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連続性は収束点列によって特徴づけられるか？

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はじめに

次の問題について考えてみました：

位相空間 $X, Y$ とそれらの間の写像 $f : X \to Y$ について，次の2条件は同値か？
(i) $f : X \to Y$ は連続である．
(ii) 任意の $X$ の点列 ${x_{n}}_{n}$ と $x \in X$ について， $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ ならば $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (x)$ である．

下にネタバレがあるので考えたい人は注意してください．

なお，一般に位相空間 $X$ の点列 ${x_{n}}_{n}$ が $x \in X$ に収束するとは，「任意の $x$ の開近傍 $U$ に対して $N \in N$ があり，任意の $n \geq N$ に対して $x_{n} \in U$ となる」ことをいいます．このとき $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ などと書くのはいつも通りです．点列に対して収束先は存在することも存在しないこともあり，存在するとしても一意とは限りません．

まず簡単な方から

(i) $⟹$ (ii)は，実はどんな $X, Y, f$ についても成り立ちます．

位相空間 $X, Y$ と写像 $f : X \to Y$ が(i)を満たせば，(ii)も満たす．

$f$ が連続だとしよう． $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ となる $x_{n}, x \in X$ について $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (x)$ を言いたい．そこで $f (x)$ の開近傍 $V$ を取る．このとき $f$ の連続性から $U := f^{- 1} (V)$ は $x$ の開近傍であるから，収束の定義から $N \in N$ があり任意の $n \geq N$ に対して $x_{n} \in U$ ，つまり $f (x_{n}) \in V$ である．これは $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (x)$ であることを示している．

はい．って感じですね．

逆は成り立つか？

成り立つ場合もあります．例えば $Y$ が密着位相の場合ですが，これはつまらないですね． $X$ について条件を課すと成り立つ場合もあります．

問題1の状況で， $X$ が第一可算公理を満たすという仮定の下だと(ii)ならば(i)が成り立つ．

(ii)の仮定の下， $x \in X$ と， $f (x)$ の近傍 $V \subset Y$ を取る．このとき $f^{- 1} (V) \subset X$ が $x$ の近傍であることを言えばよい． $x$ の可算な基本近傍系 $N = {N_{n}}_{n}$ を取る．必要ならば ${N_{1} \cap \dots \cap N_{n}}_{n}$ を考えることで $N$ は単調非増加だとしてよい． $f^{- 1} (V)$ が $x$ の近傍ではないと仮定する．すると任意の $n \in N$ に対して $x_{n} \in X$ があり， $x_{n} \in N_{n}$ かつ $x_{n} \notin f^{- 1} (V)$ となる．このとき $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ である．実際， $U$ を $x$ の開近傍とするとき $n_{0} \in N$ があり $N_{n_{0}} \subset U$ となるが， $N$ は単調非増加なので任意の $n \geq n_{0}$ に対して $x_{n} \in N_{n} \subset U$ である．よって(ii)の仮定から $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (x)$ である．一方， $x_{n}$ の取り方から $x_{n} \notin f^{- 1} (V) (\forall n)$ であることに矛盾する．よって $f^{- 1} (V) \subset X$ は $x$ の近傍である．

以上より $f$ は連続である．

とくに $X$ が距離空間だったりすると成り立ちますね(距離空間の場合は割とよく知られた事実だと思います)．

では本題の反例構成に入ります．

(ii)を満たし，かつ(i)を満たさないような $X, Y, f$ が存在する．

$X, Y$ は集合としては同じ非可算集合を取り， $Y$ には離散位相を入れる．また， $X$ には
${X} \cup {A \subset X ∣ A は高々可算}$
を閉集合系とする位相を入れる(これが位相になることは容易)． $f : X \to Y$ を恒等写像とするとき， $Y$ は $X$ より真に強い位相なので(ここで非可算性の仮定を使った)， $f$ は連続ではない．以下 $f : X \to Y$ が(i)を満たすことを示す．まず， $X$ の点列 ${x_{n}}_{n}$ と $x \in X$ について次が同値であることを示す．

(a) $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ ．
(b) $N \in N$ があり任意の $n \geq N$ に対し $x_{n} = x$ ．

(b) $⟹$ (a)は明らか．逆に(a)を仮定する． $A := {x_{n} ∣ n \in N}$ は高々可算集合なので， $U := {x} \cup (R ∖ A)$ は $x$ の開近傍である．よって $N \in N$ があり任意の $n \geq N$ に対して $x_{n} \in U$ となるので $x_{n} = x (n \geq N)$ となるしかない．

以上より(a)と(b)は同値である．したがって $X$ の点列 ${x_{n}}_{n}$ と $x \in X$ について $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ ならば，(b)が成り立つので $Y$ の位相においても $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = lim_{n \to \infty} x_{n} = x = f (x)$ となる．したがって $f$ は(ii)を満たす．