文献あり

写像の連続性を測るもの

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概要

距離空間の間の写像については，連続性というものを考えることができました．
本記事では，写像の連続性の ”度合い” を測ることができる「連続度」という概念を紹介します．
（人によっては「連続率」など別の呼び方をすることもあるようです．）

正確な定義は後述しますが，大雑把に言えば，写像 $f : X \to Y$ の連続度とは「2点 $x, x^{'} \in X$ の近さ」に対して「2点 $f (x), f (x^{'}) \in Y$ の近さ」を返すような写像 $ω : [0, \infty] \to [0, \infty]$ のことです．

ε

δ

を知っている人向けの補足

連続度 $ω$ は " $ε$ - $δ$ 論法の $δ$ に対して $ε$ を対応させる写像" と思えばわかりやすいかもしれません．英語版Wikipedia には

In general, the role of $ω$ is to fix some explicit functional dependence of $ε$ on $δ$ in the $(ε, δ)$ definition of uniform continuity.

という記述があります．

$f$ の連続性は「 $x$ と $x^{'}$ が十分近ければ， $f (x)$ と $f (x^{'})$ は限りなく近づく」のように説明されることがありますが，この素朴な表現を連続度の性質に翻訳した
$lim_{δ \to + 0} ω (δ) = 0$
という条件は実際に $f$ の連続性を特徴づけます．
また， $f$ の連続度の値が小さいほど2点 $f (x), f (x^{'})$ が近くなりやすいと考えられるので，2つの写像 $f, g : X \to Y$ に対してそれらの連続度の値の大小を比較することで， $f, g$ どちらの連続性がより強いかを考えることが可能です．

~~悲しいことに~~日本語版Wikipediaには連続度のページがないので，英語版Wikipedia の記述を参考にいくつかの事実を証明付きで述べたいと思います．
Wikipediaの方には本記事で扱えなかった性質もいろいろ書いてあるので，ぜひそちらも読んでみてください．

連続度

定義と，連続性の特徴づけ

この節では，連続度の定義を紹介し，それを用いて $ε$ - $δ$ 論法による連続性の定義を書き直せることを見る．

連続度

連続度 (modulus of continuity) とは，写像 $ω : [0, \infty] \to [0, \infty]$ であって，次の3条件を満たすもののことをいう．

$ω (0) = 0$ .
$ω$ は $[0, \infty]$ 上で単調増加である．
$δ \to + 0$ のとき $ω (δ) \to 0$ である．

この記事では，連続度全体の集合を

M

と書くことにする．

連続度のグラフ!FORMULA[35][-1965623688][0]の例!HTML[2][58441851][0]（必ずしも連続とは限らない）連続度のグラフ $y = ω (x)$ の例
（必ずしも連続とは限らない）

連続度の定義の簡略化

連続度の定義のうち「 $δ \to + 0$ のとき $ω (δ) \to 0$ である．」は，極限の定義から

任意の $ε \in (0, \infty)$ に対してある $δ \in (0, \infty)$ が存在して，任意の $r \in (0, δ]$ に対して $ω (r) \leq ε$ が成り立つ．

と表せるが，この条件は（ $ω$ の単調増加性から）より簡単な条件

任意の $ε \in (0, \infty)$ に対してある $δ \in (0, \infty)$ が存在して， $ω (δ) \leq ε$ が成り立つ．

で置き換えることができる．

次に，連続度 $ω$ に対して $ω$ -連続性を定義する．

ω

-連続

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間， $ω \in M$ とし，写像 $f : X \to Y$ を考える．

$f$ が点 $x \in X$ において $ω$ -連続 ( $ω$ -continuous) であるとは，任意の $x^{'} \in X$ に対して次の不等式が成り立つことをいう：
$d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω (d_{X} (x, x^{'})) .$
$f$ が $ω$ -連続であるとは， $f$ が $X$ の任意の点において $ω$ -連続であること，つまり任意の $x, x^{'} \in X$ に対して次の不等式が成り立つことをいう：
$d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω (d_{X} (x, x^{'})) .$

すぐわかるように， $ω$ -連続写像は連続である．
逆に，連続写像には，それに対応する連続度が存在する．

連続性の特徴づけ

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間， $x \in X$ とし，写像 $f : X \to Y$ を考える．このとき，次の2条件は同値である．

$f$ は $x$ において連続である．
ある連続度 $ω \in M$ が存在して， $f$ は $x$ において $ω$ -連続である．

(1) \Rightarrow (2)

：詳細

写像 $ω_{f, x} : [0, \infty] \to [0, \infty]$ を $ω_{f, x} (δ) := sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ} (δ \in [0, \infty])$ で定め， $ω_{f, x} \in M$ かつ $f$ が $x$ において $ω_{f, x}$ -連続であることを示す．

距離の非退化性より $ω_{f, x} (0) = 0$ である：
$\begin{aligned} ω_{f, x} (0) & = sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq 0} \\ = sup {d_{Y} (f (x), f (x))} \\ = sup {0} \\ = 0. \end{aligned}$
$0 \leq δ_{1} \leq δ_{2} \leq \infty$ のとき $ω_{f, x} (δ_{1}) \leq ω_{f, x} (δ_{2})$ である：
$\begin{aligned} ω_{f, x} (δ_{1}) & = sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ_{1}} \\ \leq sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ_{2}} \\ = ω_{f, x} (δ_{2}) . \end{aligned}$
$δ \to + 0$ のとき $ω_{f, x} (δ) \to 0$ である．実際， $ε \in (0, \infty)$ を任意に取ると， $f$ の $x$ における連続性より「 $d_{X} (x, x^{'}) \leq δ$ を満たす任意の $x^{'} \in X$ に対して $d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ε$ が成り立つ」という性質を満たす $δ \in (0, \infty)$ が取れる．この性質は「 $ε$ が集合
${d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ}$
の上界であること」を表しているので， $ω_{f, x} (δ) \leq ε$ が示された．

上記3点より

ω_{f, x} \in M

である．また

x^{'} \in X

を任意に取ると，

d_{X} (x, z) \leq d_{X} (x, x^{'})

を満たす任意の

z \in X

に対して

d_{Y} (f (x), f (z)) \leq ω_{f, x} (d_{X} (x, x^{'}))

が成り立つから，特に

z = x^{'}

の場合を考えることで

d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω_{f, x} (d_{X} (x, x^{'}))

を得る．したがって，

f

は

x

において

ω_{f, x}

-連続である．

(2) \Rightarrow (1)

：詳細

$ε \in (0, \infty)$ を任意に取る．このとき $lim_{δ \to + 0} ω (δ) = 0$ であることから $ω (δ) \leq ε$ を満たす $δ \in (0, \infty)$ が取れて， $d_{X} (x, x^{'}) \leq δ$ を満たす任意の $x^{'} \in X$ に対して $d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω (d_{X} (x, x^{'})) \leq ω (δ) \leq ε$ が成り立つ．したがって， $f$ は $x$ において連続であることが示された．

