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WP-Bailey対2

前の記事でWP-Bailey対を導入し, WP-Baileyの補題を示したが, WP-Bailey対から別のWP-Bailey対を得る方法は他にもあり, Andrewsによって以下の定理が得られている.

Andrews(2001)

$(α_{n}, β_{n})$ を $(a, w)$ に関するWP-Bailey対とするとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{(w; q)_{2 n}}{(a^{2} q / w; q)_{2 n}} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{n} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a^{2} q / w^{2}; q)_{n - k}}{(q; q)_{n - k}} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{k} β_{k} \end{aligned}$
は $(a, a^{2} q / w)$ に関するWP-Bailey対である.

上の定理を示したAndrewsの論文にはアクセスできなかったので, 代わりに思いついた証明を書くことにする. 証明の前に1つ補題を用意する.

$\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(1 - w q^{2 k}) (q^{- n}, a q^{n}, w^{2} / a^{2} q; q)_{k}}{(w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a, q; q)_{k}} q^{k} = \frac{(1 - a^{2} q / w) (a^{2} q^{n + 2} / w; q)_{n - 1} (w / a q; q)_{n}}{(w q^{n + 1}; q)_{n - 1} (a / w; q)_{n}} \end{array}$

$\begin{aligned} (1 - \frac{a}{w}) (1 - w q^{2 k}) & = (1 - q^{k - n}) (1 - a q^{n + k}) - \frac{a}{w} (1 - w q^{n + k}) (1 - \frac{w q^{k - n}}{a}) \end{aligned}$
であることを用いると,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(1 - w q^{2 k}) (q^{- n}, a q^{n}, w^{2} / a^{2} q; q)_{k}}{(w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a, q; q)_{k}} q^{k} \\ = \frac{1}{1 - \frac{a}{w}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a q^{n}, w^{2} / a^{2} q; q)_{k}}{(w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a, q; q)_{k}} q^{k} ((1 - q^{k - n}) (1 - a q^{n + k}) - \frac{a}{w} (1 - w q^{n + k}) (1 - \frac{w q^{k - n}}{a})) \\ = \frac{1}{1 - \frac{a}{w}} (\sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a q^{n}; q)_{k + 1} (w^{2} / a^{2} q; q)_{k}}{(w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a, q; q)_{k}} q^{k} - \frac{a}{w} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a q^{n}; q)_{k + 1} (w^{2} / a^{2} q; q)_{k}}{(w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a; q)_{k - 1} (q; q)_{k}} q^{k}) \end{aligned}$
ここで, $q$ -Saalschützの和公式より, それぞれ,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a q^{n}; q)_{k + 1} (w^{2} / a^{2} q; q)_{k}}{(w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a, q; q)_{k}} q^{k} \\ = (1 - q^{- n}) (1 - a q^{n})_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} q^{1 - n}, a q^{n + 1}, w^{2} / a^{2} q \\ w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a \end{array}; q] \\ = (1 - q^{- n}) (1 - a q^{n}) \frac{(w / a, a^{2} q^{n + 2} / w; q)_{n - 1}}{(w q^{n + 1}, a q / w; q)_{n - 1}} \\ \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a q^{n}; q)_{k + 1} (w^{2} / a^{2} q; q)_{k}}{(w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a; q)_{k - 1} (q; q)_{k}} q^{k} \\ = (1 - w q^{n}) (1 - w q^{- n} / a)_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} q^{- n}, a q^{n}, w^{2} / a^{2} q \\ w q^{n}, w q^{- n} / a \end{array}; q] \\ = (1 - w q^{n}) (1 - w q^{- n} / a) \frac{(w / a, a^{2} q^{n + 1} / w; q)_{n}}{(w q^{n}, a q / w; q)_{n}} \\ = - \frac{w q^{- n}}{a} \frac{(w / a, a^{2} q^{n + 1} / w; q)_{n}}{(w q^{n + 1}, a q / w; q)_{n - 1}} \end{aligned}$
よって,
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - \frac{a}{w}} (\sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a q^{n}; q)_{k + 1} (w^{2} / a^{2} q; q)_{k}}{(w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a, q; q)_{k}} q^{k} - \frac{a}{w} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a q^{n}; q)_{k + 1} (w^{2} / a^{2} q; q)_{k}}{(w q^{n + 1}, w q^{1 - n} / a; q)_{k - 1} (q; q)_{k}} q^{k}) \\ = \frac{1}{1 - \frac{a}{w}} ((1 - q^{- n}) (1 - a q^{n}) \frac{(w / a, a^{2} q^{n + 2} / w; q)_{n - 1}}{(w q^{n + 1}, a q / w; q)_{n - 1}} + q^{- n} \frac{(w / a, a^{2} q^{n + 1} / w; q)_{n}}{(w q^{n + 1}, a q / w; q)_{n - 1}}) \\ = \frac{q^{- n}}{1 - \frac{a}{w}} \frac{(w / a, a^{2} q^{n + 2} / w; q)_{n - 1}}{(w q^{n + 1}, a q / w; q)_{n - 1}} ((1 - \frac{w q^{n - 1}}{a}) (1 - \frac{a^{2} q^{n + 1}}{w}) - (1 - q^{n}) (1 - a q^{n})) \\ = \frac{1}{1 - \frac{a}{w}} \frac{(w / a, a^{2} q^{n + 2} / w; q)_{n - 1}}{(w q^{n + 1}, a q / w; q)_{n - 1}} (1 - \frac{w}{a q}) (1 - \frac{a^{2} q}{w}) \\ = \frac{(1 - a^{2} q / w) (a^{2} q^{n + 2} / w; q)_{n - 1} (w / a q; q)_{n}}{(w q^{n + 1}; q)_{n - 1} (a / w; q)_{n}} \end{aligned}$
となって示される.

