$n \in \mathbb{Z}_{\ge 2}$とする．$[n] := \{1,\ldots,n\}$とおく．全単射$\sigma \colon [n] \to [n]$全体のなす集合を$S_{n}$とおく．
$\sigma,\tau \in S_{n}$に対して，$\sigma\tau \in S_{n}$を
$$\sigma\tau(i) = \tau(\sigma(i))$$
で定める．このとき$(\sigma,\tau) \mapsto \sigma\tau$を積として$S_{n}$は群となる．これを$n$次対称群という．
$\sigma \in S_{n}$とする．部分群$\langle \sigma \rangle$による$[n]$への作用に関する$[n]$の軌道分解を
$$[n] = X_{1} \sqcup \cdots \sqcup X_{m}$$
とする．このとき，軌道の長さ$\vert X_{1} \vert,\ldots,\vert X_{m}\vert$を大きくない順に並べてできる整数列$(a_{1},\ldots,a_{m}) \in \mathbb{Z}^{m}$を$\sigma$の型という．必要なら添字を付け替えることで$\vert X_{i}\vert = a_{i}$としてよい．各$i \in [m]$に対して
$$X_{i} = \{x_{i,1},\ldots,x_{i,a_{i}}\},\
x_{i,1} \xmapsto{\sigma} x_{i,2} \xmapsto{\sigma} \cdots \xmapsto{\sigma} x_{i,a_{i}} \xmapsto{\sigma} x_{i,1}$$
とおいたとき，
$$ \sigma = (x_{1,1} \cdots x_{1,a_{1}}) \cdots (x_{m,1} \cdots x_{m,a_{m}})
$$
と書いて，これを置換$\sigma$の巡換分解という．
型が$(1,\ldots,1,\ell)$であるような置換$\sigma \in S_{n}$を巡換，巡回置換などといい，$\ell$をその長さという．長さが$2$の巡換をとくに互換という．
$\Delta_{} = \{(i,j) \in [n] \times [n]\ |\ i < j\}$とおく．
任意の$\sigma \in S_{n}$に対して
$$
\Delta = \{(\sigma(i),\sigma(j))\ |\ (i,j) \in \Delta,\ \sigma(i)<\sigma(j)\}
\sqcup \{(\sigma(j),\sigma(i))\ |\ (i,j) \in \Delta,\ \sigma(i)>\sigma(j)\}
$$
が成り立つ．
$\sigma \in S_{n}$とする．
$\Delta \supset \mathrm{RHS}$は明らかである．
$(k,\ell) \in \Delta$とする．$\sigma \colon [n] \to [n]$は全単射なので$i,j \in [n]$であって$(k,\ell) = (\sigma(i),\sigma(j))$となるものが存在する．$k < \ell$より$i \neq j$であるから$(k,\ell) \in \mathrm{RHS}$が成り立つ．
したがって$\sigma \in S_{n}$に対して
$$\prod_{(i,j) \in \Delta}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j} \in \{\pm 1\}
$$
が成り立つ．
写像$\mathrm{sgn} \colon S_{n} \to \{\pm 1\}$を
$$ \mathrm{sgn}(\sigma) = \prod_{(i,j) \in \Delta}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}
$$
で定める．$\mathrm{sgn}(\sigma)$を$\sigma$の符号という．$\mathrm{sgn}(\sigma) = 1$のとき$\sigma$を偶置換といい，$\mathrm{sgn}(\sigma) = -1$のとき$\sigma$を奇置換という．
定義より直ちに次がわかる：
任意の$\sigma \in S_{n}$に対して
$$
\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^{\#\{(i,j) \in \Delta\ |\ \sigma(i)>\sigma(j)\}}
$$
が成り立つ．
任意の$\sigma,\tau \in S_{n}$に対して
$$
\mathrm{sgn}(\tau) = \prod_{(i,j) \in \Delta}\frac{\tau(\sigma(i)) - \tau(\sigma(j))}{\sigma(i) - \sigma(j)}
$$
が成り立つ．
$\sigma,\tau \in S_{n}$とする．
このとき，補題1より
\begin{align}
\prod_{(i,j) \in \Delta}\frac{\tau(\sigma(i)) - \tau(\sigma(j))}{\sigma(i) - \sigma(j)}
