2次元ラプラシアンの極座標表示を,普通の方法の範囲で,少し工夫して計算してみます.
追記)この手法は2次元のものですが,より高次元のラプラシアンも計算したくなったので,
別記事
に書きなぐっておきます.
※以降の微分演算子は,適当な関数(2回微分可能くらい)への作用を考えるものとし,関数の方は省略しています.
(直交座標の)ラプラシアン$\frac{\partial^2}
{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{y}^2}$を,極座標変換$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$のもとで書きかえます.
$$
\frac{\partial{x}}{\partial{r}}=\frac{x}{r},
\frac{\partial{y}}{\partial{r}}=\frac{y}{r},
\frac{\partial{x}}{\partial{\theta}}=-y,
\frac{\partial{y}}{\partial{\theta}}=x
$$
に注意すると,chain ruleより
$$
r\frac{\partial}{\partial{r}}
= x\frac{\partial}{\partial{x}}
+ y\frac{\partial}{\partial{y}}
\quad \cdots (1)
$$
$$
\frac{\partial}{\partial{\theta}}
= -y\frac{\partial}{\partial{x}}
+ x\frac{\partial}{\partial{y}}
\quad \cdots (2)
$$
がわかります.何となく2乗してみましょう.(1)の2乗は
\begin{align}
r\frac{\partial}{\partial{r}} (r\frac{\partial}{\partial{r}})
&=(x\frac{\partial}{\partial{x}}
+ y\frac{\partial}{\partial{y}}) (x\frac{\partial}{\partial{x}}
+ y\frac{\partial}{\partial{y}})
\\
&= x\frac{\partial}{\partial{x}}
+ x^2\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}
+ xy\frac{\partial^2}{\partial{xy}}
+ xy\frac{\partial^2}{\partial{yx}}
+ y\frac{\partial}{\partial{y}}
+ y^2\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}
\end{align}
で、(2)の2乗は
\begin{align}
\frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}}
&= (-y\frac{\partial}{\partial{x}}
+ x\frac{\partial}{\partial{y}})(-y\frac{\partial}{\partial{x}}
+ x\frac{\partial}{\partial{y}})
\\
&= y^2\frac{\partial}{\partial{x^2}}
- y(\frac{\partial}{\partial{y}} + x\frac{\partial^2}{\partial{xy}})
+ x(-\frac{\partial}{\partial{x}} - y\frac{\partial^2}{\partial{yx}})
+ x^2\frac{\partial}{\partial{y^2}}
\end{align}
です.何だか消えそうな項が多いので辺々足すと,$r^2=x^2+y^2$に注意して
\begin{align}
r^2\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}
+ r^2\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}
&= r\frac{\partial}{\partial{r}} (r\frac{\partial}{\partial{r}})
+ \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}}
\\
&= r^2\frac{\partial^2}{\partial{r^2}}
+ r\frac{\partial}{\partial{r}}
+ \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}}
\end{align}
となります.あとは両辺$1/r^2$倍すれば,
$$
\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}
+ \frac{\partial^2}{\partial{y^2}}
= \frac{\partial^2}{\partial{r^2}}
+ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}}
+ \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial{\theta^2}}
$$
が得られ,2次元のラプラシアンを極座標で書くことができました!
(1),(2)の形が結構キレイなので,計算がスムーズにいっている印象を受けます.あと,逆変換の計算などの前処理が必要ないのも推しポイントです.
偏微分を習いたての人などには,飛び道具を使わず,かつ計算ミスが起こりにくい方法として,お勧めできると思います!