定理1の証明

Bressoudの反転公式より,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1 - a^{2} q^{2 k + 1} / w}{1 - a^{2} q / w} \frac{(w / a q; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a^{2} q^{2} / w; q)_{n + k}} {(\frac{a q}{w})}^{n - k} β_{k}^{'} \end{aligned}$
を示せばよい. 右辺は
$\begin{aligned} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1 - a^{2} q^{2 k + 1} / w}{1 - a^{2} q / w} \frac{(w / a q; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a^{2} q^{2} / w; q)_{n + k}} {(\frac{a q}{w})}^{n - k} β_{k}^{'} \\ = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1 - a^{2} q^{2 k + 1} / w}{1 - a^{2} q / w} \frac{(w / a q; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a^{2} q^{2} / w; q)_{n + k}} {(\frac{a q}{w})}^{n - k} \sum_{j = 0}^{k} \frac{(a^{2} q / w^{2}; q)_{k - j}}{(q; q)_{k - j}} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{j} \\ = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{j} β_{j} \sum_{k = j}^{n} \frac{1 - a^{2} q^{2 k + 1} / w}{1 - a^{2} q / w} \frac{(w / a q; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a^{2} q^{2} / w; q)_{n + k}} {(\frac{a q}{w})}^{n - k} \frac{(a^{2} q / w^{2}; q)_{k - j}}{(q; q)_{k - j}} \\ = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{j} β_{j} \sum_{k = 0}^{n - j} \frac{1 - a^{2} q^{2 k + 2 j + 1} / w}{1 - a^{2} q / w} \frac{(w / a q; q)_{n - j - k} (a; q)_{n + j + k}}{(q; q)_{n - j - k} (a^{2} q^{2} / w; q)_{n + j + k}} {(\frac{a q}{w})}^{n - j - k} \frac{(a^{2} q / w^{2}; q)_{k}}{(q; q)_{k}} \\ = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{n} \sum_{j = 0}^{n} \frac{1}{1 - a^{2} q / w} \frac{(w / a q; q)_{n - j} (a; q)_{n + j}}{(q; q)_{n - j} (a^{2} q^{2} / w; q)_{n + j}} {(\frac{w}{a})}^{n - j} β_{j} \\ \cdot \sum_{k = 0}^{n - j} \frac{(1 - a^{2} q^{2 k + 2 j + 1} / w) (q^{j - n}, a q^{n + j}, a^{2} q / w^{2}; q)_{k}}{(a q^{2 + j - n} / w, a^{2} q^{n + j + 2} / w, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
ここで, 補題2を用いれば,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n - j} \frac{(1 - a^{2} q^{2 k + 2 j + 1} / w) (q^{j - n}, a q^{n + j}, a^{2} q / w^{2}; q)_{k}}{(a q^{2 + j - n} / w, a^{2} q^{n + j + 2} / w, q; q)_{k}} q^{k} \\ = \frac{(1 - w q^{2 j}) (w q^{n + j + 1}; q)_{n - j - 1} (a / w; q)_{n - j}}{(a^{2} q^{n + j + 2} / w; q)_{n - j - 1} (w / a q; q)_{n - j}} \end{aligned}$
であるから, これを代入すると,
$\begin{aligned} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{n} \sum_{j = 0}^{n} \frac{1}{1 - a^{2} q / w} \frac{(w / a q; q)_{n - j} (a; q)_{n + j}}{(q; q)_{n - j} (a^{2} q^{2} / w; q)_{n + j}} {(\frac{w}{a})}^{n - j} β_{j} \\ \cdot \sum_{k = 0}^{n - j} \frac{(1 - a^{2} q^{2 k + 2 j + 1} / w) (q^{j - n}, a q^{n + j}, a^{2} q / w^{2}; q)_{k}}{(a q^{2 + j - n} / w, a^{2} q^{n + j + 2} / w, q; q)_{k}} q^{k} \\ = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{n} \sum_{j = 0}^{n} \frac{1}{1 - a^{2} q / w} \frac{(w / a q; q)_{n - j} (a; q)_{n + j}}{(q; q)_{n - j} (a^{2} q^{2} / w; q)_{n + j}} {(\frac{w}{a})}^{n - j} β_{j} \\ \cdot \frac{(1 - w q^{2 j}) (w q^{n + j + 1}; q)_{n - j - 1} (a / w; q)_{n - j}}{(a^{2} q^{n + j + 2} / w; q)_{n - j - 1} (w / a q; q)_{n - j}} \\ = \frac{(w; q)_{2 n}}{(a^{2} q / w; q)_{2 n}} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{n} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{1 - w q^{2 j}}{1 - w} \frac{(a; q)_{n + j} (a / w; q)_{n - j}}{(q; q)_{n - j} (w q; q)_{n + j}} {(\frac{w}{a})}^{n - j} β_{j} \\ = \frac{(w; q)_{2 n}}{(a^{2} q / w; q)_{2 n}} {(\frac{a^{2} q}{w^{2}})}^{n} α_{n} \end{aligned}$
となって, 示すべきことが得られた.

定理1は, 二回適用すると元のWP-Bailey対に戻るという性質がある.

定理1から得られるWP-Baileyの例として, 定理1において, $β_{n} = δ_{n, 0}$ とすることによって,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(a, a / w; q)_{n}}{(w q, q; q)_{n}} \frac{(w; q)_{2 n}}{(a^{2} q / w; q)_{2 n}} {(\frac{a q}{w})}^{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{(a^{2} q / w^{2}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} \end{aligned}$
が $(a, a^{2} q / w)$ に関するWP-Bailey対であることが分かる.