写像の連続性を測るもの

距離空間の間の写像$f:X\to Y$と点$x\in X$に対して，最適連続度$\omega_{f,x}$を考える．

1. $\omega_{f,x}(0)=0$である．
2. $\omega_{f,x}$は単調増加である．
3. 任意の$x'\in X$に対して$d_Y(f(x),f(x'))\le\omega_{f,x}(d_X(x,x'))$が成り立つ．
4. 連続度$\omega$について，$f$が$x$において$\omega$-連続であれば，任意の$\delta\in[0,\infty]$に対して$\omega_{f,x}(\delta)\le\omega(\delta)$が成り立つ．

距離空間の間の写像$f:X\to Y$に対して，最適連続度$\omega_{f}$を考える．

1. $\omega_{f}(0)=0$である．
2. $\omega_{f}$は単調増加である．
3. 任意の$x,x'\in X$に対して$d_Y(f(x),f(x'))\le\omega_{f}(d_X(x,x'))$が成り立つ．
4. 連続度$\omega$について，$f$が$\omega$-連続であれば，任意の$\delta\in[0,\infty]$に対して$\omega_{f}(\delta)\le\omega(\delta)$が成り立つ．

$(X,d_X),(Y,d_Y)$を距離空間とし，写像$f:X\to Y$を考える．このとき，次式が成り立つ：
$$\omega_f(\delta)=\sup(\{\omega_{f,x}(\delta)\mid x\in X\}) \qquad (\delta\in[0,\infty]).$$

$(X,d_X),(Y,d_Y)$を距離空間，$x\in X$とし，写像$f:X\to Y$を考える．このとき，次の2条件は同値である．

1. $f$は$x$において連続である．
2. ある連続度$\omega$が存在して，$f$は$x$において$\omega$-連続である．

$(X,d_X),(Y,d_Y)$を距離空間とし，写像$f:X\to Y$を考える．このとき，次の2条件は同値である．

1. $f$は一様連続である．
2. ある連続度$\omega$が存在して，$f$は$\omega$-連続である．

$(X,d_X),(Y,d_Y)$を距離空間，$x\in X$とし，連続度$\omega_1,\omega_2$は任意の$\delta\in[0,\infty]$に対して
$$ \omega_1(\delta)\le\omega_2(\delta) $$
を満たすとする．このとき，写像$f:X\to Y$が$x$において$\omega_1$-連続であれば，$f$は$x$において$\omega_2$-連続でもある．

$(X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z)$を距離空間，$x\in X$，$\omega_1,\omega_2$を連続度とする．
このとき，写像$f:X\to Y$が$x$において$\omega_1$-連続で，かつ写像$g:Y\to Z$が$f(x)$において$\omega_2$-連続であれば，合成写像$g\circ f$は$x$において${\omega_2}\circ{\omega_1}$-連続である．

$K\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$とし，$(X,d_X)$を距離空間，$(W,\|\cdot\|_W)$を$K$-ノルム空間とする．このとき，次のことが成り立つ．

1. $x\in X$，$a,b\in K$とし，$\omega_1,\omega_2$を連続度とする．
   このとき写像$f,g:X\to W$が$x$においてそれぞれ$\omega_1$-連続，$\omega_2$-連続であれば，$af+bg$は$x$において$|a|\omega_1+|b|\omega_2$-連続である．
2. $x\in X$と連続度$\omega$に対して，次の集合は$W^X$の凸部分集合である：
   \begin{align*} C_{x,\omega}(X,W)&:=\{f\in W^X\mid \text{$f$ は $x$ において $\omega$-連続である}\}, \\ C_{\omega}(X,W)&:=\{f\in W^X\mid \text{$f$ は $\omega$-連続である}\}. \end{align*}
3. $x\in X$と連続度$\omega$に対して
   \begin{align*} C_{x,[0,\infty)\omega}(X,W)&:=\{f\in W^X\mid \text{$f\in C_{x,L\omega}(X,W)$ を満たす $L\in[0,\infty)$ が存在する}\}, \\ C_{[0,\infty)\omega}(X,W)&:=\{f\in W^X\mid \text{$f\in C_{L\omega}(X,W)$ を満たす $L\in[0,\infty)$ が存在する}\} \end{align*}
   と定め，$[{\cdot}]_{x,\omega}:C_{x,[0,\infty)\omega}(X,W)\to[0,\infty)$と$[{\cdot}]_{\omega}:C_{[0,\infty)\omega}(X,W)\to[0,\infty)$を
   \begin{align*} [f]_{x,\omega}&:=\inf\{L\in[0,\infty)\mid f\in C_{x,L\omega}(X,W)\}, \\ [f]_{\omega}&:=\inf\{L\in[0,\infty)\mid f\in C_{L\omega}(X,W)\} \end{align*}
   で定義する．このとき，$[{\cdot}]_{x,\omega},[{\cdot}]_{\omega}$はそれぞれ$C_{x,[0,\infty)\omega}(X,W),C_{[0,\infty)\omega}(X,W)$上のセミノルムとなる．つまり次のことが成り立つ．
   • 任意の$f\in C_{x,[0,\infty)\omega}(X,W)$と$a\in K$に対して，$[af]_{x,\omega}=|a|[f]_{x,\omega}$である．
     （任意の$f\in C_{[0,\infty)\omega}(X,W)$と$a\in K$に対して，$[af]_{\omega}=|a|[f]_{\omega}$である．）
   • 任意の$f,g\in C_{x,[0,\infty)\omega}(X,W)$に対して，$[f+g]_{x,\omega}\le [f]_{x,\omega}+[g]_{x,\omega}$である．
     （任意の$f,g\in C_{[0,\infty)\omega}(X,W)$に対して，$[f+g]_{\omega}\le [f]_{\omega}+[g]_{\omega}$である．）