一方で，「 $f$ が（ $X$ の任意の点において）連続であること」と「ある連続度 $ω \in M$ が存在して， $f$ が（ $X$ の任意の点において） $ω$ -連続であること」は同値ではない．
これらの条件は，上の命題を踏まえるとそれぞれ次のように言い換えられる：

$f$ が連続である
$⟺$ 任意の $x \in X$ に対して，ある連続度 $ω_{x} \in M$ が存在して， $f$ は $x$ において $ω_{x}$ -連続である
ある連続度 $ω \in M$ が存在して， $f$ が $ω$ -連続である
$⟺$ ある連続度 $ω \in M$ が存在して，任意の $x \in X$ に対して， $f$ は $x$ において $ω$ -連続である

が，連続度が点 $x \in X$ に依存するかどうかの違いがあるからである（前者は各 $x$ に対して別々の連続度を取ることができるのに対して，後者はすべての $x$ に共通な連続度の存在を要請している）．
このことから推測されるように，後者の条件に対応するのは，単なる連続性ではなく一様連続性である．

一様連続性の特徴づけ

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間とし，写像 $f : X \to Y$ を考える．このとき，次の2条件は同値である．

$f$ は一様連続である．
ある連続度 $ω \in M$ が存在して， $f$ は $ω$ -連続である．

(1) \Rightarrow (2)

：詳細

写像 $ω_{f} : [0, \infty] \to [0, \infty]$ を
$ω_{f} (δ) := sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x, x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ} (δ \in [0, \infty])$
で定め， $ω_{f} \in M$ かつ $f$ が $ω_{f}$ -連続であることを示す．

距離の非退化性より $ω_{f} (0) = 0$ である：
$\begin{aligned} ω_{f} (0) & = sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x, x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq 0} \\ = sup {d_{Y} (f (x), f (x)) ∣ x \in X} \\ = sup {0} \\ = 0. \end{aligned}$
$0 \leq δ_{1} \leq δ_{2} \leq \infty$ のとき $ω_{f} (δ_{1}) \leq ω_{f} (δ_{2})$ である：
$\begin{aligned} ω_{f} (δ_{1}) & = sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x, x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ_{1}} \\ \leq sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x, x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ_{2}} \\ = ω_{f} (δ_{2}) . \end{aligned}$
$δ \to + 0$ のとき $ω_{f} (δ) \to 0$ である．実際， $ε \in (0, \infty)$ を任意に取ると， $f$ の一様連続性より「 $d_{X} (x, x^{'}) \leq δ$ を満たす任意の $x, x^{'} \in X$ に対して $d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ε$ が成り立つ」という性質を満たす $δ \in (0, \infty)$ が取れる．この性質は「 $ε$ が集合
${d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x, x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ}$
の上界であること」を表しているので， $ω_{f} (δ) \leq ε$ が示された．

上記3点より

ω_{f} \in M

である．また

x, x^{'} \in X

を任意に取ると，

d_{X} (z, z^{'}) \leq d_{X} (x, x^{'})

を満たす任意の

z, z^{'} \in X

に対して

d_{Y} (f (z), f (z^{'})) \leq ω_{f} (d_{X} (x, x^{'}))

が成り立つから，特に

(z, z^{'}) = (x, x^{'})

の場合を考えることで

d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω_{f} (d_{X} (x, x^{'}))

を得る．したがって，

f

は

x

において

ω_{f}

-連続でもある．

(2) \Rightarrow (1)

：詳細

$ε \in (0, \infty)$ を任意に取る．このとき $lim_{δ \to + 0} ω (δ) = 0$ であることから $ω (δ) \leq ε$ を満たす $δ \in (0, \infty)$ が取れて， $d_{X} (x, x^{'}) \leq δ$ を満たす任意の $x, x^{'} \in X$ に対して
$d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω (d_{X} (x, x^{'})) \leq ω (δ) \leq ε$
が成り立つ．したがって， $f$ は一様連続であることが示された．

上の2つの証明で構成した写像 $ω_{f, x}$ と $ω_{f}$ については，また後で少し触れる．

ヘルダー連続，リプシッツ連続

一様連続写像には対応する連続度が存在するが，連続度の満たす性質によって，一様連続写像をさらに細かく分類することができる．

ヘルダー連続，リプシッツ連続

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間， $α \in (0, 1]$ とし， $ω^{(α)} \in M$ を
$ω^{(α)} (δ) := δ^{α} (δ \in [0, \infty])$
で定める．

写像 $f : X \to Y$ が $α$ -ヘルダー連続 ( $α$ -Hölder continuous) であるとは，ある $L \in (0, \infty)$ が存在して， $f$ が $L ω^{(α)}$ -連続になることをいう．
$1$ -ヘルダー連続写像のことをリプシッツ連続 (Lipschitz continuous) 写像ともいう．

定義から明らかに，ヘルダー連続写像やリプシッツ連続写像は一様連続でもある．

ヘルダー連続性やリプシッツ連続性も興味深い話題ではあるが，本記事では深入りしない．

参考1： Wikipedia, ヘルダー条件
参考2： Wikipedia, リプシッツ連続

いろいろな性質

次の性質は，「連続度の値の小ささ」が「写像の連続性の強さ」に対応していることを表している．

連続度の大小と連続性の強さ

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間， $x \in X$ とし，連続度 $ω_{1}, ω_{2} \in M$ は任意の $δ \in [0, \infty]$ に対して
$ω_{1} (δ) \leq ω_{2} (δ)$
を満たすとする．このとき，写像 $f : X \to Y$ が $x$ において $ω_{1}$ -連続であれば， $f$ は $x$ において $ω_{2}$ -連続でもある．

$x^{'} \in X$ を任意に取ると， $f$ の $x$ における $ω_{1}$ -連続性などから
$d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω_{1} (d_{X} (x, x^{'})) \leq ω_{2} (d_{X} (x, x^{'}))$
が成り立つ．したがって， $f$ は $x$ において $ω_{2}$ -連続である．

合成写像の連続度

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y}), (Z, d_{Z})$ を距離空間， $x \in X$ ， $ω_{1}, ω_{2} \in M$ とする．このとき，写像 $f : X \to Y$ が $x$ において $ω_{1}$ -連続で，かつ写像 $g : Y \to Z$ が $f (x)$ において $ω_{2}$ -連続であれば，合成写像 $g \circ f$ は $x$ において $ω_{2} \circ ω_{1}$ -連続である．

