写像の連続性を測るもの

• $(1)\Rightarrow(2)$：写像$\omega_{f,x}:[0,\infty]\to[0,\infty]$を$$ \omega_{f,x}(\delta):=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le\delta\} \qquad (\delta\in[0,\infty]) $$で定め，$\omega_{f,x}\in\mathcal{M}$かつ$f$が$x$において$\omega_{f,x}$-連続であることを示す．

  • 距離の非退化性より$\omega_{f,x}(0)=0$である：
    \begin{align*} \omega_{f,x}(0) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le 0\} \\ &=\sup\{d_Y(f(x),f(x))\} \\ &=\sup\{0\} \\ &=0. \end{align*}
  • $0\le\delta_1\le\delta_2\le\infty$のとき$\omega_{f,x}(\delta_1)\le\omega_{f,x}(\delta_2)$である：
    \begin{align*} \omega_{f,x}(\delta_1) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le \delta_1\} \\ &\le\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le \delta_2\} \\ &=\omega_{f,x}(\delta_2). \end{align*}
  • $\delta\to +0$のとき$\omega_{f,x}(\delta)\to 0$である．実際，$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取ると，$f$の$x$における連続性より「$d_X(x,x')\le\delta$を満たす任意の$x'\in X$に対して$d_Y(f(x),f(x'))\le\varepsilon$が成り立つ」という性質を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れる．この性質は「$\varepsilon$が集合
    $$ \{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le\delta\} $$
    の上界であること」を表しているので，$\omega_{f,x}(\delta)\le \varepsilon$が示された．

  上記3点より$\omega_{f,x}\in\mathcal{M}$である．また$x'\in X$を任意に取ると，$d_X(x,z)\le d_X(x,x')$を満たす任意の$z\in X$に対して$$ d_Y(f(x),f(z))\le \omega_{f,x}(d_X(x,x')) $$が成り立つから，特に$z=x'$の場合を考えることで$d_Y(f(x),f(x'))\le \omega_{f,x}(d_X(x,x'))$を得る．したがって，$f$は$x$において$\omega_{f,x}$-連続である．

• $(2)\Rightarrow(1)$：$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取る．このとき$\displaystyle\lim_{\delta\to +0}\omega(\delta)=0$であることから$\omega(\delta)\le \varepsilon$を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れて，$d_X(x,x')\le \delta$を満たす任意の$x'\in X$に対して$$ d_Y(f(x),f(x'))\le \omega(d_X(x,x'))\le \omega(\delta)\le\varepsilon $$が成り立つ．したがって，$f$は$x$において連続であることが示された．

$(1)\Rightarrow(2)$：写像$\omega_{f}:[0,\infty]\to[0,\infty]$を
$$ \omega_{f}(\delta):=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le\delta\} \qquad (\delta\in[0,\infty]) $$
で定め，$\omega_{f}\in\mathcal{M}$かつ$f$が$\omega_{f}$-連続であることを示す．

• 距離の非退化性より$\omega_{f}(0)=0$である：
  \begin{align*} \omega_{f}(0) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le 0\} \\ &=\sup\{d_Y(f(x),f(x))\mid x\in X\} \\ &=\sup\{0\} \\ &=0. \end{align*}
• $0\le\delta_1\le\delta_2\le\infty$のとき$\omega_{f}(\delta_1)\le\omega_{f}(\delta_2)$である：
  \begin{align*} \omega_{f}(\delta_1) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le \delta_1\} \\ &\le\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le \delta_2\} \\ &=\omega_{f}(\delta_2). \end{align*}
• $\delta\to +0$のとき$\omega_{f}(\delta)\to 0$である．実際，$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取ると，$f$の一様連続性より「$d_X(x,x')\le\delta$を満たす任意の$x,x'\in X$に対して$d_Y(f(x),f(x'))\le\varepsilon$が成り立つ」という性質を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れる．この性質は「$\varepsilon$が集合
  $$ \{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le\delta\} $$
  の上界であること」を表しているので，$\omega_{f}(\delta)\le \varepsilon$が示された．

上記3点より$\omega_{f}\in\mathcal{M}$である．また$x,x'\in X$を任意に取ると，$d_X(z,z')\le d_X(x,x')$を満たす任意の$z,z'\in X$に対して
$$ d_Y(f(z),f(z'))\le \omega_{f}(d_X(x,x')) $$
が成り立つから，特に$(z,z')=(x,x')$の場合を考えることで$d_Y(f(x),f(x'))\le \omega_{f}(d_X(x,x'))$を得る．したがって，$f$は$x$において$\omega_{f}$-連続でもある．

