多重T値の深さ2の制限付き和公式
二重ゼータ値, 二重$t$値にはそれぞれに閉じた制限付き和公式があることを前の記事( 二重ゼータ値の制限付き和公式のシンプルな証明 , 二重t値の制限付き和公式 )で示した. 多重$T$値においても, 以下のような制限付き和公式が得られた.
\begin{align} \sum_{j=0}^{k-1}T(2j+1,2k-2j)&=(2^{2k-1}-1)T(1,2k) \end{align}
これは深さ2の多重$T$値だけからなる線形関係式である.
まず,
\begin{align*}
2^{2k-1}\sum_{j=0}^{k-1}T(2j+1,2k-2j)&=\sum_{0\leq n< m}\frac 1{n+\frac 12}\sum_{j=0}^{k-1}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^{2j}m^{2k-2j}}\\
&=\sum_{0\leq n< m}\frac 1{n+\frac 12}\frac{\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^{2k}}-\frac 1{m^{2k}}}{\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^2}-\frac 1{m^2}}\\
&=\sum_{0\leq n< m}\frac{n+\frac12}{m^2-\left(n+\frac 12\right)^2}\left(\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^{2k}}-\frac 1{m^{2k}}\right)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{1}{\left(n+\frac 12\right)^{2k}}\sum_{n< m}\frac{n+\frac 12}{m^2-\left(n+\frac 12\right)^2}-\sum_{0< m}\frac 1{m^{2k}}\sum_{n=0}^{m-1}\frac{n+\frac 12}{m^2-\left(n+\frac 12\right)^2}.
\end{align*}
と変形できる. ここで,
\begin{align*}
\sum_{n< m}\frac{n+\frac 12}{m^2-\left(n+\frac 12\right)^2}&=\frac 1{2}\sum_{n< m}\left(\frac 1{m-n-\frac 12}-\frac 1{m+n+\frac 12}\right)\\
&=\frac 12\sum_{m=0}^{2n}\frac 1{m+\frac 12}
\end{align*}
と
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{m-1}\frac{n+\frac 12}{m^2-\left(n+\frac 12\right)^2}&=\frac 1{2}\sum_{n=0}^{m-1}\left(\frac 1{m-n-\frac 12}-\frac 1{m+n+\frac 12}\right)\\
&=\sum_{n=0}^{m-1}\frac 1{n+\frac 12}-\frac 12\sum_{n=0}^{2m-1}\frac 1{n+\frac 12}.
\end{align*}
が成り立つ. これらを代入すると,
\begin{align*}
&2^{2k-1}\sum_{j=0}^{k-1}T(2j+1,2k-2j)\\
&=\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{1}{\left(n+\frac 12\right)^{2k}}\sum_{m=0}^{2n}\frac 1{m+\frac 12}-\sum_{0< m}\frac 1{m^{2k}}\left(\sum_{n=0}^{m-1}\frac 1{n+\frac 12}-\frac 12\sum_{n=0}^{2m-1}\frac 1{n+\frac 12}\right)\\
&=2^{2k-1}\left(\sum_{0\leq m<2n+1}\frac 1{\left(m+\frac 12\right)\left(2n+1\right)^{2k}}+\sum_{0\leq m<2n}\frac 1{\left(m+\frac 12\right)\left(2n\right)^{2k}}\right)-2^{2k-1}T(1,2k)\\
&=2^{2k-1}\sum_{0\leq m< n}\frac 1{\left(m+\frac 12\right)n^{2k}}-2^{2k-1}T(1,2k)\\
&=2^{2k-1}(2^{2k-1}-1)T(1,2k).
\end{align*}
となって示すべき等式が得られる.
偶奇が他のパターンの場合はどうなるのかについても後で考えたいと思う.