$x^{'} \in X$ を任意に取ると
$\begin{aligned} d_{Z} ((g \circ f) (x), (g \circ f) (x^{'})) & = d_{Z} (g (f (x)), g (f (x^{'}))) \\ \leq ω_{2} (d_{Y} (f (x), f (x^{'}))) \\ \leq ω_{2} (ω_{1} (d_{X} (x, x^{'}))) \\ = (ω_{2} \circ ω_{1}) (d_{X} (x, x^{'})) \end{aligned}$
が成り立つから， $g \circ f$ は $x$ において $ω_{2} \circ ω_{1}$ -連続である．

線形結合の連続度

$K \in {R, C}$ とし， $(X, d_{X})$ を距離空間， $(W, ∥ \cdot ∥_{W})$ を $K$ -ノルム空間とする．このとき，次のことが成り立つ．

$x \in X$ ， $ω_{1}, ω_{2} \in M$ ， $a, b \in K$ とする．写像 $f, g : X \to W$ が $x$ においてそれぞれ $ω_{1}$ -連続， $ω_{2}$ -連続であれば， $a f + b g$ は $x$ において $| a | ω_{1} + | b | ω_{2}$ -連続である．
$x \in X$ と $ω \in M$ に対して，次の集合は $W^{X}$ の凸部分集合である：
$\begin{aligned} C_{x, ω} (X, W) & := {f \in W^{X} ∣ f は x において ω -連続である}, \\ C_{ω} (X, W) & := {f \in W^{X} ∣ f は ω -連続である} . \end{aligned}$
$x \in X$ と $ω \in M$ に対して
$\begin{aligned} C_{x, [0, \infty) ω} (X, W) & := {f \in W^{X} ∣ f \in C_{x, L ω} (X, W) を満たす L \in [0, \infty) が存在する}, \\ C_{[0, \infty) ω} (X, W) & := {f \in W^{X} ∣ f \in C_{L ω} (X, W) を満たす L \in [0, \infty) が存在する} \end{aligned}$
と定め， $[\cdot]_{x, ω} : C_{x, [0, \infty) ω} (X, W) \to [0, \infty)$ と $[\cdot]_{ω} : C_{[0, \infty) ω} (X, W) \to [0, \infty)$ を
$\begin{aligned} [f]_{x, ω} & := inf {L \in [0, \infty) ∣ f \in C_{x, L ω} (X, W)}, \\ [f]_{ω} & := inf {L \in [0, \infty) ∣ f \in C_{L ω} (X, W)} \end{aligned}$
で定義する．このとき， $[\cdot]_{x, ω}, [\cdot]_{ω}$ はそれぞれ $C_{x, [0, \infty) ω} (X, W), C_{[0, \infty) ω} (X, W)$ 上のセミノルムとなる．つまり次のことが成り立つ．
- 任意の $f \in C_{x, [0, \infty) ω} (X, W)$ と $a \in K$ に対して， $[a f]_{x, ω} = | a | [f]_{x, ω}$ である．
  （任意の $f \in C_{[0, \infty) ω} (X, W)$ と $a \in K$ に対して， $[a f]_{ω} = | a | [f]_{ω}$ である．）
- 任意の $f, g \in C_{x, [0, \infty) ω} (X, W)$ に対して， $[f + g]_{x, ω} \leq [f]_{x, ω} + [g]_{x, ω}$ である．
  （任意の $f, g \in C_{[0, \infty) ω} (X, W)$ に対して， $[f + g]_{ω} \leq [f]_{ω} + [g]_{ω}$ である．）

任意の $x^{'} \in X$ に対して
$\begin{aligned} ∥ (a f + b g) (x) - (a f + b g) (x^{'}) ∥_{W} & = ∥ a (f (x) - f (x^{'})) + b (g (x) - g (x^{'})) ∥_{W} \\ \leq | a | ∥ f (x) - f (x^{'}) ∥_{W} + | b | ∥ g (x) - g (x^{'}) ∥_{W} \\ \leq | a | ω_{1} (d_{X} (x, x^{'})) + | b | ω_{2} (d_{X} (x, x^{'})) \\ = (| a | ω_{1} + | b | ω_{2}) (d_{X} (x, x^{'})) \end{aligned}$
が成り立つから， $a f + b g$ は $| a | ω_{1} + | b | ω_{2}$ -連続である．
任意の $f, g \in C_{x, ω} (X, W)$ と $t \in [0, 1]$ に対して，(1)より $(1 - t) f + t g$ も $x$ において $ω$ -連続となるから， $C_{x, ω} (X, W)$ は凸集合である．すると「凸集合たちの共通部分は凸集合である」という事実（参考：凸集合と基本性質）と次の等式
$C_{ω} (X, W) = ⋂_{x \in X} C_{x, ω} (X, W)$
から， $C_{ω} (X, W)$ の凸性も従う．
まず注意として， $[\cdot]_{x, ω}, [\cdot]_{ω}$ の定義式の中にある $inf$ は $min$ で置き換えてよい．
補足： $inf$ を $min$ で置き換えてよい理由
$f \in C_{[0, \infty) ω} (X, W)$ が $[f]_{ω} ω$ -連続であることを確かめればよい（各点における議論も同様）．
$[f]_{ω}$ の定義から $f \in C_{L ω} (X, W)$ を満たす $L \in [[f]_{ω}, [f]_{ω} + 1)$ が存在するが，このとき任意の $δ \in [0, \infty]$ に対して $[f]_{ω} ω (δ) \leq L ω (δ)$ が成り立つから $f$ は $[f]_{ω} ω$ -連続でもある．

これを踏まえると，(1) から容易に (3) が示される．簡単のため（）内のみ示すが，他方も同様．
- $f$ は $[f]_{ω} ω$ -連続だから，(1)より $a f$ は $| a | [f]_{ω} ω$ -連続であり， $[a f]_{ω} \leq | a | [f]_{ω}$ を得る．逆向きの不等式 $[a f]_{ω} \geq | a | [f]_{ω}$ は， $a = 0$ のときは自明であり， $a \neq 0$ のときは既に示した不等式
  $[\frac{1}{a} \cdot a f]_{ω} \leq | \frac{1}{a} | [a f]_{ω}$
  を整理すれば得られる．
- $f$ は $[f]_{ω} ω$ -連続で $g$ は $[g]_{ω} ω$ -連続だから，(1)より $f + g$ は $[f]_{ω} ω + [g]_{ω} ω$ -連続であり， $[f + g]_{ω} \leq [f]_{ω} + [g]_{ω}$ を得る．

