ラマヌジャン総和法1：ラマヌジャン定数
はじめに
この記事では 前回の記事 に引き続きラマヌジャンの総和法について勉強していきます。
オイラー・マクローリンの和公式
まずラマヌジャン総和法の発想の大元であるオイラー・マクローリンの和公式について解説しておきます。
$$\frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n(x)}{n!}t^n$$
によって定まる多項式$B_n(x)$のことをベルヌーイ多項式と言う。
ベルヌーイ多項式は
$$\frac{t}{e^t-1}=\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n}{n!}t^n$$
によって定まるベルヌーイ数$B_n$を用いて
$$B_n(x)=\sum^n_{k=0}\binom nkB_{n-k}x^k$$
と表せる。
\begin{align}
\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n(x)}{n!}t^n
&=\frac{t}{e^t-1}\cdot e^{xt}\\
&=\l(\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n}{n!}t^n\r)\l(\sum^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!}t^n\r)\\
&=\sum^\infty_{n=0}\l(\sum^n_{k=0}\binom nkB_{n-k}x^k\r)\frac{t^n}{n!}
\end{align}
とわかる。
$$\frac{d}{dx}\frac{B_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}$$
\begin{align}
\frac{d}{dx}\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n(x)}{n!}x^n
&=\frac{t(xe^{xt})}{e^t-1}\\
&=\sum^\infty_{n=1}\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}x^n
\end{align}
とわかる。
$n\neq1$において$B_n(0)=B_n(1)=B_n$が成り立つ。
$$\frac{t}{e^t-1}=\frac{te^t}{e^t-1}-t=\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n}{n!}t^n$$
に注意するとわかる。
$3$以上の奇数$n$に対して$B_n=0$が成り立つ。
$$F(t)=\frac{t}{e^t-1}+\frac t2=1+\sum^\infty_{n=2}\frac{B_n}{n!}t^n$$
とおくと
$$F(t)=\frac t2\frac{e^t+1}{e^t-1}$$
より$F(-t)=F(t)$が成り立つので
$$F(t)=\frac{F(t)+F(-t)}2=\sum^\infty_{n=0}\frac{B_{2n}}{(2n)!}t^n$$
と奇数項は$0$となることがわかる。
$f$を$m$階微分可能な関数とすると
\begin{align}
\sum^n_{k=1}f(k)
=\int^n_0f(x)dx+\frac{f(n)-f(0)}2
&+\sum^m_{k=2}\frac{(-1)^kB_k}{k!}(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0))\\
&+(-1)^{m+1}\int^n_0\frac{B_m(x-\lfloor x\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx
\end{align}
が成り立つ。特に$m\mapsto 2m+1$とすると
\begin{align}
\sum^n_{k=1}f(k)
=\int^n_0f(x)dx+\frac{f(n)-f(0)}2
&+\sum^m_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0))\\
&+\int^n_0\frac{B_{2m+1}(x-\lfloor x\rfloor)}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(x)dx
\end{align}
と表せる。
以下$x$の小数部分を$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$と表す。
$m=1$の場合は$B_0(x)=1$および
$$B_1(0)=-\frac12,\quad B_1(1)=\frac12$$
に注意すると
\begin{align}
\int^n_0f(n)dx
&=\int^n_0B_0(\{x\})f(n)dx\\
&=\sum^{n-1}_{k=0}\l[B_1(x)f^{(m-1)}(x+k)\r]^1_0-\int^n_0B_1(\{x\})f^{(m)}(x)dx\\
&=\frac12\sum^{n-1}_{k=0}(f(k+1)+f(k))-\int^n_0B_1(\{x\})f^{(m)}(x)dx\\
&=\sum^n_{k=1}f(k)-\frac{f(n)-f(0)}2-\int^n_0B_1(\{x\})f^{(m)}(x)dx