$(X,d_X),(Y,d_Y)$を距離空間，$x\in X$とし，$\omega$を連続度とする．
このとき，$x$において$\omega$-連続な写像の列$\seq{f_n:X\to Y}{n}$がある写像$f:X\to Y$に各点収束するならば，$f$も$x$において$\omega$-連続である．

$K\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$，$(X,d_X)$を距離空間，$(W,\langle\cdot,\cdot\rangle_W)$を$K$-内積空間，$x\in X$とし，$\omega_1,\omega_2$を連続度とする．
このとき，写像$f,g:X\to W$が$x$においてそれぞれ$\omega_1$-連続，$\omega_2$-連続であり，
$$ \|f\|_\infty:=\sup_{x\in X}\|f(x)\|_W, \quad \|g\|_\infty:=\sup_{x\in X}\|g(x)\|_W $$
がいずれも有限値であれば，次の写像
$$ \langle f(\cdot),g(\cdot)\rangle_W:X\ni z\mapsto \langle f(z),g(z)\rangle_W\in K $$
は$x$において$\|g\|_\infty\omega_1+\|f\|_\infty\omega_2$-連続である．

$(X,d_X)$を距離空間，$x\in X$，$\omega$を連続度とし，$x$において$\omega$-連続な写像の空でない族$\family{f_\lambda:X\to\mathbb{R}}{\lambda\in\Lambda}$を考える．
このとき，次の写像
\begin{align*} \inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda &:X\ni z\mapsto \inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda(z)\in\mathbb{R}\cup\{-\infty\}, \\ \sup_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda &:X\ni z\mapsto \sup_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda(z)\in\mathbb{R}\cup\{\infty\} \end{align*}
の値域が$\mathbb{R}$に含まれるなら，その写像も$x$において$\omega$-連続である．

写像$\omega:[0,\infty]\to[0,\infty]$が次の2条件を満たすとする：

• $\omega(0)=0$.
• $\delta\to +0$のとき$\omega(\delta)\to 0$である．

このとき，次式で定める写像$\tilde{\omega}:[0,\infty]\to[0,\infty]$は連続度である：
$$ \tilde{\omega}(\delta):=\sup_{r\in[0,\delta]}\omega(r) \qquad (\delta\in[0,\infty]). $$
また，任意の$\delta\in[0,\infty]$に対して$\omega(\delta)\le\tilde{\omega}(\delta)$が成り立つ．

$(V,\|\cdot\|)$をノルム空間，$C$を$V$の凸部分集合，$(Y,d)$を距離空間とし，写像$f:C\to Y$の最適連続度を$\omega_f:[0,\infty]\to[0,\infty]$とする．
このとき，次のことが成り立つ．

1. $\delta_1,\delta_2\in[0,\infty]$に対して，$\omega_f(\delta_1+\delta_2)\le\omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2)$である．
2. $\delta\in[0,\infty)$と$n\in\mathbb{N}$に対して，$\omega_f(n\delta)\le n\omega_f(\delta)$である．
3. $\delta,\lambda\in[0,\infty)$に対して，$\omega_f(\lambda\delta)\le(\lfloor\lambda\rfloor+1)\omega_f(\delta)$である．