この命題の (3) から， $C_{x, [0, \infty) ω} (X, W)$ や $C_{[0, \infty) ω} (X, W)$ 上の任意のノルム $∥ \cdot ∥$ に対して， $∥ \cdot ∥ + [\cdot]_{x, ω}$ や $∥ \cdot ∥ + [\cdot]_{ω}$ が新たなノルムになることがわかる（確認略）．
たとえば $X$ がコンパクトのときは連続写像全体 $C^{0} (X, W)$ が
$∥ f ∥_{\infty} := sup_{x \in X} ∥ f (x) ∥_{W}$
によってノルム空間となるが， $α$ -ヘルダー連続写像全体のなす部分線形空間
$C^{0, α} (X, W) := C_{[0, \infty) ω^{(α)}} (X, W)$
は， $C^{0} (X, W)$ から自然に受け継がれるノルム $∥ \cdot ∥_{\infty}$ ではなく， $∥ \cdot ∥_{C^{0, α} (X, W)} := ∥ \cdot ∥_{\infty} + [\cdot]_{ω^{(α)}}$ によってノルム空間とみなすことが多い．この値
$[f]_{ω^{(α)}} = sup_{x, y \in X, x \neq y} \frac{d_{W} (f (x), f (y))}{d_{X} (x, y)^{α}}$
は $f$ のヘルダー係数 (Hölder coefficient) などとよばれる．

同程度連続写像列の各点収束極限は連続

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間， $x \in X$ ， $ω \in M$ とする．このとき， $x$ において $ω$ -連続な写像の列 $(f_{n} : X \to Y)_{n \in N}$ がある写像 $f : X \to Y$ に各点収束するならば， $f$ も $x$ において $ω$ -連続である．

任意の $x^{'} \in X$ に対して
$\begin{aligned} d_{Y} (f (x), f (x^{'})) & \leq d_{Y} (f (x), f_{n} (x)) + d_{Y} (f_{n} (x), f_{n} (x^{'})) + d_{Y} (f_{n} (x^{'}), f (x^{'})) \\ \leq d_{Y} (f (x), f_{n} (x)) + ω (d_{X} (x, x^{'})) + d_{Y} (f_{n} (x^{'}), f (x^{'})) \\ \to ω (d_{X} (x, x^{'})) & (n \to \infty) \end{aligned}$
が成り立つから， $f$ も $x$ において $ω$ -連続である．

積の連続度

$K \in {R, C}$ とし， $(X, d_{X})$ を距離空間， $(W, ⟨ \cdot, \cdot ⟩_{W})$ を $K$ -内積空間， $x \in X$ ， $ω_{1}, ω_{2} \in M$ とする．このとき，写像 $f, g : X \to W$ が $x$ においてそれぞれ $ω_{1}$ -連続， $ω_{2}$ -連続であり，
$∥ f ∥_{\infty} := sup_{x \in X} ∥ f (x) ∥_{W}, ∥ g ∥_{\infty} := sup_{x \in X} ∥ g (x) ∥_{W}$
がいずれも有限値であれば，次の写像
$⟨ f (\cdot), g (\cdot) ⟩_{W} : X ∋ z \mapsto ⟨ f (z), g (z) ⟩_{W} \in K$
は $x$ において $∥ g ∥_{\infty} ω_{1} + ∥ f ∥_{\infty} ω_{2}$ -連続である．

任意の $x^{'} \in X$ に対して
$\begin{aligned} | ⟨ f (x), g (x) ⟩_{W} - ⟨ f (x^{'}), g (x^{'}) ⟩_{W} | & = | ⟨ f (x) - f (x^{'}), g (x) ⟩_{W} + ⟨ f (x^{'}), g (x) - g (x^{'}) ⟩_{W} | \\ \leq ∥ f (x) - f (x^{'}) ∥_{W} ∥ g (x) ∥_{W} + ∥ f (x^{'}) ∥_{W} ∥ g (x) - g (x^{'}) ∥_{W} \\ \leq ω_{1} (d_{X} (x, x^{'})) ∥ g ∥_{\infty} + ∥ f ∥_{\infty} ω_{2} (d_{X} (x, x^{'})) \\ = (∥ g ∥_{\infty} ω_{1} + ∥ f ∥_{\infty} ω_{2}) (d_{X} (x, x^{'})) \end{aligned}$
が成り立つから， $⟨ f (\cdot), g (\cdot) ⟩_{W}$ は $x$ において $∥ g ∥_{\infty} ω_{1} + ∥ f ∥_{\infty} ω_{2}$ -連続である．

同程度連続写像の上限・下限の連続性

$(X, d_{X})$ を距離空間， $x \in X$ ， $ω \in M$ とし， $x$ において $ω$ -連続な写像の空でない族 $(f_{λ} : X \to R)_{λ \in Λ}$ を考える．このとき，次の写像
$\begin{aligned} inf_{λ \in Λ} f_{λ} & : X ∋ z \mapsto inf_{λ \in Λ} f_{λ} (z) \in R \cup {- \infty}, \\ sup_{λ \in Λ} f_{λ} & : X ∋ z \mapsto sup_{λ \in Λ} f_{λ} (z) \in R \cup {\infty} \end{aligned}$
の値域が $R$ に含まれるなら，その写像も $x$ において $ω$ -連続である．

任意の $x^{'} \in X$ と $μ \in Λ$ に対して，次の評価
$\begin{array}{r} inf_{λ \in Λ} f_{λ} (x) \leq f_{μ} (x) \leq f_{μ} (x^{'}) + | f_{μ} (x) - f_{μ} (x^{'}) | \leq f_{μ} (x^{'}) + ω (d_{X} (x, x^{'})) \end{array}$
より
$| inf_{λ \in Λ} f_{λ} (x) - inf_{λ \in Λ} f_{λ} (x^{'}) | \leq ω (d_{X} (x, x^{'}))$
を得るから， $inf_{λ \in Λ} f_{λ}$ は $ω$ -連続である． $sup_{λ \in Λ} f_{λ}$ についても同様に示せる．

上限・下限が有限値になる十分条件

上の命題の状況で， $ω ([0, \infty)) \subset [0, \infty)$ であり，かつ $inf_{λ \in Λ} f_{λ} (x_{0}) \in R$ を満たす $x_{0} \in X$ が存在するならば， $inf_{λ \in Λ} f_{λ}$ の値域は $R$ に含まれる．
実際， $z \in X$ と $μ \in Λ$ を任意に取ると
$inf_{λ \in Λ} f_{λ} (x_{0}) - f_{μ} (z) \leq f_{μ} (x_{0}) - f_{μ} (z) \leq ω (d_{X} (x_{0}, z))$
より
$- \infty < inf_{λ \in Λ} f_{λ} (x_{0}) - ω (d_{X} (x_{0}, z)) \leq inf_{λ \in Λ} f_{λ} (z)$
を得る． $sup_{λ \in Λ} f_{λ}$ についても同様．

