符号についての覚書

$\sigma \in S_n$とする．
$\mathrm{\Delta }\supset \mathrm{RHS}$は明らかである．
$(k,\ell )\in \mathrm{\Delta }$とする．$\sigma :[n]\to [n]$は全単射なので$i,j\in [n]$であって$(k,\ell )=(\sigma (i),\sigma (j))$となるものが存在する．$k<\ell$より$i\ne j$であるから$(k,\ell )\in \mathrm{RHS}$が成り立つ．

$\sigma ,\tau \in S_n$とする．
このとき，補題1より
$$\begin{array}{rl}\prod _{(i,j)\in \mathrm{\Delta }}\frac{\tau (\sigma (i))-\tau (\sigma (j))}{\sigma (i)-\sigma (j)}& =\prod _{\begin{array}{c}(i,j)\in \mathrm{\Delta }\\ \sigma (i)<\sigma (j)\end{array}}\frac{\tau (\sigma (i))-\tau (\sigma (j))}{\sigma (i)-\sigma (j)}\times \prod _{\begin{array}{c}(i,j)\in \mathrm{\Delta }\\ \sigma (i)>\sigma (j)\end{array}}\frac{\tau (\sigma (j))-\tau (\sigma (i))}{\sigma (j)-\sigma (i)}\\ & =\prod _{(k,\ell )\in \mathrm{\Delta }}\frac{\tau (k)-\tau (\ell )}{k-\ell }\\ & =\mathrm{sgn}(\tau )\end{array}$$
が成り立つ．

明らかに$\mathrm{sgn}(\mathrm{id})=1,\mathrm{sgn}((12))=-1$であるから$\mathrm{sgn}$は全射である．

$\sigma ,\tau \in S_n$とする．このとき
$$\begin{array}{rl}\mathrm{sgn}(\sigma \tau )& =\prod _{(i,j)\in \mathrm{\Delta }}\frac{\sigma \tau (i)-\sigma \tau (j)}{i-j}\\ & =\prod _{(i,j)\in \mathrm{\Delta }}\frac{\sigma (i)-\sigma (j)}{i-j}\times \frac{\tau (\sigma (i))-\tau (\sigma (j))}{\sigma (i)-\sigma (j)}\\ & =\prod _{(i,j)\in \mathrm{\Delta }}\frac{\sigma (i)-\sigma (j)}{i-j}\times \prod _{(i,j)\in \mathrm{\Delta }}\frac{\tau (\sigma (i))-\tau (\sigma (j))}{\sigma (i)-\sigma (j)}\\ & =\mathrm{sgn}(\sigma )\mathrm{sgn}(\tau )\end{array}$$
が成り立つ．

一般に，長さ$\ell$の巡換は$\ell -1$個の互換の積で書ける．実際
$$(x_1\cdots x_{\ell })=(x_1{x}_2)(x_1{x}_3)\cdots (x_1{x}_{\ell })$$
が成り立つことが容易に確かめられる．
よって$\sigma$は
$$\sum (a_i-1)=(\sum a_i)-m=n-m$$
個の互換の積で書ける．互換の符号は$-1$である（ことが容易にわかる）から
$$\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{n-m}$$
が成り立つ．
また，$\sigma$が長さ$\ell$の巡換のとき，
$$n=\sum a_i=(m-1)+\ell$$
より$\ell -1=n-m$となるので
$$\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{\ell -1}$$
が成り立つ．

$e=\mathrm{\#}\{i\in [m]|a_i\equiv 0(\mathrm{mod}2)\}$とおく．このとき
$$n=\sum a_i=e\text{個の偶数}+(m-e)\text{個の奇数}$$
となるので$n-m\equiv e(\mathrm{mod}2)$が成り立つ．