写像の連続性を測るもの

写像$\omega_{f,x}:[0,\infty]\to[0,\infty]$を$$ \omega_{f,x}(\delta):=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le\delta\} \qquad (\delta\in[0,\infty]) $$で定め，$\omega_{f,x}\in\mathcal{M}$かつ$f$が$x$において$\omega_{f,x}$-連続であることを示す．

• 距離の非退化性より$\omega_{f,x}(0)=0$である：
  \begin{align*} \omega_{f,x}(0) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le 0\} \\ &=\sup\{d_Y(f(x),f(x))\} \\ &=\sup\{0\} \\ &=0. \end{align*}
• $0\le\delta_1\le\delta_2\le\infty$のとき$\omega_{f,x}(\delta_1)\le\omega_{f,x}(\delta_2)$である：
  \begin{align*} \omega_{f,x}(\delta_1) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le \delta_1\} \\ &\le\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le \delta_2\} \\ &=\omega_{f,x}(\delta_2). \end{align*}
• $\delta\to +0$のとき$\omega_{f,x}(\delta)\to 0$である．実際，$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取ると，$f$の$x$における連続性より「$d_X(x,x')\le\delta$を満たす任意の$x'\in X$に対して$d_Y(f(x),f(x'))\le\varepsilon$が成り立つ」という性質を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れる．この性質は「$\varepsilon$が集合
  $$ \{d_Y(f(x),f(x'))\mid x'\in X,\ d_X(x,x')\le\delta\} $$
  の上界であること」を表しているので，$\omega_{f,x}(\delta)\le \varepsilon$が示された．

$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取る．このとき$\displaystyle\lim_{\delta\to +0}\omega(\delta)=0$であることから$\omega(\delta)\le \varepsilon$を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れて，$d_X(x,x')\le \delta$を満たす任意の$x'\in X$に対して$$ d_Y(f(x),f(x'))\le \omega(d_X(x,x'))\le \omega(\delta)\le\varepsilon $$が成り立つ．したがって，$f$は$x$において連続であることが示された．

写像$\omega_{f}:[0,\infty]\to[0,\infty]$を
$$ \omega_{f}(\delta):=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le\delta\} \qquad (\delta\in[0,\infty]) $$
で定め，$\omega_{f}\in\mathcal{M}$かつ$f$が$\omega_{f}$-連続であることを示す．

• 距離の非退化性より$\omega_{f}(0)=0$である：
  \begin{align*} \omega_{f}(0) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le 0\} \\ &=\sup\{d_Y(f(x),f(x))\mid x\in X\} \\ &=\sup\{0\} \\ &=0. \end{align*}
• $0\le\delta_1\le\delta_2\le\infty$のとき$\omega_{f}(\delta_1)\le\omega_{f}(\delta_2)$である：
  \begin{align*} \omega_{f}(\delta_1) &=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le \delta_1\} \\ &\le\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le \delta_2\} \\ &=\omega_{f}(\delta_2). \end{align*}
• $\delta\to +0$のとき$\omega_{f}(\delta)\to 0$である．実際，$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取ると，$f$の一様連続性より「$d_X(x,x')\le\delta$を満たす任意の$x,x'\in X$に対して$d_Y(f(x),f(x'))\le\varepsilon$が成り立つ」という性質を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れる．この性質は「$\varepsilon$が集合
  $$ \{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')\le\delta\} $$
  の上界であること」を表しているので，$\omega_{f}(\delta)\le \varepsilon$が示された．

$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取る．このとき$\displaystyle\lim_{\delta\to +0}\omega(\delta)=0$であることから$\omega(\delta)\le \varepsilon$を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れて，$d_X(x,x')\le \delta$を満たす任意の$x,x'\in X$に対して
$$ d_Y(f(x),f(x'))\le \omega(d_X(x,x'))\le \omega(\delta)\le\varepsilon $$
が成り立つ．したがって，$f$は一様連続であることが示された．

$x'\in X$を任意に取ると，$f$の$x$における$\omega_1$-連続性などから
$$ d_Y(f(x),f(x'))\le \omega_1(d_X(x,x'))\le \omega_2(d_X(x,x')) $$
が成り立つ．したがって，$f$は$x$において$\omega_2$-連続である．

$x'\in X$を任意に取ると
\begin{align*} d_Z((g\circ f)(x),(g\circ f)(x')) &=d_Z(g(f(x)),g(f(x'))) \\ &\le \omega_2(d_Y(f(x),f(x'))) \\ &\le \omega_2(\omega_1(d_X(x,x'))) \\ &=({\omega_2}\circ{\omega_1})(d_X(x,x')) \end{align*}
が成り立つから，$g\circ f$は$x$において${\omega_2}\circ{\omega_1}$-連続である．