連続度の定義から単調増加性を除くこともあるが，その場合であっても適当に上限を取ることで単調増加にすることができる．

写像 $ω : [0, \infty] \to [0, \infty]$ が次の2条件（連続度の3条件から単調増加性を除いたもの）を満たすとする：

$ω (0) = 0$ .
$δ \to + 0$ のとき $ω (δ) \to 0$ である．

このとき，次式で定める写像 $\tilde{ω} : [0, \infty] \to [0, \infty]$ は $M$ に属する：
$\tilde{ω} (δ) := sup_{r \in [0, δ]} ω (r) (δ \in [0, \infty]) .$
また，任意の $δ \in [0, \infty]$ に対して $ω (δ) \leq \tilde{ω} (δ)$ が成り立つ．

$\tilde{ω} (0) = 0$ である：
$\begin{array}{r} \tilde{ω} (0) = sup_{r \in [0, 0]} ω (r) = sup {ω (0)} = sup {0} = 0. \end{array}$
$0 \leq δ_{1} \leq δ_{2} \leq \infty$ のとき， $\tilde{ω} (δ_{1}) \leq \tilde{ω} (δ_{2})$ である：
$\begin{array}{r} \tilde{ω} (δ_{1}) = sup_{r \in [0, δ_{1}]} ω (r) \leq sup_{r \in [0, δ_{2}]} ω (r) = \tilde{ω} (δ_{2}) . \end{array}$
$δ \to + 0$ のとき $\tilde{ω} (δ) \to 0$ である.実際，任意の $ε \in (0, \infty)$ に対して，「任意の $r \in [0, δ]$ に対して $ω (r) \leq ε$ が成り立つ」という性質を満たす $δ \in (0, \infty)$ が存在するが，この性質は $\tilde{ω} (δ) \leq ε$ を意味する．

以上3点より，

\tilde{ω} \in M

が示された．また任意の

δ \in [0, \infty]

に対して，

ω (δ) \in {ω (r) ∣ r \in [0, δ]}

が成り立つから

ω (δ) \leq \tilde{ω} (δ)

も示された．

最適連続度

与えられた連続写像に対して，それを $ω$ -連続にするような最小の連続度 $ω$ を考えることができる．
（英語版Wikipedia でthe optimal modulus of continuityと呼ばれているもの．）

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間， $x \in X$ とし，写像 $f : X \to Y$ に対して写像 $ω_{f, x} : [0, \infty] \to [0, \infty]$ を
$ω_{f, x} (δ) := sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ}$
と定める．このとき，次のことが成り立つ．

$ω_{f, x} (0) = 0$ .
$ω_{f, x}$ は $[0, \infty]$ 上で単調増加である．
任意の $x^{'} \in X$ に対して， $d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω_{f, x} (d_{X} (x, x^{'}))$ が成り立つ．
次の3条件は同値である．
1. $f$ は $x$ において連続である．
2. $ω_{f, x} \in M$ である．
3. $δ \to + 0$ のとき $ω_{f, x} (δ) \to 0$ である．
$ω \in M$ について， $f$ が $x$ において $ω$ -連続であれば，任意の $δ \in [0, \infty]$ に対して $ω_{f, x} (δ) \leq ω (δ)$ が成り立つ．

(1), (2), (3) と (4) の $1. \Rightarrow 2. \Leftrightarrow 3.$ は既に示した．また $3. \Rightarrow 1.$ も，上の証明とほぼ同様に示せる．(5) について， $δ \in [0, \infty]$ と $d_{X} (x, x^{'}) \leq δ$ を満たす $x^{'} \in X$ を任意に取ると
$d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω (d_{X} (x, x^{'})) \leq ω (δ)$
が成り立つから $ω_{f, x} (δ) \leq ω (δ)$ を得る．

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間とし，写像 $f : X \to Y$ に対して写像 $ω_{f} : [0, \infty] \to [0, \infty]$ を
$ω_{f} (δ) := sup {d_{Y} (f (x), f (x^{'})) ∣ x, x^{'} \in X, d_{X} (x, x^{'}) \leq δ}$
と定める．このとき，次のことが成り立つ．

$ω_{f} (0) = 0$ .
$ω_{f}$ は $[0, \infty]$ 上で単調増加である．
任意の $x, x^{'} \in X$ に対して， $d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω_{f, x} (d_{X} (x, x^{'}))$ が成り立つ．
次の3条件は同値である．
1. $f$ は一様連続である．
2. $ω_{f} \in M$ である．
3. $δ \to + 0$ のとき $ω_{f} (δ) \to 0$ である．
$ω \in M$ について， $f$ が $ω$ -連続であれば，任意の $δ \in [0, \infty]$ に対して $ω_{f} (δ) \leq ω (δ)$ が成り立つ．

(1), (2), (3) と (4) の $1. \Rightarrow 2. \Leftrightarrow 3.$ は既に示した．また $3. \Rightarrow 1.$ も，上の証明とほぼ同様に示せる．(5) について， $δ \in [0, \infty]$ と $d_{X} (x, x^{'}) \leq δ$ を満たす $x, x^{'} \in X$ を任意に取ると
$d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω (d_{X} (x, x^{'})) \leq ω (δ)$
が成り立つから $ω_{f} (δ) \leq ω (δ)$ を得る．

この $ω_{f}$ を， $f$ の（最適）一様連続度という．（人によっては，こちらを指して連続度ということもある）
「連続度」とはいうものの， $f$ が一様連続でない場合， $ω_{f}$ は本記事の最初に述べた連続度の定義を満たさない．

（余談：以前書いた記事ノルム空間・内積空間の完備化では，この一様連続度 $ω_{f}$ を用いて一様連続性を定義していた．）

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間とし，写像 $f : X \to Y$ の（最適）一様連続度を $ω_{f} : [0, \infty] \to [0, \infty]$ とする．
このとき $f$ が ディニ連続 (Dini-continuous) であるとは
$\int_{0}^{1} \frac{ω_{f} (t)}{t} d t < \infty$
が成り立つことをいう．次の問に答えよ．

$α \in (0, 1]$ とする． $f$ が $α$ -ヘルダー連続ならば， $f$ はディニ連続でもあることを示せ．
$f$ がディニ連続ならば， $f$ は一様連続でもあることを示せ．

（※ ヘルダー連続でないディニ連続写像の例）

解答例
$α$ -ヘルダー連続性より，ある $L \in (0, \infty)$ が存在して，任意の $t \in [0, \infty]$ に対して $ω_{f} (t) \leq L t^{α}$ が成り立つ．よって
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{ω_{f} (t)}{t} d t & \leq \int_{0}^{1} L t^{α - 1} d t = \frac{L}{α} < \infty . \end{aligned}$
解答例
もし $f$ が一様連続でなければ，ある $ε_{0} \in (0, \infty)$ が存在して，任意の $δ \in (0, \infty)$ に対して $ω_{f} (δ) > ε_{0}$ が成り立つ．このとき
$\int_{0}^{1} \frac{ω_{f} (t)}{t} d t \geq \int_{0}^{1} \frac{ε_{0}}{t} d t = \infty$
となって $f$ のディニ連続性に矛盾する．

