無理的なラマヌジャンの円周率公式
はじめに
この記事ではラマヌジャンの円周率公式
$$\frac1\pi=\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac1s)_n(1-\frac1s)_n}{(1)_n^3}\frac{An+B}{C^n}
\qquad(s=2,3,4,6)$$
の中でも
$$\frac{32}\pi
=\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\frac{(42\sqrt5+30)n+5\sqrt5-1}{64^n}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{8n}$$
のように$C$が(二次)無理数であるようなものについて(主に個人的に計算したものを)まとめていきます。
ただ自力で各種定数を一から計算するのは面倒なので、適当な数表から簡単に得られそうなものだけを計算してはまとめていきたいと思います。またいい感じの数表を見つけるたびに随時追記することもあるかもしれません。
なおラマヌジャンの円周率公式の基本事項については
あたりの記事にまとめてあります。
有理的な場合から得られるもの
$s=4$から$s=2$へ
まず既存の有理的な円周率公式を起点に、次のような変換公式を施すことによって得られる無理的な円周率公式について考えてみましょう。
\begin{align} &\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac14)_n(\frac34)_n}{(1)_n^3}(An+B)z^n\\ ={}&\sqrt{\frac2{\sqrt{1-z}+1}}\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\l(\frac A{4\sqrt{1-z}}\l(4n+1\r)-\frac A4+B\r)\l(\frac{-z}{(\sqrt{1-z}+1)^2}\r)^n\\ \end{align}
${}_2F_1$の二次変換公式やClausenの公式から
$$\FF{\frac12}{\frac14}{\frac34}11z
=\sqrt{\frac2{\sqrt{1-z}+1}}\FF{\frac12}{\frac12}{\frac12}11{\frac{\sqrt{1-z}-1}{\sqrt{1-z}+1}}$$
が成り立つことに注意するとわかる。
$C>0$に対し
\begin{align}
&\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac14)_n(\frac34)_n}{(1)_n^3}\frac{An+B}{C^n}\\
={}&\frac{C^\frac14}{2\sqrt2}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\l(\frac{A\sqrt C}{\sqrt{C-1}}\l(4n+1\r)+4B-A\r)(\sqrt C-\sqrt{C-1})^{2n+\frac12}\\
\\
&\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(\frac12)_n(\frac14)_n(\frac34)_n}{(1)_n^3}\frac{An+B}{C^n}\\
={}&\frac{C^\frac14}{2\sqrt2}\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\l(\frac{A\sqrt C}{\sqrt{C+1}}\l(4n+1\r)+4B-A\r)(\sqrt{C+1}-\sqrt C)^{2n+\frac12}
\end{align}
いまこれを$10$個の円周率公式
\begin{align*}
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{20n+3}{2^{10n+3}}\\
\frac1\pi&=\frac{\sqrt3}{16}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{28n+3}{4^{6n}3^n}\\
\frac1\pi&=\frac1{72}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{260n+23}{288^{2n}}\\
\frac1\pi&=\frac{\sqrt5}{282}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{644n+41}{4^{4n}(5\cdot72^2)^n}\\
\frac1\pi&=\frac1{3528}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{21460n+1123}{14112^{2n}}\\
\\
\frac1\pi&=\frac{\sqrt3}6\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{8n+1}{48^{2n}}\\
\frac1\pi&=\frac{2\sqrt2}{3^2}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{10n+1}{12^{4n}}\\
\frac1\pi&=\frac{3\sqrt3}{49}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{40n+3}{28^{4n}}\\
\frac1\pi&=\frac{\sqrt{11}}{198}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{280n+19}{1584^{2n}}\\
\frac1\pi&=\frac{2\sqrt2}{99^2}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{26390n+1103}{396^{4n}}
\end{align*}
に対し適用することで次のような円周率公式が得られます。なお$C$が平方数$x^2$であるときは
$$\sqrt C-\sqrt{C-1}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2}2$$
が成り立つことに注意するといいかもしれません。
\begin{alignat}{3} \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{\sqrt5(4n+1)-1}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{6n+\frac32}&N&=5\\ \frac2{3^{\frac34}\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{\sqrt6(4n+1)-\sqrt2}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt6-\sqrt2}2\r)^{8n+2}&N&=9\\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3\sqrt{13}(4n+1)-7}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt{13}-3}2\r)^{6n+\frac32}&N&=13\\ \frac1{5^{\frac54}\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3(4n+1)-\sqrt5}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{24n+6}&N&=25\\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{21\sqrt{37}(4n+1)-101}{2^{6n}}(\sqrt{37}-6)^{6n+\frac32}&N&=37\\ \\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3(4n+1)-\sqrt2}{2^{6n}}(\sqrt2-1)^{4n+1}&\quad N&=6\\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3\sqrt5(4n+1)-4}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{12n+3}&\quad N&=10\\ \frac2{3\pi}&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{7(4n+1)-2\sqrt6}{2^{6n}}(\sqrt3-\sqrt2)^{8n+2}&\quad N&=18\\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{33(4n+1)-17\sqrt2}{2^{6n}}(\sqrt2-1)^{12n+3}&\quad N&=22\\ \frac2{3\pi}&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{33\sqrt{29}(4n+1)-148}{2^{6n}}\l(\frac{\sqrt{29}-5}2\r)^{12n+3}&\quad N&=58\\ \end{alignat}
$s=2$から$s=2$へ
また上で得られたものや
\begin{alignat}{3}
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac{4n+1}{2^{6n+1}}&\quad N&=2\\
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac{6n+1}{2^{9n+\frac32}}&N&=4\\
\\
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac{6n+1}{2^{8n+2}}&N&=3\\
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac{42n+5}{2^{12n+4}}&N&=7
\end{alignat}
などの$s=2$の円周率公式に対し、次のような無理変換を考えることでも無理的な円周率公式を得ることができます。
\begin{align} &\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}(An+B)z^n\\ ={}&\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3} \l(A\frac{3-\sqrt{1-z}}{\sqrt{1-z}}\l(n+\frac13\r)+2\l(B-\frac A3\r)\r) \frac{(-8z)^n}{(1+\sqrt{1-z})^{3n+1}} \end{align}
$$\FF{\frac12}{\frac12}{\frac12}11{4x(1-x)}
=\frac1{1-z}\FF{\frac12}{\frac12}{\frac12}11{\frac{-4x}{(1-x)^2}}$$
において
$$x=\frac{1-\sqrt{1-z}}2$$
とおくことで
$$\FF{\frac12}{\frac12}{\frac12}11z
=\frac2{1+\sqrt{1-x}}\FF{\frac12}{\frac12}{\frac12}11{\frac{-8z}{(1+\sqrt{1-z})^3}}$$
が成り立つことに注意するとわかる。
$C>0$に対し
\begin{align}
&\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\frac{An+B}{C^n}\\
={}&\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}
\l(A\frac{3\sqrt C-\sqrt{C+1}}{\sqrt{C+1}}\l(n+\frac13\r)+2\l(B-\frac A3\r)\r)
C^{\frac n2}2^{3n}(\sqrt{C+1}-\sqrt C)^{3n+1}\\
\\
&\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\frac{An+B}{C^n}\\
={}&\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}
\l(A\frac{3\sqrt C-\sqrt{C-1}}{\sqrt{C-1}}\l(n+\frac13\r)+2\l(B-\frac A3\r)\r)
C^{\frac n2}2^{3n}(\sqrt C-\sqrt{C-1})^{3n+1}
\end{align}
\begin{alignat}{3} \frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{\sqrt2(2\sqrt2+1)n+1}{2^{3n}}(\sqrt2-1)^{3n+2}&\quad N&=2\\ \frac1{2\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{(2\sqrt2-1)(3n+1)-1}{2^{3n/2}}(\sqrt2-1)^{6n+2}&N&=4\\ \\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{(2\sqrt3-1)(3n+1)-1}{2^{5n}}(\sqrt3-1)^{6n+2}&N&=3\\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{\sqrt7(8-\sqrt7)(3n+1)-9}{2^{3n}}(3-\sqrt7)^{6n+2}&N&=7\\ \end{alignat}
\begin{array}{c|ccccc}
N&6&10&18&22&58\\\hline
x&\sqrt2-1&\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^3&(\sqrt3-\sqrt2)^2&(\sqrt2-1)^3&\l(\frac{\sqrt{29}-5}2\r)^3
\end{array}
とおいたとき
\begin{alignat}{3}
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}
\frac{\sqrt2(\sqrt3-\sqrt2x)(3n+1)-1}{2^{3n}}
\frac{(\sqrt6x-1)^{3n+1}}{x^{8n+4}}&N&=6\\
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}
\frac{\sqrt{10}(1-\sqrt2 x)(3n+1)-(2\sqrt5-3)}{2^{3n}}
\frac{(3\sqrt2x-1)^{3n+1}}{x^{8n+4}}&\quad N&=10\\
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}
