極座標ラプラシアンの割とラクな計算法

はじめに

2次元ラプラシアンの極座標表示を，普通の方法の範囲で，少し工夫して計算してみます．
追記）この手法は2次元のものですが，より高次元のラプラシアンも計算したくなったので， 別記事 に書きなぐっておきます．
※以降の微分演算子は，適当な関数（2回微分可能くらい）への作用を考えるものとし，関数の方は省略しています．

2次元極座標ラプラシアンの計算

（直交座標の）ラプラシアン$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$を，極座標変換$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$のもとで書きかえます．
$$\frac{\partial x}{\partial r}=\frac{x}{r},\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{y}{r},\frac{\partial x}{\partial \theta }=-y,\frac{\partial y}{\partial \theta }=x$$
に注意すると，chain ruleより
$$r\frac{\partial }{\partial r}=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\cdots (1)$$
$$\frac{\partial }{\partial \theta }=-y\frac{\partial }{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial y}\cdots (2)$$
がわかります．何となく2乗してみましょう．(1)の2乗は
$$\begin{array}{rl}r\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r})& =(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y})(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y})\\ & =x\frac{\partial }{\partial x}+x^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+xy\frac{{\partial }^2}{\partial xy}+xy\frac{{\partial }^2}{\partial yx}+y\frac{\partial }{\partial y}+y^2\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\end{array}$$
で、(2)の2乗は
$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}& =(-y\frac{\partial }{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial y})(-y\frac{\partial }{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial y})\\ & =y^2\frac{\partial }{\partial x^2}-y(\frac{\partial }{\partial y}+x\frac{{\partial }^2}{\partial xy})+x(-\frac{\partial }{\partial x}-y\frac{{\partial }^2}{\partial yx})+x^2\frac{\partial }{\partial y^2}\end{array}$$
です．何だか消えそうな項が多いので辺々足すと，$r^2=x^2+y^2$に注意して
$$\begin{array}{rl}{r}^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+r^2\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}& =r\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r})+\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}\\ & =r^2\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+r\frac{\partial }{\partial r}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}\end{array}$$
となります．あとは両辺$1/r^2$倍すれば，
$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}$$
が得られ，2次元のラプラシアンを極座標で書くことができました！

おわりに

(1)，(2)の形が結構キレイなので，計算がスムーズにいっている印象を受けます．あと，逆変換の計算などの前処理が必要ないのも推しポイントです．
偏微分を習いたての人などには，飛び道具を使わず，かつ計算ミスが起こりにくい方法として，お勧めできると思います！