任意の$x'\in X$に対して
\begin{align*} d_Y(f(x),f(x')) &\le d_Y(f(x),f_n(x))+d_Y(f_n(x),f_n(x'))+d_Y(f_n(x'),f(x')) \\ &\le d_Y(f(x),f_n(x))+\omega(d_X(x,x'))+d_Y(f_n(x'),f(x')) \\ &\to \omega(d_X(x,x')) & (n\to\infty) \end{align*}
が成り立つから，$f$も$x$において$\omega$-連続である．

任意の$x'\in X$に対して
\begin{align*} |{\langle f(x),g(x)\rangle_W-\langle f(x'),g(x')\rangle_W}| &=|{\langle f(x)-f(x'),g(x)\rangle_W+\langle f(x'),g(x)-g(x')\rangle_W}| \\ &\le \|f(x)-f(x')\|_W\|g(x)\|_W+\|f(x')\|_W\|g(x)-g(x')\|_W \\ &\le \omega_1(d_X(x,x'))\|g\|_\infty+\|f\|_\infty\omega_2(d_X(x,x')) \\ &=(\|g\|_\infty\omega_1+\|f\|_\infty\omega_2)(d_X(x,x')) \end{align*}
が成り立つから，$\langle f(\cdot),g(\cdot)\rangle_W$は$x$において$\|g\|_\infty\omega_1+\|f\|_\infty\omega_2$-連続である．

任意の$x'\in X$と$\mu\in\Lambda$に対して，次の評価
\begin{align*} \inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda(x)\le f_\mu(x)\le f_\mu(x')+|f_\mu(x)-f_\mu(x')|\le f_\mu(x')+\omega(d_X(x,x')) \end{align*}
より
$$ \bigg|\inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda(x)-\inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda(x')\bigg|\le \omega(d_X(x,x')) $$
を得るから，$\displaystyle\inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda$は$\omega$-連続である．$\displaystyle\sup_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda$についても同様に示せる．

• $\tilde{\omega}(0)=0$である：
  \begin{align*} \tilde{\omega}(0) =\sup_{r\in[0,0]}\omega(r) =\sup\{\omega(0)\} =\sup\{0\} =0. \end{align*}
• $0\le\delta_1\le\delta_2\le\infty$のとき，$\tilde{\omega}(\delta_1)\le\tilde{\omega}(\delta_2)$である：
  \begin{align*} \tilde{\omega}(\delta_1) =\sup_{r\in[0,\delta_1]}\omega(r) \le\sup_{r\in[0,\delta_2]}\omega(r) =\tilde{\omega}(\delta_2). \end{align*}
• $\delta\to +0$のとき$\tilde{\omega}(\delta)\to 0$である.実際，任意の$\varepsilon\in(0,\infty)$に対して，「任意の$r\in[0,\delta]$に対して$\omega(r)\le\varepsilon$が成り立つ」という性質を満たす$\delta\in(0,\infty)$が存在するが，この性質は$\tilde{\omega}(\delta)\le\varepsilon$を意味する．

(1), (2), (3) と (4) の$1.\Rightarrow 2.\Leftrightarrow 3.$は既に示した．また$3.\Rightarrow 1.$も，上の証明とほぼ同様に示せる．(5) について，$\delta\in[0,\infty]$と$d_X(x,x')\le\delta$を満たす$x'\in X$を任意に取ると
$$ d_Y(f(x),f(x'))\le\omega(d_X(x,x'))\le\omega(\delta) $$
が成り立つから$\omega_{f,x}(\delta)\le\omega(\delta)$を得る．

(1), (2), (3) と (4) の$1.\Rightarrow 2.\Leftrightarrow 3.$は既に示した．また$3.\Rightarrow 1.$も，上の証明とほぼ同様に示せる．(5) について，$\delta\in[0,\infty]$と$d_X(x,x')\le\delta$を満たす$x,x'\in X$を任意に取ると
$$ d_Y(f(x),f(x'))\le\omega(d_X(x,x'))\le\omega(\delta) $$
が成り立つから$\omega_{f}(\delta)\le\omega(\delta)$を得る．

$\delta\in [0,\infty]$を任意に取り，$S_\delta:=\{\omega_{f,x}(\delta)\mid x\in X\}$とおく．

• $x\in X$を任意に取る．このとき$d_X(x,x')\le\delta$を満たす任意の$x'\in X$に対して
  $$ d_Y(f(x),f(x'))\le\omega_f(d_X(x,x'))\le\omega_f(\delta)$$
  が成り立つから，$\omega_{f,x}(\delta)\le\omega_f(\delta)$となり，$\omega_f(\delta)$は$S_\delta$の上界である．
• 任意の$a\in(-\infty,\omega_f(\delta))$に対して，$d_X(x,x')\le\delta$かつ$a< d_Y(f(x),f(x'))$を満たす$x,x'\in X$が存在する．このとき
  $$ a< d_Y(f(x),f(x'))\le\omega_{f,x}(\delta)$$
  となるから，$S_\delta$の上界で$\omega_f(\delta)$より小さいものは存在しない．

