連続性は収束点列によって特徴づけられるか？

$f$が連続だとしよう．$\lim_{n\to \infty}x_n=x$となる$x_n,x\in X$について$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$を言いたい．そこで$f(x)$の開近傍$V$を取る．このとき$f$の連続性から$U:=f^{-1}(V)$は$x$の開近傍であるから，収束の定義から$N\in\mathbb{N}$があり任意の$n\geq N$に対して$x_n\in U$，つまり$f(x_n)\in V$である．これは$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f( x)$であることを示している．

(ii)の仮定の下，$x\in X$と，$f(x)$の近傍$V\subset Y$を取る．このとき$f^{-1}(V)\subset X$が$x$の近傍であることを言えばよい．$x$の可算な基本近傍系$\mathcal{N}=\{N_n\}_n$を取る．必要ならば$\{N_1\cap \cdots \cap N_n\}_n$を考えることで$\mathcal{N}$は単調非増加だとしてよい．$f^{-1}(V)$が$x$の近傍ではないと仮定する．すると任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$x_n\in X$があり，$x_n\in N_n$かつ$x_n\notin f^{-1}(V)$となる．このとき$\lim_{n\to \infty}x_n=x$である．実際，$U$を$x$の開近傍とするとき$n_0\in\mathbb{N}$があり$N_{n_0}\subset U$となるが，$\mathcal{N}$は単調非増加なので任意の$n\geq n_0$に対して$x_n\in N_n\subset U$である．よって(ii)の仮定から$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$である．一方，$x_n$の取り方から$x_n\notin f^{-1}(V)\ (\forall n)$であることに矛盾する．よって$f^{-1}(V)\subset X$は$x$の近傍である．

以上より$f$は連続である．

$X,Y$は集合としては同じ非可算集合を取り，$Y$には離散位相を入れる．また，$X$には
\begin{equation} \{X\}\cup\{A\subset X\mid \text{$A$は高々可算}\} \end{equation}
を閉集合系とする位相を入れる(これが位相になることは容易)．$f:X\to Y$を恒等写像とするとき，$Y$は$X$より真に強い位相なので(ここで非可算性の仮定を使った)，$f$は連続ではない．以下$f:X\to Y$が(i)を満たすことを示す．まず，$X$の点列$\{x_n\}_n$と$x\in X$について次が同値であることを示す．

(a) $\lim_{n\to\infty}x_n=x$．
(b) $N\in\mathbb{N}$があり任意の$n\geq N$に対し$x_n=x$．

(b)$\Longrightarrow$(a)は明らか．逆に(a)を仮定する．$A:=\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$は高々可算集合なので，$U:=\{x\}\cup (\mathbb{R}\setminus A)$は$x$の開近傍である．よって$N\in\mathbb{N}$があり任意の$n\geq N$に対して$x_n\in U$となるので$x_n=x\ (n\geq N)$となるしかない．

以上より(a)と(b)は同値である．したがって$X$の点列$\{x_n\}_n$と$x\in X$について$\lim_{n\to\infty}x_n=x$ならば，(b)が成り立つので$Y$の位相においても$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to \infty}x_n=x=f(x)$となる．したがって$f$は(ii)を満たす．