$(2)\Rightarrow(1)$：$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取る．このとき$\displaystyle\lim_{\delta\to +0}\omega(\delta)=0$であることから$\omega(\delta)\le \varepsilon$を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れて，$d_X(x,x')\le \delta$を満たす任意の$x,x'\in X$に対して
$$ d_Y(f(x),f(x'))\le \omega(d_X(x,x'))\le \omega(\delta)\le\varepsilon $$
が成り立つ．したがって，$f$は一様連続であることが示された．

$x'\in X$を任意に取ると，$f$の$x$における$\omega_1$-連続性などから
$$ d_Y(f(x),f(x'))\le \omega_1(d_X(x,x'))\le \omega_2(d_X(x,x')) $$
が成り立つ．したがって，$f$は$x$において$\omega_2$-連続である．

$x'\in X$を任意に取ると
\begin{align*} d_Z((g\circ f)(x),(g\circ f)(x')) &=d_Z(g(f(x)),g(f(x'))) \\ &\le \omega_2(d_Y(f(x),f(x'))) \\ &\le \omega_2(\omega_1(d_X(x,x'))) \\ &=({\omega_2}\circ{\omega_1})(d_X(x,x')) \end{align*}
が成り立つから，$g\circ f$は$x$において${\omega_2}\circ{\omega_1}$-連続である．

1. 任意の$x'\in X$に対して
   \begin{align*} \|(af+bg)(x)-(af+bg)(x')\|_W &=\|a(f(x)-f(x'))+b(g(x)-g(x'))\|_W \\ &\le |a|\|f(x)-f(x')\|_W+|b|\|g(x)-g(x')\|_W \\ &\le |a|\omega_1(d_X(x,x'))+|b|\omega_2(d_X(x,x'))\\ &=(|a|\omega_1+|b|\omega_2)(d_X(x,x')) \end{align*}
   が成り立つから，$af+bg$は$|a|\omega_1+|b|\omega_2$-連続である．
2. 任意の$f,g\in C_{x,\omega}(X,W)$と$t\in[0,1]$に対して，(1)より$(1-t)f+tg$も$x$において$\omega$-連続となるから，$C_{x,\omega}(X,W)$は凸集合である．すると「凸集合の族の共通部分は凸集合である」という事実（参考：凸集合と基本性質）と次の等式
   $$ C_{\omega}(X,W)=\bigcap_{x\in X}C_{x,\omega}(X,W) $$
   から，$C_{\omega}(X,W)$の凸性も従う．
3. まず注意として，$[{\cdot}]_{x,\omega},[{\cdot}]_\omega$の定義式の中にある$\inf$は$\min$で置き換えてよい．
   補足：$\inf$を$\min$で置き換えてよい理由

   $f\in C_{[0,\infty)\omega}(X,W)$が$[f]_{\omega}\omega$-連続であることを確かめればよい（各点における議論も同様）．
   $[f]_\omega$の定義から$f\in C_{L\omega}(X,W)$を満たす$L\in[[f]_\omega,[f]_\omega+1)$が存在するが，このとき任意の$\delta\in[0,\infty]$に対して$[f]_\omega\omega(\delta)\le L\omega(\delta)$が成り立つから$f$は$[f]_\omega\omega$-連続でもある．

   
   これを踏まえると，(1) から容易に (3) が示される．簡単のため（）内のみ示すが，他方も同様．
   • $f$は$[f]_\omega\omega$-連続だから，(1)より$af$は$|a|[f]_\omega\omega$-連続であり，$[af]_\omega\le|a|[f]_\omega$を得る．逆向きの不等式$[af]_\omega\ge|a|[f]_\omega$は，$a=0$のときは自明であり，$a\ne 0$のときは既に示した不等式
     $$ \bigg[\frac{1}{a}\cdot af\bigg]_\omega\le \bigg|\frac{1}{a}\bigg|[af]_\omega $$
     を整理すれば得られる．
   • $f$は$[f]_\omega\omega$-連続で$g$は$[g]_\omega\omega$-連続だから，(1)より$f+g$は$[f]_\omega\omega+[g]_\omega\omega$-連続であり，$[f+g]_\omega\le[f]_\omega+[g]_\omega$を得る．

任意の$x'\in X$に対して
\begin{align*} d_Y(f(x),f(x')) &\le d_Y(f(x),f_n(x))+d_Y(f_n(x),f_n(x'))+d_Y(f_n(x'),f(x')) \\ &\le d_Y(f(x),f_n(x))+\omega(d_X(x,x'))+d_Y(f_n(x'),f(x')) \\ &\to \omega(d_X(x,x')) & (n\to\infty) \end{align*}
が成り立つから，$f$も$x$において$\omega$-連続である．