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間とし，写像 $f : X \to Y$ を考える．
このとき，任意の $δ \in [0, \infty]$ に対して次式が成り立つ： $ω_{f} (δ) = sup_{x \in X} ω_{f, x} (δ) .$

$δ \in [0, \infty]$ を任意に取り， $S_{δ} := {ω_{f, x} (δ) ∣ x \in X}$ とおく．

$x \in X$ を任意に取る．このとき $d_{X} (x, x^{'}) \leq δ$ を満たす任意の $x^{'} \in X$ に対して
$d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω_{f} (d_{X} (x, x^{'})) \leq ω_{f} (δ)$
が成り立つから， $ω_{f, x} (δ) \leq ω_{f} (δ)$ となり， $ω_{f} (δ)$ は $S_{δ}$ の上界である．
任意の $a \in (- \infty, ω_{f} (δ))$ に対して， $d_{X} (x, x^{'}) \leq δ$ かつ $a < d_{Y} (f (x), f (x^{'}))$ を満たす $x, x^{'} \in X$ が存在する．このとき
$a < d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω_{f, x} (δ)$
となるから， $S_{δ}$ の上界で $ω_{f} (δ)$ より小さいものは存在しない．

以上より，

ω_{f} (δ) = sup (S_{δ})

である．

距離空間の部分集合上で定義された実数値一様連続写像は，（特定の条件下において）その連続度を保ったまま，定義域を距離空間全体へと拡張することができる．

実数値一様連続写像の拡張

$(X, d_{X})$ を距離空間， $A$ を $X$ の空でない部分集合とし， $ω \in M$ は次の2条件を満たすとする．

$ω ([0, \infty)) \subset [0, \infty)$ である．
任意の $δ_{1}, δ_{2} \in [0, \infty]$ に対して $ω (δ_{1} + δ_{2}) \leq ω (δ_{1}) + ω (δ_{2})$ が成り立つ（劣加法性）．

また， $ω$ -連続な写像 $f : A \to R$ に対して写像 $f_{ω}, f^{ω} : X \to R$ を
$\begin{aligned} f_{ω} (x) & := sup_{a \in A} (f (a) - ω (d_{X} (x, a))), \\ f^{ω} (x) & := inf_{a \in A} (f (a) + ω (d_{X} (x, a))) (x \in X) \end{aligned}$
で定める．このとき，次のことが成り立つ．

$f_{ω} |_{A} = f^{ω} |_{A} = f$ である．
$f_{ω}, f^{ω}$ は $ω$ -連続である．
写像 $g : X \to R$ が $g |_{A} = f$ を満たし，かつ $ω$ -連続ならば，任意の $x \in X$ に対して $f_{ω} (x) \leq g (x) \leq f^{ω} (x)$ である．

$x \in A$ を任意に取ると，まず $f_{ω}, f^{ω}$ の定義より
$f^{ω} (x) \leq f (x) + ω (d_{X} (x, x)) = f (x) = f (x) - ω (d_{X} (x, x)) \leq f_{ω} (x),$
つまり $f^{ω} (x) \leq f (x) \leq f_{ω} (x)$ を得る．また $f$ の $ω$ -連続性より，任意の $a \in A$ に対して
$f (a) - ω (d_{X} (x, a)) \leq f (x) \leq f (a) + ω (d_{X} (x, a))$
が成り立つから $f_{ω} (x) \leq f (x) \leq f^{ω} (x)$ を得る．よって $f_{ω} (x) = f (x) = f^{ω} (x)$ が示された．
写像の族 $(g_{a}^{\pm} : X \to R)_{a \in A}$ を次式で定める：
$g_{a}^{\pm} (x) := f (a) \pm ω (d_{X} (x, a)) (a \in A, x \in X) .$
このとき $ω$ の劣加法性より，各 $g_{a}^{\pm}$ は $ω$ -連続である：実際，任意の $x, x^{'} \in X$ に対して
$| g_{a}^{\pm} (x) - g_{a}^{\pm} (x^{'}) | = | ω (d_{X} (x, a)) - ω (d_{X} (x^{'}, a)) | \leq ω (d_{X} (x, x^{'}))$
が成り立つからである．よって，既に示したことから $f_{ω} = sup_{a \in A} g_{a}^{-}$ と $f^{ω} = inf_{a \in A} g_{a}^{+}$ も $ω$ -連続である．
$g$ の $ω$ -連続性と $g |_{A} = f$ より，任意の $a \in A$ に対して
$f (a) - ω (d_{X} (x, a)) = g (a) - ω (d_{X} (x, a)) \leq g (x) \leq g (a) + ω (d_{X} (x, a)) = f (a) + ω (d_{X} (x, a))$
が成り立つから $f_{ω} (x) \leq g (x) \leq f^{ω} (x)$ を得る．

上の定理の仮定は，たとえばヘルダー連続写像やリプシッツ連続写像で成り立つから，次の系を得る．
（つまり実数値ヘルダー連続写像は，ヘルダー連続性と"ヘルダー係数"を保ったまま，その定義域を全空間へと拡張できる．）

$(X, d_{X})$ を距離空間， $A$ を $X$ の空でない部分集合， $α \in (0, 1]$ ， $L \in (0, \infty)$ とし， $ω^{(α)} \in M$ を

$ω^{(α)} (δ) = δ^{α} (δ \in [0, \infty])$

で定める（cf. ヘルダー連続の定義）．また， $L ω^{(α)}$ -連続な写像 $f : A \to R$ に対して写像 $f_{L ω^{(α)}}, f^{L ω^{(α)}} : X \to R$ を前定理のように
$\begin{aligned} f_{L ω^{(α)}} (x) & = sup_{a \in A} (f (a) - L d_{X} (x, a)^{α}), \\ f^{L ω^{(α)}} (x) & = inf_{a \in A} (f (a) + L d_{X} (x, a)^{α}) (x \in X) \end{aligned}$
とする．このとき，次のことが成り立つ．

$f_{L ω^{(α)}} |_{A} = f^{L ω^{(α)}} |_{A} = f$ である．
$f_{L ω^{(α)}}, f^{L ω^{(α)}}$ は $L ω^{(α)}$ -連続である．
写像 $g : X \to R$ が $g |_{A} = f$ を満たし，かつ $L ω^{(α)}$ -連続ならば，任意の $x \in X$ に対して $f_{L ω^{(α)}} (x) \leq g (x) \leq f^{L ω^{(α)}} (x)$ である．