&= \prod_{\substack{(i,j) \in \Delta \\ \sigma(i)<\sigma(j)}}\frac{\tau(\sigma(i)) - \tau(\sigma(j))}{\sigma(i) - \sigma(j)} \times \prod_{\substack{(i,j) \in \Delta \\ \sigma(i)>\sigma(j)}}\frac{\tau(\sigma(j)) - \tau(\sigma(i))}{\sigma(j) - \sigma(i)}\\
&= \prod_{(k,\ell) \in \Delta}\frac{\tau(k) - \tau(\ell)}{k-\ell}\\
&= \mathrm{sgn}(\tau)
\end{align}
が成り立つ．
写像$\mathrm{sgn} \colon S_{n} \to \{\pm 1\}$は全射準同型である．
明らかに$\mathrm{sgn}(\id) = 1,\ \mathrm{sgn}((12)) = -1$であるから$\mathrm{sgn}$は全射である．
$\sigma,\tau \in S_{n}$とする．このとき
\begin{align}
\mathrm{sgn}(\sigma\tau) &= \prod_{(i,j) \in \Delta} \frac{\sigma\tau(i) - \sigma\tau(j)}{i-j}\\
&= \prod_{(i,j) \in \Delta} \frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j} \times \frac{\tau(\sigma(i)) - \tau(\sigma(j))}{\sigma(i)-\sigma(j)}\\
&= \prod_{(i,j) \in \Delta}\frac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i-j} \times \prod_{(i,j) \in \Delta} \frac{\tau(\sigma(i)) - \tau(\sigma(j))}{\sigma(i) - \sigma(j)}\\
&= \mathrm{sgn}(\sigma)\mathrm{sgn}(\tau)
\end{align}
が成り立つ．
$\sigma \in S_{n}$としその型を$(a_{1},\ldots,a_{m})$とする．このとき
$$\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^{n-m}$$
が成り立つ．とくに$\sigma$が長さ$\ell$の巡換ならば
$$\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^{\ell -1}$$
が成り立つ．
一般に，長さ$\ell$の巡換は$\ell -1$個の互換の積で書ける．実際
$$(x_{1} \cdots x_{\ell}) = (x_{1}x_{2}) (x_{1}x_{3}) \cdots (x_{1}x_{\ell})$$
が成り立つことが容易に確かめられる．
よって$\sigma$は
$$\sum (a_{i}-1) = \left(\sum a_{i}\right) - m = n-m$$
個の互換の積で書ける．互換の符号は$-1$である（ことが容易にわかる）から
$$\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^{n-m}$$
が成り立つ．
また，$\sigma$が長さ$\ell$の巡換のとき，
$$n = \sum a_{i} = (m-1) + \ell$$
より$\ell - 1=n-m$となるので
$$\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^{\ell-1}$$
が成り立つ．
$\sigma \in S_{n}$としその型を$(a_{1},\ldots,a_{m})$とする．このとき
$$\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^{\#\{i \in [m]\ |\ a_{i} \equiv 0 \pmod2\}}$$
が成り立つ．
$e = \#\{i \in [m]\ |\ a_{i} \equiv 0 \pmod2\}$とおく．このとき
$$
n = \sum a_{i} = e\,\text{個の偶数}+(m-e)\,\text{個の奇数}$$
となるので$n-m \equiv e \pmod2$が成り立つ．
全射準同型$\mathrm{sgn} \colon S_{n} \to \{\pm 1\}$の核を$n$次交代群といい$A_{n}$で表わす．
$A_{n}$は$S_{n}$の指数$2$の正規部分群である．
置換$\sigma \in S_{n}$から定まる数がいくつか出てきたが，それらが偶数であることと$\sigma$が偶置換であることとが同値となる（巡換の長さは見なかったことにする）．
$\sigma \in S_{n}$とし，その型を$(a_{1},\ldots,a_{m})$とする．
このとき次は同値である：