\end{align}
より
$$\sum^n_{k=1}f(k)=\int^n_0f(n)dx+\frac{f(n)-f(0)}2+\int^n_0B_1(\{x\})f^{(m)}(x)dx$$
とわかる。
また$m\geq2$において
\begin{align}
\int^n_0\frac{B_{m-1}(\{x\})}{(m-1)!}f^{(m-1)}(x)dx
&=\sum^{n-1}_{k=0}\l[\frac{B_m(x)}{m!}f^{(m-1)}(x+k)\r]^1_0-\int^n_0\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)dx\\
&=\frac{B_m}{m!}\sum^{n-1}_{k=0}(f^{(m)}(k+1)-f^{(m)}(k))-\int^n_0\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)dx\\
&=\frac{B_m}{m!}(f^{(m)}(n)-f^{(m)}(0))-\int^n_0\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)dx\\
\end{align}
に注意すると数学的帰納法によりわかる。
\begin{align} \sum^b_{k=a+1}f(k) =\int^b_af(x)dx+\frac{f(b)-f(a)}2 &+\sum^m_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a))\\ &+\int^b_a\frac{B_{2m+1}(x-\lfloor x\rfloor)}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(x)dx \end{align}
なお
\begin{alignat}{3}
&&\sum^b_{k=a+1}f(k)&-\frac{f(b)-f(a)}2\\
={}&&\sum^b_{k=a}f(k)&-\frac{f(b)+f(a)}2\\
={}&&\sum^{b-1}_{k=a}f(k)&+\frac{f(b)-f(a)}2\\
={}&&\sum^{b-1}_{k=a+1}f(k)&+\frac{f(b)+f(a)}2
\end{alignat}
のように変形できることにも注意しましょう。
ラマヌジャン定数
いま$m\to\infty$において
$$\int^n_0\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)dx\to0$$
となると仮定すると
$$\sum^n_{k=1}f(k)=C+\int^n_0f(x)dx+\frac{f(n)}2
+\sum^\infty_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(n)$$
ただし
$$C=-\frac{f(0)}2-\sum^\infty_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)
=:\sum^{\mathfrak R}_{n\geq1}f(n)$$
が成り立ちます。この$C$のことをラマヌジャンは「級数$\sum f(n)$の定数(constant)」と呼んでおり、これがいわゆるラマヌジャンの総和法となります。
なぜ唐突にこのような(わけのわからない)定数を考えるのか、ということについてはよくわかりません。ラマヌジャンの考えたことですから。しかし下で考察するようにこの定数は適当に変形していくことによって比較的綺麗な定義を与えることもできます。
例えば非負整数$k$に対して$f(x)=x^k$とおくと
$$f^{(j)}(0)=\l\{\begin{array}{cl}
0&j\neq k\\
k!&j=k
\end{array}\r.$$
より
$$\sum^{\mathfrak R}_{n\geq1}n^k=(-1)^k\frac{B_{k+1}}{k+1}=\z(-k)$$
が成り立ちます。あの定義からこのような結果が出てくるのは中々非自明で興味深いですね。
今回の記事ではまずこの定数の定義とその性質について解説していこうと思います。
Hardyによる定義
まず上の仮定
$$\int^n_0\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)dx\to0\quad(m\to\infty)$$
をもう少し扱いやすくするため次のような式を考えます。
ある$M$より先の任意の$m$に対し
$$\int^\infty_0B_{2m+1}(\{x\})f^{(2m+1)}(x)dx$$
が収束するとき$m\geq M$において
$$C_0(f)=-\frac{f(0)}2-\sum^m_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)+\int^\infty_0\frac{B_{2m+1}(\{x\})}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(x)dx$$
は$m$に依らない定数となる。これを$f$のラマヌジャン定数またはオイラー・マクローリン定数と言う。
ただ今後$f(0)$が定義できないような関数もしばしば考えるので以降では主に次によって定まるラマヌジャン和について考察していきます。
