無理的なラマヌジャンの円周率公式
はじめに
この記事ではラマヌジャンの円周率公式
$$\frac1\pi=\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac1s)_n(1-\frac1s)_n}{(1)_n^3}\frac{An+B}{C^n}
\qquad(s=2,3,4,6)$$
の中でも
$$\frac{32}\pi
=\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\frac{(42\sqrt5+30)n+5\sqrt5-1}{64^n}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{8n}$$
のように$C$が(二次)無理数であるようなものについて(主に個人的に計算したものを)まとめていきます。
ただ自力で各種定数を一から計算するのは面倒なので、適当な数表から簡単に得られそうなものだけを計算してはまとめていきたいと思います。またいい感じの数表を見つけるたびに随時追記することもあるかもしれません。
なおラマヌジャンの円周率公式の基本事項については
あたりの記事にまとめてあります。
有理的な場合から得られるもの
まず既存の有理的な円周率公式を起点に、次のような変換公式を施すことによって得られる無理的な円周率公式について考えてみましょう。
\begin{align} &\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac14)_n(\frac34)_n}{(1)_n^3}(An+B)z^n\\ ={}&\sqrt{\frac2{\sqrt{1-z}+1}}\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\l(\frac A{4\sqrt{1-z}}\l(4n+1\r)-\frac A4+B\r)\l(\frac{-z}{(\sqrt{1-z}+1)^2}\r)^n\\ \end{align}
${}_2F_1$の二次変換公式やClausenの公式から
$$\FF{\frac12}{\frac14}{\frac34}11z
=\sqrt{\frac2{\sqrt{1-z}+1}}\FF{\frac12}{\frac12}{\frac12}11{\frac{\sqrt{1-z}-1}{\sqrt{1-z}+1}}$$
が成り立つことに注意するとわかる。
$C>0$に対し
\begin{align}
&\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac14)_n(\frac34)_n}{(1)_n^3}\frac{An+B}{C^n}\\
={}&\frac{C^\frac14}{2\sqrt2}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\l(\frac{A\sqrt C}{\sqrt{C-1}}\l(4n+1\r)+4B-A\r)\frac1{(\sqrt{C-1}+\sqrt C)^{2n+\frac12}}\\
\\
&\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(\frac12)_n(\frac14)_n(\frac34)_n}{(1)_n^3}\frac{An+B}{C^n}\\
={}&\frac{C^\frac14}{2\sqrt2}\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\l(\frac{A\sqrt C}{\sqrt{C+1}}\l(4n+1\r)+4B-A\r)\frac1{(\sqrt{C+1}+\sqrt C)^{2n+\frac12}}
\end{align}
いまこれを$10$個の円周率公式
\begin{align*}
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{20n+3}{2^{10n+3}}\\
\frac1\pi&=\frac{\sqrt3}{16}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{28n+3}{4^{6n}3^n}\\
\frac1\pi&=\frac1{72}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{260n+23}{288^{2n}}\\
\frac1\pi&=\frac{\sqrt5}{282}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{644n+41}{4^{4n}(5\cdot72^2)^n}\\
\frac1\pi&=\frac1{3528}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{21460n+1123}{14112^{2n}}\\
\\
\frac1\pi&=\frac{\sqrt3}6\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{8n+1}{48^{2n}}\\
\frac1\pi&=\frac{2\sqrt2}{3^2}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{10n+1}{12^{4n}}\\
\frac1\pi&=\frac{3\sqrt3}{49}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{40n+3}{28^{4n}}\\
\frac1\pi&=\frac{\sqrt{11}}{198}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{280n+19}{1584^{2n}}\\
\frac1\pi&=\frac{2\sqrt2}{99^2}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{26390n+1103}{396^{4n}}
\end{align*}
に対し適用することで次のような円周率公式が得られます。
\begin{alignat}{3} \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{\sqrt5(4n+1)-1}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{6n+\frac32}&N&=5\\ \frac2{3^{\frac34}\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{\sqrt6(4n+1)-\sqrt2}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt6-\sqrt2}2\r)^{8n+2}&N&=9\\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3\sqrt{13}(4n+1)-7}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt{13}-3}2\r)^{6n+\frac32}&N&=13\\ \frac1{5^{\frac54}\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3(4n+1)-\sqrt5}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{24n+6}&N&=25\\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{21\sqrt{37}(4n+1)-101}{2^{6n}}(\sqrt{37}-6)^{6n+\frac32}&N&=37\\ \\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3(4n+1)-\sqrt2}{2^{6n}}(\sqrt2-1)^{4n+1}&\quad N&=6\\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3\sqrt5(4n+1)-4}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{12n+3}&\quad N&=10\\ \frac2{3\pi}&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{7(4n+1)-2\sqrt6}{2^{6n}}(\sqrt3-\sqrt2)^{8n+2}&\quad N&=18\\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{33(4n+1)-17\sqrt2}{2^{6n}}(\sqrt2-1)^{12n+3}&\quad N&=22\\ \frac2{3\pi}&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{33\sqrt{29}(4n+1)-148}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt{29}-5}2\r)^{12n+3}&\quad N&=58\\ \end{alignat}
有理的な場合から得られないもの
また通常の円周率公式と同様にラマヌジャンの不変量$G_N,g_N$や楕円$\alpha$関数$\a(N)$の特殊値から
\begin{align}
\frac1\pi
&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\frac{\sqrt N\sqrt{1-G^{-24}}(n+\frac12)+\a-\frac12\sqrt N}{G^{24n}}\\
&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\frac{\sqrt N\sqrt{1+g^{-24}}n+(\sqrt{1+g^{-24}}+1)\a/2}{g^{24n}}
\end{align}
という円周率公式を考えてみたところ、次のような公式が得られました。
\begin{alignat}{3} \frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{(4+\sqrt2)n+1}{2^{3n}}(\sqrt2-1)^{3n+2}&\quad N&=2\\ \frac1{2\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3(3+\sqrt2)n+2}{2^{3n/2}}(\sqrt2-1)^{6n+3}&N&=4\\ \frac{32}\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{6\sqrt5(7+\sqrt5)n+5\sqrt5-1}{2^{12n}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{8n}&N&=15\\ \\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{2(3+\sqrt2)n+1}{2^{9n}}(\sqrt2-1)^{3n+\frac12}&N&=8\\ \frac{2\sqrt{10+\sqrt2}}\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{42n+9-4\sqrt2}{2^{21n/2}}(\sqrt2-1)^{6n+\frac12}&N&=16\\ \end{alignat}
さらにこれらに対し適当な変換公式を考えることで$s=4,6$の円周率公式も得られます。
\begin{align} &\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}(An+B)z^n\\ ={}&\frac1{\sqrt{1-z}}\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac14)_n(\frac34)_n}{(1)_n^3} \l(A\frac{1+z}{1-z}\l(n+\frac14\r)+B-\frac A4\r)\l(\frac{-4z}{(1-z)^2}\r)^n\\ ={}&\frac1{\sqrt{1-z/4}}\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac16)_n(\frac56)_n}{(1)_n^3} \l(A\frac{8+z}{4-z}\l(n+\frac16\r)+B-\frac A3\r)\l(\frac{27z^2}{(4-z)^3}\r)^n \end{align}
\begin{align}
\FF{\frac12}{\frac12}{\frac12}11z
&=\frac1{\sqrt{1-z}}\FF{\frac12}{\frac14}{\frac34}11{\frac{-4z}{(1-z)^2}}\\
&=\frac1{\sqrt{1-z/4}}\FF{\frac12}{\frac16}{\frac56}11{\frac{27z^2}{(4-z)^3}}
\end{align}
に注意するとわかる。
\begin{alignat}{3} \frac1{2\pi}&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{(73+13\sqrt2)n+2(5+2\sqrt2)}{2^{3n/2}}\frac{(\sqrt2+1)^{4n}}{(9(5\sqrt2+1))^{2n+1}}&\quad N&=4\\ \frac2{\sqrt3\pi}&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{35(3\sqrt5+4)n+4(3\sqrt5+1)}{(3(5\sqrt5+2))^{2n+1}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{10n+3}&N&=15\\ \\ \frac1{2\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{5\sqrt2(2\sqrt2+1)n+3}{2^{3n}}\frac{(\sqrt2-1)^{3n+1}}{(5\sqrt2+1)^{2n+1}}&N&=8\\ \frac1{4\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{(73-13\sqrt2)n+2(5-2\sqrt2)}{2^{3n/2}}\frac{(\sqrt2-1)^{4n}}{(9(5\sqrt2-1))^{2n+1}}&N&=16\\ \end{alignat}
同様にして$s=6$の円周率公式も得られると思いますが、そろそろ計算が面倒になってきたので気が向いたときにまた追記しようと思います。
また他にも各種の保型関数($j$-不変量とか)の有名な特殊値に対応する円周率公式とかも考えられると思いますが、それもまた気が向いたときに調べようと思います。
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