リプシッツ連続写像!FORMULA[586][1786189965][0]の，!FORMULA[587][80230590][0]上へのリプシッツ最大拡張!FORMULA[588][-1319083579][0]（赤い線）・最小拡張!FORMULA[589][-1829617756][0]（青い線）リプシッツ連続写像 $f : [- π, π] ∋ x \mapsto \sin x \in R$ の， $R$ 上へのリプシッツ最大拡張 $f^{ω^{(1)}}$ （赤い線）・最小拡張 $f_{ω^{(1)}}$ （青い線）

!FORMULA[590][-153580035][0]の定義の図示 $f_{ω}, f^{ω}$ の定義の図示

また連続度の劣加法性はそれほど強い仮定ではなく，たとえばノルム空間の凸部分集合上で定義された写像の一様連続度は自動的に劣加法性を満たす．

$(V, ∥ \cdot ∥)$ をノルム空間， $C$ を $V$ の凸部分集合， $(Y, d)$ を距離空間とし，写像 $f : C \to Y$ の一様連続度を $ω_{f} : [0, \infty] \to [0, \infty]$ とする．
このとき，次のことが成り立つ．

$δ_{1}, δ_{2} \in [0, \infty]$ に対して， $ω_{f} (δ_{1} + δ_{2}) \leq ω_{f} (δ_{1}) + ω_{f} (δ_{2})$ である．
$δ \in [0, \infty)$ と $n \in N$ に対して， $ω_{f} (n δ) \leq n ω_{f} (δ)$ である．
$δ, λ \in [0, \infty)$ に対して， $ω_{f} (λ δ) \leq (⌊ λ ⌋ + 1) ω_{f} (δ)$ である．

$δ_{1}, δ_{2} \in (0, \infty)$ の場合のみ考える（そうでない場合は個別に考えれば容易に示せる）．
$∥ v - v^{'} ∥ \leq δ_{1} + δ_{2}$ を満たす $v, v^{'} \in C$ を任意に取る．このとき
$v^{″} := \frac{δ_{2}}{δ_{1} + δ_{2}} v + \frac{δ_{1}}{δ_{1} + δ_{2}} v^{'}$
とおけば， $v^{″} \in C$ かつ $∥ v - v^{″} ∥ \leq δ_{1}$ かつ $∥ v^{″} - v^{'} ∥ \leq δ_{2}$ が成り立つから
$\begin{aligned} d (f (v), f (v^{'})) & \leq d (f (v), f (v^{″})) + d (f (v^{″}), f (v^{'})) \leq ω_{f} (δ_{1}) + ω_{f} (δ_{2}) \end{aligned}$
となる． $v, v^{'}$ は任意だったから， $ω_{f} (δ_{1} + δ_{2}) \leq ω_{f} (δ_{1}) + ω_{f} (δ_{2})$ が示された．
$δ \in [0, \infty)$ を任意に取り， $n$ に関する数学的帰納法で示す． $n = 1$ の場合は明らか．
ある $n \in N$ について $ω_{f} (n δ) \leq n ω_{f} (δ)$ が成り立っていたと仮定すると，(1)より
$\begin{aligned} ω_{f} ((n + 1) δ) & = ω_{f} (n δ + δ) \leq ω_{f} (n δ) + ω_{f} (δ) \leq n ω_{f} (δ) + ω_{f} (δ) = (n + 1) ω_{f} (δ) \end{aligned}$
となる．したがって，任意の $n \in N$ に対して $ω_{f} (n δ) \leq n ω_{f} (δ)$ であることが示された．
$n := ⌊ λ ⌋$ とおくと $n \leq λ < n + 1$ だから，(2)より
$\begin{aligned} ω_{f} (λ δ) & \leq ω_{f} ((n + 1) δ) \leq (n + 1) ω_{f} (δ) = (⌊ λ ⌋ + 1) ω_{f} (δ) . \end{aligned}$

連続度の使用例

不等式 $d_{Y} (f (x), f (x^{'})) \leq ω (d_{X} (x, x^{'}))$ などを使うことで， $d_{X} (x, x^{'})$ の大きさを一旦気にせずに $d_{Y} (f (x), f (x^{'}))$ の評価に関する計算を進めることができます．
このように連続度を用いて評価した後で， $f$ の連続性
$lim_{δ \to + 0} ω (δ) = 0$
を用いて $ω$ の値を任意に小さくすればよいので，多くの場合 $δ$ の値を逆算しなければならない $ε$ - $δ$ 論法よりもシンプルな流れで計算できる…かもしれません．

連続写像のリーマン積分可能性

有界閉区間上の連続写像 $f : [a, b] \to R$ は $[a, b]$ 上でリーマン積分可能であることを示せ．

解答例

$[a, b]$ の任意の分割
$Δ : a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{k - 1} < x_{k} = b$
に対して， $Δ$ に関する $f$ の過剰和 $S_{Δ}$ と不足和 $s_{Δ}$ の差は，各小区間 $[x_{j}, x_{j + 1}]$ における $f$ の最大点と最小点をそれぞれ $x_{max}^{(j)}, x_{min}^{(j)}$ とおけば
$\begin{aligned} S_{Δ} - s_{Δ} & = \sum_{j = 0}^{k - 1} (f (x_{max}^{(j)}) - f (x_{min}^{(j)})) (x_{j + 1} - x_{j}) \\ \leq \sum_{j = 0}^{k - 1} ω_{f} (| x_{max}^{(j)} - x_{min}^{(j)} |) (x_{j + 1} - x_{j}) \\ \leq \sum_{j = 0}^{k - 1} ω_{f} (| Δ |) (x_{j + 1} - x_{j}) \\ = ω_{f} (| Δ |) (b - a) \end{aligned}$
と評価できる．ここで， $ω_{f}$ は $f$ の（最適）一様連続度とし， $| Δ |$ は分割 $Δ$ の幅
$| Δ | := max_{j \in {0, 1, \dots, k - 1}} (x_{j + 1} - x_{j})$
とした（ここまではどんな分割 $Δ$ でも成り立つ議論であることに注意）．さて，任意の $ε \in (0, \infty)$ に対して， $f$ の一様連続性より
$ω_{f} (δ) \leq \frac{ε}{b - a}$
を満たす $δ \in (0, \infty)$ が取れるから， $| Δ | < δ$ なる任意の分割 $Δ$ に対して $S_{Δ} - s_{Δ} \leq ε$ が成り立つ．したがって， $f$ は $[a, b]$ 上でリーマン積分可能である．

熱方程式の解の収束性

写像 $f : R^{n} \to R$ は有界かつ一様連続であるとし，写像の族 $(K_{t} : R^{n} \to R)_{t \in (0, \infty)}$ を
$K_{t} (x) := \frac{1}{(4 π t)^{n / 2}} \exp (- \frac{| x |^{2}}{4 t}) (t \in (0, \infty), x \in R^{n})$
で定める．このとき，合成積の族 $(K_{t} * f : R^{n} \to R)_{t \in (0, \infty)}$
$(K_{t} * f) (x) = \int_{R^{n}} K_{t} (y) f (x - y) d y (t \in (0, \infty), x \in R^{n})$
は $t \to + 0$ のとき $f$ に一様収束することを示せ．