任意の$x'\in X$に対して
\begin{align*} |{\langle f(x),g(x)\rangle_W-\langle f(x'),g(x')\rangle_W}| &=|{\langle f(x)-f(x'),g(x)\rangle_W+\langle f(x'),g(x)-g(x')\rangle_W}| \\ &\le \|f(x)-f(x')\|_W\|g(x)\|_W+\|f(x')\|_W\|g(x)-g(x')\|_W \\ &\le \omega_1(d_X(x,x'))\|g\|_\infty+\|f\|_\infty\omega_2(d_X(x,x')) \\ &=(\|g\|_\infty\omega_1+\|f\|_\infty\omega_2)(d_X(x,x')) \end{align*}
が成り立つから，$\langle f(\cdot),g(\cdot)\rangle_W$は$x$において$\|g\|_\infty\omega_1+\|f\|_\infty\omega_2$-連続である．

任意の$x'\in X$と$\mu\in\Lambda$に対して，次の評価
\begin{align*} \inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda(x)\le f_\mu(x)\le f_\mu(x')+|f_\mu(x)-f_\mu(x')|\le f_\mu(x')+\omega(d_X(x,x')) \end{align*}
より
$$ \bigg|\inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda(x)-\inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda(x')\bigg|\le \omega(d_X(x,x')) $$
を得るから，$\displaystyle\inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda$は$\omega$-連続である．$\displaystyle\sup_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda$についても同様に示せる．

• $\tilde{\omega}(0)=0$である：
  \begin{align*} \tilde{\omega}(0) =\sup_{r\in[0,0]}\omega(r) =\sup\{\omega(0)\} =\sup\{0\} =0. \end{align*}
• $0\le\delta_1\le\delta_2\le\infty$のとき，$\tilde{\omega}(\delta_1)\le\tilde{\omega}(\delta_2)$である：
  \begin{align*} \tilde{\omega}(\delta_1) =\sup_{r\in[0,\delta_1]}\omega(r) \le\sup_{r\in[0,\delta_2]}\omega(r) =\tilde{\omega}(\delta_2). \end{align*}
• $\delta\to +0$のとき$\tilde{\omega}(\delta)\to 0$である.実際，任意の$\varepsilon\in(0,\infty)$に対して，「任意の$r\in[0,\delta]$に対して$\omega(r)\le\varepsilon$が成り立つ」という性質を満たす$\delta\in(0,\infty)$が存在するが，この性質は$\tilde{\omega}(\delta)\le\varepsilon$を意味する．

以上3点より，$\tilde{\omega}\in\mathcal{M}$が示された．また任意の$\delta\in[0,\infty]$に対して，$\omega(\delta)\in\{\omega(r)\mid r\in[0,\delta]\}$が成り立つから$\omega(\delta)\le\tilde{\omega}(\delta)$も示された．

(1), (2), (3) と (4) の$1.\Rightarrow 2.\Leftrightarrow 3.$は既に示した．また$3.\Rightarrow 1.$も，上の証明とほぼ同様に示せる．(5) について，$\delta\in[0,\infty]$と$d_X(x,x')\le\delta$を満たす$x'\in X$を任意に取ると
$$ d_Y(f(x),f(x'))\le\omega(d_X(x,x'))\le\omega(\delta) $$
が成り立つから$\omega_{f,x}(\delta)\le\omega(\delta)$を得る．

(1), (2), (3) と (4) の$1.\Rightarrow 2.\Leftrightarrow 3.$は既に示した．また$3.\Rightarrow 1.$も，上の証明とほぼ同様に示せる．(5) について，$\delta\in[0,\infty]$と$d_X(x,x')\le\delta$を満たす$x,x'\in X$を任意に取ると
$$ d_Y(f(x),f(x'))\le\omega(d_X(x,x'))\le\omega(\delta) $$
が成り立つから$\omega_{f}(\delta)\le\omega(\delta)$を得る．

$\delta\in [0,\infty]$を任意に取り，$S_\delta:=\{\omega_{f,x}(\delta)\mid x\in X\}$とおく．

• $x\in X$を任意に取る．このとき$d_X(x,x')\le\delta$を満たす任意の$x'\in X$に対して
  $$ d_Y(f(x),f(x'))\le\omega_f(d_X(x,x'))\le\omega_f(\delta)$$
  が成り立つから，$\omega_{f,x}(\delta)\le\omega_f(\delta)$となり，$\omega_f(\delta)$は$S_\delta$の上界である．
• 任意の$a\in(-\infty,\omega_f(\delta))$に対して，$d_X(x,x')\le\delta$かつ$a< d_Y(f(x),f(x'))$を満たす$x,x'\in X$が存在する．このとき
  $$ a< d_Y(f(x),f(x'))\le\omega_{f,x}(\delta)$$
  となるから，$S_\delta$の上界で$\omega_f(\delta)$より小さいものは存在しない．