ある$M$より先の任意の$m$に対し
$$\int^\infty_1B_{2m+1}(\{x\})f^{(2m+1)}(x)dx$$
が収束するとき$m\geq M$において
$$C_1(f)=\frac{f(1)}2-\sum^m_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(1)+\int^\infty_1\frac{B_{2m+1}(\{x\})}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(x)dx$$
は$m$に依らない定数となる。以降ではこのラマヌジャン定数を級数$\sum f(n)$のラマヌジャン和と言い
$$C_1(f)=\sum^{\mc R}_{n\geq1}f(n)$$
と表す。
このときオイラー・マクローリンの和公式から
\begin{align}
\sum^n_{k=1}f(k)
=C_0+\int^n_0f(x)dx
&+\frac{f(n)}2+\sum^m_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(n)\\
&-\int^\infty_n\frac{B_{2m+1}(\{x\})}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(x)dx\\
=C_1+\int^n_1f(x)dx
&+\frac{f(n)}2+\sum^m_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(n)\\
&-\int^\infty_n\frac{B_{2m+1}(\{x\})}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(x)dx
\end{align}
が成り立つことに注意しましょう。
またこのことから上で定めた二つの定数$C_0,C_1$の間には以下の関係が成り立ちます。
$$C_1(f)=C_0(f)+\int^1_0f(x)dx$$
簡単な性質
$$\sum^\R_{n\geq1}f(n)=\sum^\R_{n\geq1}f(n+1)+f(1)-\int^2_1f(x)dx$$
ラマヌジャン和の定義から
\begin{align}
\sum^\R_{n\geq1}f(n)-\sum^\R_{n\geq1}f(n+1)
=-\frac{f(2)-f(1)}2&+\sum^m_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(2)-f^{(2k-1)}(1))\\
&+\int^2_1\frac{B_{2m+1}(\{x\})}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(x)dx
\end{align}
が成り立つのでオイラー・マクローリンの和公式より
\begin{align}
\sum^\R_{n\geq1}f(n)-\sum^\R_{n\geq1}f(n+1)
&=\sum^1_{k=1}f(k)-\int^2_1f(x)dx\\
&=f(1)-\int^2_1f(x)dx
\end{align}
を得る。
$$\int^\infty_1B_{2m+1}(\{x\})f^{(2m+1)}(x)dx$$
が収束するとき
$$\sum^\R_{n\geq1}f(n)=\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}f(k)-\int^n_1f(x)dx-\frac{f(n)}2
-\sum^m_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(n)\r)$$
が成り立つ。
$f$のラマヌジャン和を$C$とおくと
\begin{align}
\sum^n_{k=1}f(k)
=C+\int^n_1f(x)dx
&+\frac{f(n)}2+\sum^m_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(n)\\
&-\int^\infty_n\frac{B_{2m+1}(\{x\})}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(x)dx
\end{align}
が成り立っていたので広義積分の収束性から
$$\lim_{n\to\infty}\int^\infty_n\frac{B_{2m+1}(\{x\})}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(x)dx=0$$
となることに注意するとわかる。
$\sum^\infty_{n=1}f(n),\int^\infty_1f(x)dx$がそれぞれ収束するとき
$$\sum^\R_{n\geq1}f(n)=\sum^\infty_{n=1}f(n)-\int^\infty_1f(x)dx$$
が成り立つ。
オイラー・マクローリンの和公式から
$$\sum^n_{k=1}f(k)-\int^n_1f(x)dx=\frac{f(n)+f(1)}2+\int^n_1B_1(\{x\})f'(x)dx$$
が成り立っていたので級数・積分の収束性から
$$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$$
が成り立つことに注意すると