解答例

計算を頑張ると， $(K_{t})_{t \in (0, \infty)}$ は次の2性質を満たすことが確かめられる（略）．

任意の $t \in (0, \infty)$ に対して， $\int_{R^{n}} K_{t} (x) d x = 1$ である．
任意の $δ \in (0, \infty)$ に対して， $lim_{t \to + 0} \int_{| x | \geq δ} K_{t} (x) d x = 0$ である．

さて，

| f |

の上界

M

を1つ固定し，

δ \in (0, \infty)

を任意に取る．このとき，任意の

t \in (0, \infty)

と

x \in R^{n}

に対して

\begin{aligned} | (K_{t} * f) (x) - f (x) | & = | \int_{R^{n}} K_{t} (y) f (x - y) d y - f (x) \int_{R^{n}} K_{t} (y) d y | \\ \leq \int_{R^{n}} K_{t} (y) | f (x - y) - f (x) | d y \\ \leq \int_{| y | \leq δ} K_{t} (y) ω_{f} (| y |) d y + 2 M \int_{| y | \geq δ} K_{t} (y) d x \\ \leq ω_{f} (δ) + 2 M \int_{| y | \geq δ} K_{t} (y) d y \end{aligned}

が成り立つから

sup_{x \in R^{n}} | (K_{t} * f) (x) - f (x) | \leq ω_{f} (δ) + 2 M \int_{| y | \geq δ} K_{t} (y) d y

であり，

t \to + 0

の上極限を取ることで

\underset{t \to + 0}{lim sup} sup_{x \in R^{n}} | (K_{t} * f) (x) - f (x) | \leq ω_{f} (δ) + 2 M lim_{t \to + 0} \int_{| y | \geq δ} K_{t} (y) d y = ω_{f} (δ)

を得る．最後に

δ \to + 0

とすれば，

f

の一様連続性とはさみうちの原理から

\underset{t \to + 0}{lim sup} sup_{x \in R^{n}} | (K_{t} * f) (x) - f (x) | = 0

となり所望の結論が示された．

もし間違い等ありましたら，ご指摘ください．
ここまで読んでいただき，ありがとうございました．

追記

「連続度の大小によって連続性の強さを比べることができる」という主張について，「比べる」というからには順序が定まってほしいですね．
ただし，次の命題で定める順序は反対称律を満たさないことに注意してください（写像としては違うものであっても，連続性の強さだけ見ると同じになることがある）．

連続性の強さの比較

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間， $x \in X$ とし， $Y^{X}$ 上の二項関係 $⪯_{x}, ⪯$ を次式で定める： $f, g \in Y^{X}$ に対して
$\begin{aligned} f ⪯_{x} g & :⟺ ある δ_{0} \in (0, \infty] が存在して，任意の δ \in [0, δ_{0}] に対して ω_{g, x} (δ) \leq ω_{f, x} (δ) が成り立つ, \\ f ⪯ g & :⟺ ある δ_{0} \in (0, \infty] が存在して，任意の δ \in [0, δ_{0}] に対して ω_{g} (δ) \leq ω_{f} (δ) が成り立つ . \end{aligned}$
この $⪯_{x}, ⪯$ は， $Y^{X}$ 上の前順序である．

反射律と推移律の成立は容易に確かめられる．

任意の $f \in Y^{X}$ と $δ \in [0, \infty]$ に対して $ω_{f, x} (δ) \leq ω_{f, x} (δ)$ と $ω_{f} (δ) \leq ω_{f} (δ)$ が成り立つから， $f ⪯_{x} f$ と $f ⪯ f$ が成り立つ．
$f, g, h \in Y^{X}$ が $f ⪯_{x} g$ かつ $g ⪯_{x} h$ を満たすとき，ある $δ_{1}, δ_{2} \in (0, \infty]$ が存在して，任意の $δ \in [0, δ_{1}]$ に対して $ω_{h, x} (δ) \leq ω_{g, x} (δ)$ が成り立ち，任意の $δ \in [0, δ_{2}]$ に対して $ω_{g, x} (δ) \leq ω_{f, x} (δ)$ が成り立つ．よって $δ_{0} := min {δ_{1}, δ_{2}}$ とおけば，任意の $δ \in [0, δ_{0}]$ に対して $ω_{h, x} (δ) \leq ω_{g, x} (δ) \leq ω_{f, x} (δ)$ が成り立ち，すなわち $f ⪯_{x} h$ を得る． $⪯$ の推移律も同様に示せる．

連続度の計算問題を置いておきます．
写像 $f : R ∋ z \mapsto z^{2} \in R$ が一様連続でないことを示してみましょう．

写像 $f : R ∋ z \mapsto z^{2} \in R$ と点 $x \in R$ に対して
$ω_{f, x} (δ) = δ (δ + 2 | x |) (δ \in [0, \infty])$
が成り立つことを示せ．

解答例

$δ = 0, \infty$ の場合は個別に考えることで容易に示せるから，以下 $δ \in (0, \infty)$ の場合のみ考える．

$| x - y | \leq δ$ を満たす任意の $y \in R$ に対して
$| f (x) - f (y) | = | x^{2} - y^{2} | = | x - y | | x + y | \leq δ (| y - x | + 2 | x |) \leq δ (δ + 2 | x |)$
が成り立つから， $ω_{f, x} (δ) \leq δ (δ + 2 | x |)$ である．
$y \in R$ を次式で定める．
$y := {\begin{cases} x + δ & (x \geq 0 の場合), \\ x - δ & (x < 0 の場合) . \end{cases}$
このとき $| x - y | = δ$ かつ $y^{2} = x^{2} + 2 | x | δ + δ^{2}$ が成り立つから
$| f (x) - f (y) | = | x^{2} - y^{2} | = 2 | x | δ + δ^{2} = δ (δ + 2 | x |),$
よって $ω_{f, x} (δ) \geq δ (δ + 2 | x |)$ である．

写像 $f : R ∋ z \mapsto z^{2} \in R$ が一様連続でないことを示せ．

解答例

前問より， $δ \in [0, \infty]$ に対して $\begin{array}{r} ω_{f} (δ) = sup_{x \in R} ω_{f, x} (δ) = sup_{x \in R} δ (δ + 2 | x |) = {\begin{cases} 0 & (δ = 0 の場合), \\ \infty & (δ > 0 の場合) \end{cases} \end{array}$
が成り立つから， $lim_{δ \to + 0} ω_{f} (δ) = \infty$ であり， $f$ は一様連続でないことが示された．