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WP-Bailey対2

前の記事でWP-Bailey対を導入し, WP-Baileyの補題を示したが, WP-Bailey対から別のWP-Bailey対を得る方法は他にもあり, Andrewsによって以下の定理が得られている.

Andrews(2001)

$(\alpha_n,\beta_n)$を$(a,w)$に関するWP-Bailey対とするとき,
\begin{align} \alpha_n'&:=\frac{(w;q)_{2n}}{(a^2q/w;q)_{2n}}\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^n\alpha_n\\ \beta_n'&:=\sum_{k=0}^n\frac{(a^2q/w^2;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^k\beta_k \end{align}
は$(a,a^2q/w)$に関するWP-Bailey対である.

上の定理を示したAndrewsの論文にはアクセスできなかったので, 代わりに思いついた証明を書くことにする. 証明の前に1つ補題を用意する.

\begin{align} \sum_{k=0}^n\frac{(1-wq^{2k})(q^{-n},aq^n,w^2/a^2q;q)_k}{(wq^{n+1},wq^{1-n}/a,q;q)_k}q^k=\frac{(1-a^2q/w)(a^2q^{n+2}/w;q)_{n-1}(w/aq;q)_n}{(wq^{n+1};q)_{n-1}(a/w;q)_{n}} \end{align}

\begin{align} \left(1-\frac aw\right)(1-wq^{2k})&=(1-q^{k-n})(1-aq^{n+k})-\frac aw(1-wq^{n+k})\left(1-\frac{wq^{k-n}}{a}\right) \end{align}
であることを用いると,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(1-wq^{2k})(q^{-n},aq^n,w^2/a^2q;q)_k}{(wq^{n+1},wq^{1-n}/a,q;q)_k}q^k\\ &=\frac 1{1-\frac aw}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n,w^2/a^2q;q)_k}{(wq^{n+1},wq^{1-n}/a,q;q)_k}q^k\left((1-q^{k-n})(1-aq^{n+k})-\frac aw(1-wq^{n+k})\left(1-\frac{wq^{k-n}}{a}\right)\right)\\ &=\frac 1{1-\frac aw}\left(\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_{k+1}(w^2/a^2q;q)_k}{(wq^{n+1},wq^{1-n}/a,q;q)_k}q^k-\frac aw\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_{k+1}(w^2/a^2q;q)_k}{(wq^{n+1},wq^{1-n}/a;q)_{k-1}(q;q)_k}q^k\right) \end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式より, それぞれ,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_{k+1}(w^2/a^2q;q)_k}{(wq^{n+1},wq^{1-n}/a,q;q)_k}q^k\\ &=(1-q^{-n})(1-aq^n)\Q32{q^{1-n},aq^{n+1},w^2/a^2q}{wq^{n+1},wq^{1-n}/a}q\\ &=(1-q^{-n})(1-aq^n)\frac{(w/a,a^2q^{n+2}/w;q)_{n-1}}{(wq^{n+1},aq/w;q)_{n-1}}\\ &\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_{k+1}(w^2/a^2q;q)_k}{(wq^{n+1},wq^{1-n}/a;q)_{k-1}(q;q)_k}q^k\\ &=(1-wq^n)(1-wq^{-n}/a)\Q32{q^{-n},aq^n,w^2/a^2q}{wq^n,wq^{-n}/a}{q}\\ &=(1-wq^n)(1-wq^{-n}/a)\frac{(w/a,a^2q^{n+1}/w;q)_n}{(wq^n,aq/w;q)_n}\\ &=-\frac{wq^{-n}}{a}\frac{(w/a,a^2q^{n+1}/w;q)_n}{(wq^{n+1},aq/w;q)_{n-1}} \end{align}
よって,
\begin{align} &\frac 1{1-\frac aw}\left(\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_{k+1}(w^2/a^2q;q)_k}{(wq^{n+1},wq^{1-n}/a,q;q)_k}q^k-\frac aw\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_{k+1}(w^2/a^2q;q)_k}{(wq^{n+1},wq^{1-n}/a;q)_{k-1}(q;q)_k}q^k\right)\\ &=\frac 1{1-\frac aw}\left((1-q^{-n})(1-aq^n)\frac{(w/a,a^2q^{n+2}/w;q)_{n-1}}{(wq^{n+1},aq/w;q)_{n-1}}+q^{-n}\frac{(w/a,a^2q^{n+1}/w;q)_n}{(wq^{n+1},aq/w;q)_{n-1}}\right)\\ &=\frac {q^{-n}}{1-\frac aw}\frac{(w/a,a^2q^{n+2}/w;q)_{n-1}}{(wq^{n+1},aq/w;q)_{n-1}}\left(\left(1-\frac{wq^{n-1}}{a}\right)\left(1-\frac{a^2q^{n+1}}{w}\right)-(1-q^{n})(1-aq^n)\right)\\ &=\frac {1}{1-\frac aw}\frac{(w/a,a^2q^{n+2}/w;q)_{n-1}}{(wq^{n+1},aq/w;q)_{n-1}}\left(1-\frac{w}{aq}\right)\left(1-\frac{a^2q}{w}\right)\\ &=\frac{(1-a^2q/w)(a^2q^{n+2}/w;q)_{n-1}(w/aq;q)_n}{(wq^{n+1};q)_{n-1}(a/w;q)_{n}} \end{align}
となって示される.