$$\int^\infty_1B_1(\{x\})f'(x)dx$$
は収束することがわかる。したがって上の命題から主張を得る。
計算例
$\Re(s)>1$において$f(x)=1/x^s$とおくと
\begin{align}
\sum^\R_{n\geq1}\frac1{n^s}
&=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^s}-\int^\infty_1\frac{dx}{x^s}\\
&=\z(s)-\frac1{s-1}
\end{align}
と求まる。また$s=1$のときは
\begin{align}
\sum^\R_{n\geq1}\frac1n
&=\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\frac1k-\int^n_1\frac{dx}x\r)\\
&=\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n\r)\\
&=\g
\end{align}
と求まる(ただし$\g$はオイラー定数とした)。
非負整数$k$に対し$f(x)=x^k$とおくと$C_0(f)=\z(-k)$であったことから
\begin{align}
\sum^\R_{n\geq1}n^k
&=\z(-k)+\int^1_0x^kdx\\
&=\z(-k)+\frac1{k+1}
\end{align}
と求まる。また
\begin{align}
\sum^\R_{n\geq1}(n-1)^k
&=\sum^\R_{n\geq1}n^k-\int^2_1(x-1)^kdx\\
&=\z(-k)
\end{align}
が成り立つ。
$\Re(s)>1$において$f(x)=\log x/x^s$とおくと
\begin{align}
\sum^\R_{n\geq1}\frac{\log n}{n^s}
&=\sum^\infty_{n=1}\frac{\log n}{n^s}-\int^\infty_1\frac{\log x}{x^s}dx\\
&=-\frac{d}{ds}\l(\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^s}-\int^\infty_1\frac{dx}{x^s}\r)\\
&=-\z'(s)-\frac1{(s-1)^2}
\end{align}
と求まる。
$f(x)=\log x$のときはスターリングの公式
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt n}\l(\frac en\r)^n=\sqrt{2\pi}$$
に注意すると
\begin{align}
\sum^\R_{n\geq1}\log n
&=\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\log k-\int^n_1\log x\ dx-\frac12\log n\r)\\
&=\lim_{n\to\infty}\l(\log(n!)-[x(\log x-1)]^n_1-\frac12\log n\r)\\
&=\lim_{n\to\infty}(\log\l(\frac{n!}{\sqrt n}\l(\frac en\r)^n\r)-1)\\
&=\frac12\log2\pi-1\\
&=-\z'(0)-1
\end{align}
と求まる(最後の等号については
この記事
の定理10などを参照されたい)。
同様にグレイシャー・キンケリン定数を経由することで
$$\sum^\R_{n\geq1}n\log n=-\z'(-1)-\frac14$$
なども示せる。
ラマヌジャンによる記述
ちなみにラマヌジャンのノートブックには次のような記述があります。
Notebook 2より
これによるとラマヌジャンは形式的に
$$\phi(x)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(x)$$
と表される関数、つまり関数方程式
$$\phi(x)-\phi(x-1)=f(x)\qquad(\phi(0)=0)$$
の解$\phi(x)$として
$$\phi(x)=C_a(f)+\int^x_a f(t)dt-\sum^\infty_{n=1}\frac{B_n}{n!}f^{(n-1)}(x)$$
というものを考え、この表示における定数項$C_a(f)$のことを級数$\sum f(n)$の定数と呼んでいました。
ここで上の手法に則るとこの定数は
$$C_a(f)=\sum^\R_{n\geq1}f(n)+\int^a_1f(x)dx$$
のように表せますが、ラマヌジャンはこの$a$の取り方については特に言及していません。そして面白いことにこの$a$の取り方によっては
$$C_\infty(f)=\sum^\R_{n\geq1}f(n)+\int^\infty_1f(x)dx=\sum^\infty_{n=1}f(n)$$
と正規性が現れます。ラマヌジャンは別のページにて$\sum 1=-\frac12,\sum n=-\frac1{12}$や「収束級数$\sum^\infty_{n=1}f(n)$に対し対応する定数はその級数の値となる」といった記述を残していますが、それはこのように$f$によって恣意的に$a$を取り替えることで正当化することができます。
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