以上より，$\omega_f(\delta)=\sup(S_\delta)$である．

1. $x\in A$を任意に取ると，まず$f_\omega,f^\omega$の定義より
   $$ f^\omega(x)\le f(x)+\omega(d_X(x,x))=f(x)=f(x)-\omega(d_X(x,x))\le f_\omega(x), $$
   つまり$f^\omega(x)\le f(x)\le f_\omega(x)$を得る．また$f$の$\omega$-連続性より，任意の$a\in A$に対して
   $$ f(a)-\omega(d_X(x,a))\le f(x)\le f(a)+\omega(d_X(x,a)) $$
   が成り立つから$f_\omega(x)\le f(x)\le f^\omega(x)$を得る．よって$f_\omega(x)=f(x)=f^\omega(x)$が示された．
2. 写像の族$\{g_a^{\pm}:X\to\mathbb{R}\}_{a\in A}$を次式で定める：
   $$ g_a^{\pm}(x):=f(a)\pm\omega(d_X(x,a)) \qquad (a\in A,\ x\in X). $$
   このとき$\omega$の劣加法性より，各$g_a^{\pm}$は$\omega$-連続である：任意の$x,x'\in X$に対して
   $$ |g_a^{\pm}(x)-g_a^{\pm}(x')|=|\omega(d_X(x,a))-\omega(d_X(x',a))|\le \omega(d_X(x,x)). $$
   よって，既に示したことから$\displaystyle f_\omega=\sup_{a\in A}g_a^{-}$と$\displaystyle f^\omega=\inf_{a\in A}g_a^{+}$も$\omega$-連続である．
3. $g$の$\omega$-連続性と$g|_{A}=f$より，任意の$a\in A$に対して
   $$ f(a)-\omega(d_X(x,a))=g(a)-\omega(d_X(x,a))\le g(x)\le g(a)+\omega(d_X(x,a))=f(a)+\omega(d_X(x,a)) $$
   が成り立つから$f_\omega(x)\le g(x)\le f^\omega(x)$を得る．

1. $\delta_1,\delta_2\in(0,\infty)$の場合のみ考える（そうでない場合は個別に考えれば容易に示せる）．
   $\|v-v'\|\le\delta_1+\delta_2$を満たす$v,v'\in C$を任意に取る．このとき
   $$ v'':=\frac{\delta_2}{\delta_1+\delta_2}v+\frac{\delta_1}{\delta_1+\delta_2}v' $$
   とおけば，$v''\in C$かつ$\|v-v''\|\le \delta_1$かつ$\|v''-v'\|\le\delta_2$が成り立つから
   \begin{align*} d(f(v),f(v')) &\le d(f(v),f(v''))+d(f(v''),f(v')) \le \omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2) \end{align*}
   となる．$v,v'$は任意だったから，$\omega_f(\delta_1+\delta_2)\le\omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2)$が示された．
2. $\delta\in[0,\infty)$を任意に取り，$n$に関する数学的帰納法で示す．$n=1$の場合は明らか．
   ある$n\in\mathbb{N}$について$\omega_f(n\delta)\le n\omega_f(\delta)$が成り立っていたと仮定すると，(1)より
   \begin{align*} \omega_f((n+1)\delta) &=\omega_f(n\delta+\delta) \le \omega_f(n\delta)+\omega_f(\delta) \le n\omega_f(\delta)+\omega_f(\delta) =(n+1)\omega_f(\delta) \end{align*}
   となる．したがって，任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$\omega_f(n\delta)\le n\omega_f(\delta)$であることが示された．
3. $n:=\lfloor\lambda\rfloor$とおくと$n\le\lambda< n+1$だから，(2)より
   \begin{align*} \omega_f(\lambda\delta) &\le\omega_f((n+1)\delta) \le (n+1)\omega_f(\delta) = (\lfloor\lambda\rfloor+1)\omega_f(\delta). \end{align*}

