極座標ラプラシアンの割とラクな計算法

はじめに

2次元ラプラシアンの極座標表示を，普通の方法の範囲で，少し工夫して計算してみます．
追記）この手法は2次元のものですが，より高次元のラプラシアンも計算したくなったので， 別記事 に書きなぐっておきます．
※以降の微分演算子は，適当な関数（2回微分可能くらい）への作用を考えるものとし，関数の方は省略しています．

2次元極座標ラプラシアンの計算

（直交座標の）ラプラシアン$\frac{\partial^2} {\partial{x}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{y}^2}$を，極座標変換$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$のもとで書きかえます．
$$ \frac{\partial{x}}{\partial{r}}=\frac{x}{r}, \frac{\partial{y}}{\partial{r}}=\frac{y}{r}, \frac{\partial{x}}{\partial{\theta}}=-y, \frac{\partial{y}}{\partial{\theta}}=x $$
に注意すると，chain ruleより
$$ r\frac{\partial}{\partial{r}} = x\frac{\partial}{\partial{x}} + y\frac{\partial}{\partial{y}} \quad \cdots (1) $$
$$ \frac{\partial}{\partial{\theta}} = -y\frac{\partial}{\partial{x}} + x\frac{\partial}{\partial{y}} \quad \cdots (2) $$
がわかります．何となく2乗してみましょう．(1)の2乗は
\begin{align} r\frac{\partial}{\partial{r}} (r\frac{\partial}{\partial{r}}) &=(x\frac{\partial}{\partial{x}} + y\frac{\partial}{\partial{y}}) (x\frac{\partial}{\partial{x}} + y\frac{\partial}{\partial{y}}) \\ &= x\frac{\partial}{\partial{x}} + x^2\frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + xy\frac{\partial^2}{\partial{xy}} + xy\frac{\partial^2}{\partial{yx}} + y\frac{\partial}{\partial{y}} + y^2\frac{\partial^2}{\partial{y^2}} \end{align}
で、(2)の2乗は
\begin{align} \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}} &= (-y\frac{\partial}{\partial{x}} + x\frac{\partial}{\partial{y}})(-y\frac{\partial}{\partial{x}} + x\frac{\partial}{\partial{y}}) \\ &= y^2\frac{\partial}{\partial{x^2}} - y(\frac{\partial}{\partial{y}} + x\frac{\partial^2}{\partial{xy}}) + x(-\frac{\partial}{\partial{x}} - y\frac{\partial^2}{\partial{yx}}) + x^2\frac{\partial}{\partial{y^2}} \end{align}
です．何だか消えそうな項が多いので辺々足すと，$r^2=x^2+y^2$に注意して
\begin{align} r^2\frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + r^2\frac{\partial^2}{\partial{y^2}} &= r\frac{\partial}{\partial{r}} (r\frac{\partial}{\partial{r}}) + \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}} \\ &= r^2\frac{\partial^2}{\partial{r^2}} + r\frac{\partial}{\partial{r}} + \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}} \end{align}
となります．あとは両辺$1/r^2$倍すれば，
$$ \frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{y^2}} = \frac{\partial^2}{\partial{r^2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}} $$
が得られ，2次元のラプラシアンを極座標で書くことができました！

おわりに

(1)，(2)の形が結構キレイなので，計算がスムーズにいっている印象を受けます．あと，逆変換の計算などの前処理が必要ないのも推しポイントです．
偏微分を習いたての人などには，飛び道具を使わず，かつ計算ミスが起こりにくい方法として，お勧めできると思います！