定理1の証明

Bressoudの反転公式より,
\begin{align} \alpha_n'&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{k=0}^n\frac{1-a^2q^{2k+1}/w}{1-a^2q/w}\frac{(w/aq;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(a^2q^2/w;q)_{n+k}}\left(\frac{aq}{w}\right)^{n-k}\beta_k' \end{align}
を示せばよい. 右辺は
\begin{align} &\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{k=0}^n\frac{1-a^2q^{2k+1}/w}{1-a^2q/w}\frac{(w/aq;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(a^2q^2/w;q)_{n+k}}\left(\frac{aq}{w}\right)^{n-k}\beta_k'\\ &=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{k=0}^n\frac{1-a^2q^{2k+1}/w}{1-a^2q/w}\frac{(w/aq;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(a^2q^2/w;q)_{n+k}}\left(\frac{aq}{w}\right)^{n-k}\sum_{j=0}^k\frac{(a^2q/w^2;q)_{k-j}}{(q;q)_{k-j}}\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^j\\ &=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{j=0}^n\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^j\beta_j\sum_{k=j}^n\frac{1-a^2q^{2k+1}/w}{1-a^2q/w}\frac{(w/aq;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(a^2q^2/w;q)_{n+k}}\left(\frac{aq}{w}\right)^{n-k}\frac{(a^2q/w^2;q)_{k-j}}{(q;q)_{k-j}}\\ &=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{j=0}^n\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^j\beta_j\sum_{k=0}^{n-j}\frac{1-a^2q^{2k+2j+1}/w}{1-a^2q/w}\frac{(w/aq;q)_{n-j-k}(a;q)_{n+j+k}}{(q;q)_{n-j-k}(a^2q^2/w;q)_{n+j+k}}\left(\frac{aq}{w}\right)^{n-j-k}\frac{(a^2q/w^2;q)_{k}}{(q;q)_{k}}\\ &=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^n\sum_{j=0}^n\frac{1}{1-a^2q/w}\frac{(w/aq;q)_{n-j}(a;q)_{n+j}}{(q;q)_{n-j}(a^2q^2/w;q)_{n+j}}\left(\frac{w}{a}\right)^{n-j}\beta_j\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(1-a^2q^{2k+2j+1}/w)(q^{j-n},aq^{n+j},a^2q/w^2;q)_{k}}{(aq^{2+j-n}/w,a^2q^{n+j+2}/w,q;q)_{k}}q^k \end{align}
ここで, 補題2を用いれば,
\begin{align} &\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(1-a^2q^{2k+2j+1}/w)(q^{j-n},aq^{n+j},a^2q/w^2;q)_{k}}{(aq^{2+j-n}/w,a^2q^{n+j+2}/w,q;q)_{k}}q^k\\ &=\frac{(1-wq^{2j})(wq^{n+j+1};q)_{n-j-1}(a/w;q)_{n-j}}{(a^2q^{n+j+2}/w;q)_{n-j-1}(w/aq;q)_{n-j}} \end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align} &\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^n\sum_{j=0}^n\frac{1}{1-a^2q/w}\frac{(w/aq;q)_{n-j}(a;q)_{n+j}}{(q;q)_{n-j}(a^2q^2/w;q)_{n+j}}\left(\frac{w}{a}\right)^{n-j}\beta_j\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(1-a^2q^{2k+2j+1}/w)(q^{j-n},aq^{n+j},a^2q/w^2;q)_{k}}{(aq^{2+j-n}/w,a^2q^{n+j+2}/w,q;q)_{k}}q^k\\ &=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^n\sum_{j=0}^n\frac{1}{1-a^2q/w}\frac{(w/aq;q)_{n-j}(a;q)_{n+j}}{(q;q)_{n-j}(a^2q^2/w;q)_{n+j}}\left(\frac{w}{a}\right)^{n-j}\beta_j\\ &\qquad\cdot\frac{(1-wq^{2j})(wq^{n+j+1};q)_{n-j-1}(a/w;q)_{n-j}}{(a^2q^{n+j+2}/w;q)_{n-j-1}(w/aq;q)_{n-j}}\\ &=\frac{(w;q)_{2n}}{(a^2q/w;q)_{2n}}\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{j=0}^n\frac{1-wq^{2j}}{1-w}\frac{(a;q)_{n+j}(a/w;q)_{n-j}}{(q;q)_{n-j}(wq;q)_{n+j}}\left(\frac{w}{a}\right)^{n-j}\beta_j\\ &=\frac{(w;q)_{2n}}{(a^2q/w;q)_{2n}}\left(\frac{a^2q}{w^2}\right)^n\alpha_n \end{align}
となって, 示すべきことが得られた.

定理1は, 二回適用すると元のWP-Bailey対に戻るという性質がある.

定理1から得られるWP-Baileyの例として, 定理1において, $\beta_n=\delta_{n,0}$とすることによって,
\begin{align} \alpha_n'&:=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,a/w;q)_n}{(wq,q;q)_n}\frac{(w;q)_{2n}}{(a^2q/w;q)_{2n}}\left(\frac{aq}{w}\right)^n\\ \beta_n'&:=\frac{(a^2q/w^2;q)_{n}}{(q;q)_{n}} \end{align}
が$(a,a^2q/w)$に関するWP-Bailey対であることが分かる.