$[a,b]$の任意の分割
$$ \Delta:{a=x_0< x_1<\cdots< x_{k-1}< x_{k}=b}$$
に対して，$\Delta$に関する$f$の過剰和$S_\Delta$と不足和$s_\Delta$の差は，各小区間$[x_{j},x_{j+1}]$における$f$の最大点と最小点をそれぞれ$x_{\text{max}}^{(j)},x_{\text{min}}^{(j)}$とおけば
\begin{align*} S_\Delta-s_\Delta &=\sum_{j=0}^{k-1}(f(x_{\text{max}}^{(j)})-f(x_{\text{min}}^{(j)}))(x_{j+1}-x_{j}) \\ &\le \sum_{j=0}^{k-1}\omega_{f}(|x_{\text{max}}^{(j)}-x_{\text{min}}^{(j)}|)(x_{j+1}-x_{j}) \\ &\le \sum_{j=0}^{k-1}\omega_{f}(|\Delta|)(x_{j+1}-x_{j}) \\ &=\omega_{f}(|\Delta|)(b-a) \end{align*}
と評価できる．ここで，$\omega_f$は$f$の（最適）一様連続度とし，$|\Delta|$は分割$\Delta$の幅
$$ |\Delta|:=\max_{j\in\{0,1,\ldots,k-1\}}(x_{j+1}-x_{j}) $$
とした．さて，任意の$\varepsilon\in(0,\infty)$に対して，$f$の一様連続性より
$$ \omega_f(\delta)\le \frac{\varepsilon}{b-a} $$
を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れるから，$|\Delta|<\delta$なる任意の分割$\Delta$に対して$S_\Delta-s_\Delta\le\varepsilon$が成り立つ．したがって，$f$は$[a,b]$上でリーマン積分可能である．

計算を頑張ると，$\{K_t\}_{t\in(0,\infty)}$は次の2性質を満たすことが確かめられる（略）．

• 任意の$t\in(0,\infty)$に対して，$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}K_t(x)\,dx=1$である．
• 任意の$\delta\in(0,\infty)$に対して，$\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{|x|\ge \delta}K_t(x)\,dx=0$である．

さて，$|f|$の上界$M$を1つ固定し，$\delta\in(0,\infty)$を任意に取る．このとき，任意の$t\in(0,\infty)$と$x\in\mathbb{R}^n$に対して
\begin{align*} |(K_t\ast f)(x)-f(x)| &=\bigg|\int_{\mathbb{R}^n}K_t(y)f(x-y)\,dy-f(x)\int_{\mathbb{R}^n}K_t(y)\,dy\bigg| \\ &\le \int_{\mathbb{R}^n}K_t(y)|f(x-y)-f(x)|\,dy \\ &\le \int_{|y|\le\delta}K_t(y)\omega_f(|y|)\,dy+2M\int_{|y|\ge\delta}K_t(y)\,dx \\ &\le \omega_f(\delta)+2M\int_{|y|\ge \delta}K_t(y)\,dy \end{align*}
が成り立つから
$$ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}|(K_t\ast f)(x)-f(x)|\le \omega_f(\delta)+2M\int_{|y|\ge \delta}K_t(y)\,dy $$
であり，$t\to +0$の上極限を取ることで
$$ \limsup_{t\to +0}\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|(K_t\ast f)(x)-f(x)|\le \omega_f(\delta)+2M\lim_{t\to +0}\int_{|y|\ge \delta}K_t(y)\,dy=\omega_f(\delta) $$
を得る．最後に$\delta\to +0$とすれば，$f$の一様連続性とはさみうちの原理から
$$ \limsup_{t\to +0}\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|(K_t\ast f)(x)-f(x)|=0 $$
となり所望の結論が示された．

反射律と推移律の成立は容易に確かめられる．

• 任意の$f\in Y^X$と$\delta\in[0,\infty]$に対して$\omega_{f,x}(\delta)\le \omega_{f,x}(\delta)$と$\omega_{f}(\delta)\le\omega_{f}(\delta)$が成り立つから，$f\mathrel{\preceq_x}f$と$f\preceq f$が成り立つ．
• $f,g,h\in Y^X$が$f\mathrel{\preceq_x}g$かつ$g\mathrel{\preceq_x}h$を満たすとき，ある$\delta_1,\delta_2\in(0,\infty]$が存在して，任意の$\delta\in[0,\delta_1]$に対して$\omega_{h,x}(\delta)\le\omega_{g,x}(\delta)$が成り立ち，任意の$\delta\in[0,\delta_2]$に対して$\omega_{g,x}(\delta)\le\omega_{f,x}(\delta)$が成り立つ．よって$\delta_0:=\min\{\delta_1,\delta_2\}$とおけば，任意の$\delta\in[0,\delta_0]$に対して$\omega_{h,x}(\delta)\le\omega_{g,x}(\delta)\le\omega_{f,x}(\delta)$が成り立ち，すなわち$f\mathrel{\preceq_x}h$を得る．$\preceq$の推移律も同様に示せる．