\frac{\sqrt2(3-7\sqrt2x)(3n+1)-(16\sqrt6-37)}{2^{3n}}
\frac{(7\sqrt2x-1)^{3n+1}}{x^{8n+4}}&\quad N&=18\\
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}
\frac{\sqrt{22}(1-\sqrt{22}x)(3n+1)-(93-64\sqrt2)}{2^{3n}}
\frac{(3\sqrt{22}x-1)^{3n+1}}{x^{8n+4}}&\quad N&=22\\
\frac1\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}
\frac{\sqrt{58}(1-33\sqrt2x)(3n+1)-3(1154\sqrt{29}-6213)}{2^{3n}}
\frac{(99\sqrt2x-1)^{3n+1}}{x^{8n+4}}&\quad N&=58\\
\end{alignat}
有理的な場合から得られないもの
$s=2$の円周率公式
また通常の円周率公式と同様にラマヌジャンの不変量$G_N,g_N$や楕円$\alpha$関数$\a(N)$の特殊値から
\begin{align}
\frac1\pi
&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\frac{\sqrt N\sqrt{1-G^{-24}}(n+\frac12)+\a-\frac12\sqrt N}{G^{24n}}\\
&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}\frac{\sqrt N\sqrt{1+g^{-24}}n+(\sqrt{1+g^{-24}}+1)\a/2}{g^{24n}}
\end{align}
という円周率公式を考えてみたところ、次のような公式が得られました。
\begin{alignat}{3} \frac{32}\pi&=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{6\sqrt5(7+\sqrt5)n+5\sqrt5-1}{2^{12n}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{8n}&\quad N&=15\\ \\ \frac2\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{2(3+\sqrt2)n+1}{2^{9n}}(\sqrt2-1)^{3n+\frac12}&N&=8\\ \frac{4\sqrt2}\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{(2\sqrt3+1)(6n+1)-2}{2^{13n}}(\sqrt3-1)^{6n+1}&N&=12\\ \frac{2\sqrt{10+\sqrt2}}\pi&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{42n+9-4\sqrt2}{2^{21n/2}}(\sqrt2-1)^{6n+\frac12}&N&=16\\ \end{alignat}
ちなみに$N=15$の円周率公式と補題2を組み合わせることで次のような円周率公式も得られます。
$$\frac4\pi=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6} \frac{3\sqrt5(16\sqrt3-7-\sqrt5)n+16(\sqrt{15}-\sqrt5-1)}{2^{3n}} \frac{(16-\sqrt3(7+\sqrt5))^{3n+1}}{(\frac{\sqrt5-1}2)^{16n+8}}$$
$s=4,6$への変換
またこれらに対し適当な変換公式を考えることで$s=4,6$の円周率公式も得られます。
\begin{align} &\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n^3}{(1)_n^3}(An+B)z^n\\ ={}&\frac1{\sqrt{1-z}}\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac14)_n(\frac34)_n}{(1)_n^3} \l(A\frac{1+z}{1-z}\l(n+\frac14\r)+B-\frac A4\r)\l(\frac{-4z}{(1-z)^2}\r)^n\\ ={}&\frac1{\sqrt{1-z/4}}\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac16)_n(\frac56)_n}{(1)_n^3} \l(A\frac{8+z}{4-z}\l(n+\frac16\r)+B-\frac A3\r)\l(\frac{27z^2}{(4-z)^3}\r)^n \end{align}
\begin{align}
\FF{\frac12}{\frac12}{\frac12}11z
&=\frac1{\sqrt{1-z}}\FF{\frac12}{\frac14}{\frac34}11{\frac{-4z}{(1-z)^2}}\\
&=\frac1{\sqrt{1-z/4}}\FF{\frac12}{\frac16}{\frac56}11{\frac{27z^2}{(4-z)^3}}
\end{align}
に注意するとわかる。
\begin{alignat}{3} \frac1{2\pi}&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{(73+13\sqrt2)n+2(5+2\sqrt2)}{2^{3n/2}}\frac{(\sqrt2+1)^{4n}}{(9(5\sqrt2+1))^{2n+1}}&\quad N&=4\\ \frac2{\sqrt3\pi}&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{35(3\sqrt5+4)n+4(3\sqrt5+1)}{(3(5\sqrt5+2))^{2n+1}}\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{10n+3}&N&=15\\ \\ \frac1{2\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{5\sqrt2(2\sqrt2+1)n+3}{2^{3n}}\frac{(\sqrt2-1)^{3n+1}}{(5\sqrt2+1)^{2n+1}}&N&=8\\ \frac1{2\sqrt3\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{5(7+\sqrt3)n+4}{2^{3n}}\frac{(\sqrt3-1)^{2n-1}}{(3(2\sqrt3+1)^2)^{2n+1}}&N&=12\\ \frac1{4\pi}&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{(73-13\sqrt2)n+2(5-2\sqrt2)}{2^{3n/2}}\frac{(\sqrt2-1)^{4n}}{(9(5\sqrt2-1))^{2n+1}}&N&=16\\ \end{alignat}
同様にして$s=6$の円周率公式も得られると思いますが、そろそろ計算が面倒になってきたので気が向いたときにまた追記しようと思います。
また他にも各種の保型関数($j$-不変量とか)の有名な特殊値に対応する円周率公式とかも考えられると思いますが、それもまた気が向いたときに調べようと思います。
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