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極座標ラプラシアンの割とラクな計算法

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はじめに

2次元ラプラシアンの極座標表示を,普通の方法の範囲で,少し工夫して計算してみます.
追記)この手法は2次元のものですが,より高次元のラプラシアンも計算したくなったので, 別記事 に書きなぐっておきます.
※以降の微分演算子は,適当な関数(2回微分可能くらい)への作用を考えるものとし,関数の方は省略しています.

2次元極座標ラプラシアンの計算

(直交座標の)ラプラシアン$\frac{\partial^2} {\partial{x}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{y}^2}$を,極座標変換$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$のもとで書きかえます.
$$ \frac{\partial{x}}{\partial{r}}=\frac{x}{r}, \frac{\partial{y}}{\partial{r}}=\frac{y}{r}, \frac{\partial{x}}{\partial{\theta}}=-y, \frac{\partial{y}}{\partial{\theta}}=x $$
に注意すると,chain ruleより
$$ r\frac{\partial}{\partial{r}} = x\frac{\partial}{\partial{x}} + y\frac{\partial}{\partial{y}} \quad \cdots (1) $$
$$ \frac{\partial}{\partial{\theta}} = -y\frac{\partial}{\partial{x}} + x\frac{\partial}{\partial{y}} \quad \cdots (2) $$
がわかります.何となく2乗してみましょう.(1)の2乗は
\begin{align} r\frac{\partial}{\partial{r}} (r\frac{\partial}{\partial{r}}) &=(x\frac{\partial}{\partial{x}} + y\frac{\partial}{\partial{y}}) (x\frac{\partial}{\partial{x}} + y\frac{\partial}{\partial{y}}) \\ &= x\frac{\partial}{\partial{x}} + x^2\frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + xy\frac{\partial^2}{\partial{xy}} + xy\frac{\partial^2}{\partial{yx}} + y\frac{\partial}{\partial{y}} + y^2\frac{\partial^2}{\partial{y^2}} \end{align}
で、(2)の2乗は
\begin{align} \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}} &= (-y\frac{\partial}{\partial{x}} + x\frac{\partial}{\partial{y}})(-y\frac{\partial}{\partial{x}} + x\frac{\partial}{\partial{y}}) \\ &= y^2\frac{\partial}{\partial{x^2}} - y(\frac{\partial}{\partial{y}} + x\frac{\partial^2}{\partial{xy}}) + x(-\frac{\partial}{\partial{x}} - y\frac{\partial^2}{\partial{yx}}) + x^2\frac{\partial}{\partial{y^2}} \end{align}
です.何だか消えそうな項が多いので辺々足すと,$r^2=x^2+y^2$に注意して
\begin{align} r^2\frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + r^2\frac{\partial^2}{\partial{y^2}} &= r\frac{\partial}{\partial{r}} (r\frac{\partial}{\partial{r}}) + \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}} \\ &= r^2\frac{\partial^2}{\partial{r^2}} + r\frac{\partial}{\partial{r}} + \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}} \end{align}
となります.あとは両辺$1/r^2$倍すれば,
$$ \frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{y^2}} = \frac{\partial^2}{\partial{r^2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}} $$
が得られ,2次元のラプラシアンを極座標で書くことができました!

おわりに

(1),(2)の形が結構キレイなので,計算がスムーズにいっている印象を受けます.あと,逆変換の計算などの前処理が必要ないのも推しポイントです.
偏微分を習いたての人などには,飛び道具を使わず,かつ計算ミスが起こりにくい方法として,お勧めできると思います!

投稿日:15
更新日:17

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