$[a,b]$の任意の分割
$$ \Delta:{a=x_0< x_1<\cdots< x_{k-1}< x_{k}=b}$$
に対して，$\Delta$に関する$f$の過剰和$S_\Delta$と不足和$s_\Delta$の差は，各小区間$[x_{j},x_{j+1}]$における$f$の最大点と最小点をそれぞれ$x_{\text{max}}^{(j)},x_{\text{min}}^{(j)}$とおけば
\begin{align*} S_\Delta-s_\Delta &=\sum_{j=0}^{k-1}(f(x_{\text{max}}^{(j)})-f(x_{\text{min}}^{(j)}))(x_{j+1}-x_{j}) \\ &\le \sum_{j=0}^{k-1}\omega_{f}(|x_{\text{max}}^{(j)}-x_{\text{min}}^{(j)}|)(x_{j+1}-x_{j}) \\ &\le \sum_{j=0}^{k-1}\omega_{f}(|\Delta|)(x_{j+1}-x_{j}) \\ &=\omega_{f}(|\Delta|)(b-a) \end{align*}
と評価できる．ここで，$\omega_f$は$f$の（最適）一様連続度とし，$|\Delta|$は分割$\Delta$の幅
$$ |\Delta|:=\max_{j\in\{0,1,\ldots,k-1\}}(x_{j+1}-x_{j}) $$
とした．さて，任意の$\varepsilon\in(0,\infty)$に対して，$f$の一様連続性より
$$ \omega_f(\delta)\le \frac{\varepsilon}{b-a} $$
を満たす$\delta\in(0,\infty)$が取れるから，$|\Delta|<\delta$なる任意の分割$\Delta$に対して$S_\Delta-s_\Delta\le\varepsilon$が成り立つ．したがって，$f$は$[a,b]$上でリーマン積分可能である．

計算を頑張ると，$\{K_t\}_{t\in(0,\infty)}$は次の2性質を満たすことが確かめられる（略）．

• 任意の$t\in(0,\infty)$に対して，$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}K_t(x)\,dx=1$である．
• 任意の$\delta\in(0,\infty)$に対して，$\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{|x|\ge \delta}K_t(x)\,dx=0$である．

反射律と推移律の成立は容易に確かめられる．

• 任意の$f\in Y^X$と$\delta\in[0,\infty]$に対して$\omega_{f,x}(\delta)\le \omega_{f,x}(\delta)$と$\omega_{f}(\delta)\le\omega_{f}(\delta)$が成り立つから，$f\mathrel{\preceq_x}f$と$f\preceq f$が成り立つ．
• $f,g,h\in Y^X$が$f\mathrel{\preceq_x}g$かつ$g\mathrel{\preceq_x}h$を満たすとき，ある$\delta_1,\delta_2\in(0,\infty]$が存在して，任意の$\delta\in[0,\delta_1]$に対して$\omega_{h,x}(\delta)\le\omega_{g,x}(\delta)$が成り立ち，任意の$\delta\in[0,\delta_2]$に対して$\omega_{g,x}(\delta)\le\omega_{f,x}(\delta)$が成り立つ．よって$\delta_0:=\min\{\delta_1,\delta_2\}$とおけば，任意の$\delta\in[0,\delta_0]$に対して$\omega_{h,x}(\delta)\le\omega_{g,x}(\delta)\le\omega_{f,x}(\delta)$が成り立ち，すなわち$f\mathrel{\preceq_x}h$を得る．$\preceq$の推移律も同様に示せる．

$\delta=0,\infty$の場合は個別に考えることで容易に示せるから，以下$\delta\in(0,\infty)$の場合のみ考える．

• $|x-y|\le\delta$を満たす任意の$y\in\mathbb{R}$に対して
  $$ |f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\le \delta(|y-x|+2|x|)\le \delta(\delta+2|x|)$$
  が成り立つから，$\omega_{f,x}(\delta)\le\delta(\delta+2|x|)$である．
• $y\in\mathbb{R}$を次式で定める．
  $$ y:=\begin{cases}x+\delta&(\text{$x\ge 0$ の場合}),\\x-\delta&(\text{$x<0$ の場合}).\end{cases} $$
  このとき$|x-y|=\delta$かつ$y^2=x^2+2|x|\delta+\delta^2$が成り立つから
  $$ |f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=2|x|\delta+\delta^2=\delta(\delta+2|x|),$$
  よって$\omega_{f,x}(\delta)\ge\delta(\delta+2|x|)$である．

前問より，$\delta\in[0,\infty]$に対して\begin{align*} \omega_f(\delta) =\sup_{x\in\mathbb{R}}\omega_{f,x}(\delta) =\sup_{x\in\mathbb{R}}\delta(\delta+2|x|) =\begin{cases} 0 & (\text{$\delta=0$ の場合}), \\ \infty & (\text{$\delta>0$ の場合}) \end{cases} \end{align*}
が成り立つから，$\displaystyle\lim_{\delta\to +0}\omega_f(\delta)=\infty$であり，$f$は一様連続でないことが示された．