界線形作用素$\bar{f}:\bar{V}\to \bar{W}$が一意に存在して
$$ \|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})}=\|{\iota_W}\circ f\|_{B(V,\bar{W})}\le \|\iota_W\|_{B(W,\bar{W})}\|f\|_{B(V,W)}=\|f\|_{B(V,W)},$$
つまり$\|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})}\le \|f\|_{B(V,W))}$を満たすことはわかる．逆向きの不等式を示すため，$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取ると，$\|f\|_{B(V,W)}$の定義から
$$ \|f\|_{B(V,W)}-\varepsilon<\|f(v_\varepsilon)\|_W \quad\text{かつ}\quad \|v_\varepsilon\|_V=1$$
を満たす点$v_\varepsilon\in V$が取れる．このとき
\begin{align*} \|f\|_{B(V,W)}-\varepsilon &<\|f(v_\varepsilon)\|_W \\ &=\|\iota_W(f(v_\varepsilon))\|_{\bar{W}} \\ &=\|\bar{f}(\iota_V(v_\varepsilon))\|_{\bar{W}} \\ &\le\|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})}\|\iota_V(v_\varepsilon)\|_{\bar{V}} \\ &=\|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})}\|v_\varepsilon\|_V \\ &=\|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})} \end{align*}
より$\|f\|_{B(V,W)}-\varepsilon\le \|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})}$が成り立ち，$\varepsilon$の任意性から$\|f\|_{B(V,W)}\le \|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})}$を得る．したがって$\|f\|_{B(V,W)}=\|\bar{f}\|_{B(\bar{V},\bar{W})}$が示された．（対応$f\mapsto \bar{f}$の線形性はBLT定理と同様に簡単に確かめられる）

以前示したので略．

$V$の完備化を$((\bar{V},\|\cdot\|_{\bar{V}}),\iota)$とおくと，$\bar{V}$はHilbert空間だから，Rieszの表現定理より$(\bar{V})^{\ast}$もHilbert空間である．また，BLT定理より$V^{\ast}\ni f\mapsto \bar{f} \in (\bar{V})^{\ast}$は等長線形同型だから，$(\bar{V})^{\ast}$の中線定理
$$ \|\bar{f}+\bar{g}\|_{(\bar{V})^{\ast}}^2+\|\bar{f}-\bar{g}\|_{(\bar{V})^{\ast}}^2=2(\|\bar{f}\|_{(\bar{V})^{\ast}}^2+\|\bar{g}\|_{(\bar{V})^{\ast}}^2) $$
から$V^{\ast}$の中線定理
$$ \|f+g\|_{V^{\ast}}^2+\|f-g\|_{V^{\ast}}^2=2(\|f\|_{V^{\ast}}^2+\|g\|_{V^{\ast}}^2) $$
が導かれる．
$$ \xymatrix{ V \ar_{\iota}[d] & V^{\ast} \ar^{\text{BLT}}[d]\ar_{\wr}[d] \\ \bar{V} \ar_{\text{Riesz}}[r]\ar^{\sim}[r] & (\bar{V})^{\ast} }$$