π^π^π^πは整数か？(3次の超Taylor編)
はじめに
今回は、 前回 の続きで、$\tetf{x}$の3次超Taylor展開を行って、果たして証明可能か、というのを計算します。本文が長くなると思うので、前置きはここらへんで始めていきます。
材料
$a_n$:$\pi$の小数第$n$桁目まで($a_0=3$)
$b_n:=a_n+10^{-n}$
$$(\tetf{x})^`=\tett{x}(1+x^x\log x\cdot(1+x\log x\cdot(1+\log x)))$$
$$(\tetf{x})^{``}=\frac{x^x(2+\log x\cdot(x^x(1+x\log x\cdot(1+\log x))^2+x(4+\log x\cdot(6+x+\log x\cdot(1+2x+x\log x)))))}{1+x^x\log x\cdot(1+x\log x\cdot(1+\log x))}\\$$
$$(\tetf x)^{```}=\frac{(1+x^x\log x\cdot(1+x\log x+x(\log x)^2))(x^{1+2x}(\log x)^2(1+x\log x(1+\log x))^2(2+\log x\cdot(4+x+\log x\cdot(1+2x+x\log x)))+x(6+\log x\cdot(6(3+x)+\log x\cdot(9+x(18+x)+\log x\cdot(1+3x(5+x)+x\log x\cdot(3+3x+x\log x)))))+x^x(-1+x\log x\cdot(2+\log x\cdot(4(3+x)+\log x\cdot(8+2x(8+x)+\log x\cdot(1+x(15+8x)+x\log x\cdot(4+11x+x\log x(6+\log x))))))))}{(1+x^x\log x\cdot(1+x\log x\cdot(1+\log x)))^2(2+\log x\cdot(x^x(1+x\log x\cdot(1+\log x))^2+x(4+\log x\cdot(6+x+\log x\cdot(1+2+x\log x)))))}$$
(超導関数は
Wolfram Mathematica
を用いて計算)
手法
計算
$$T_3(x)=
f(a_n)\exp(\frac{f^`(a_n)}{f^{```}(a_n)}\exp(-\frac{f^{``}(a_n)}{f^{```}(a_n)})\qty(\mathrm{Ei}\qty(\frac{f^{``}(a_n)x^{f^{```}(a_n)}}{f^{```}(a_n)a_n^{f^{```}(a_n)}})-\mathrm{Ei}\qty(\frac{f^{``}(a_n)}{f^{```}(a_n)})))$$超Taylor
より、比$\frac{T_3(b_n)}{T_3(a_n)}$は、
\begin{align}
\frac{T_3(b_n)}{T_3(a_n)}
&=\frac{f(a_n)\exp(\frac{f^`(a_n)}{f^{```}(a_n)}\exp(-\frac{f^{``}(a_n)}{f^{```}(a_n)})\qty(\mathrm{Ei}\qty(\frac{f^{``}(a_n)b_n^{f^{```}(a_n)}}{f^{```}(a_n)a_n^{f^{```}(a_n)}})-\mathrm{Ei}\qty(\frac{f^{``}(a_n)}{f^{```}(a_n)})))}{f(a_n)\exp(\frac{f^`(a_n)}{f^{```}(a_n)}\exp(-\frac{f^{``}(a_n)}{f^{```}(a_n)})\qty(\mathrm{Ei}\qty(\frac{f^{``}(a_n)a_n^{f^{```}(a_n)}}{f^{```}(a_n)a_n^{f^{```}(a_n)}})-\mathrm{Ei}\qty(\frac{f^{``}(a_n)}{f^{```}(a_n)})))}\\
&=\exp(\frac{f^`(a_n)}{f^{```}(a_n)}\exp(-\frac{f^{``}(a_n)}{f^{```}(a_n)})\qty(\mathrm{Ei}\qty(\frac{f^{``}(a_n)b_n^{f^{```}(a_n)}}{f^{```}(a_n)a_n^{f^{```}(a_n)}})-\mathrm{Ei}\qty(\frac{f^{``}(a_n)}{f^{```}(a_n)})))
\end{align}
$k=\frac{f^`(a_n)}{f^{```}(a_n)},l=\frac{f^{``}(a_n)}{f^{```}(a_n)}$とする。
ここで、
$$\mathrm{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}tdt$$
より、
\begin{align}
\mathrm{Ei}\qty(l\qty(\frac{b_n}{a_n})^{f^{```}(a_n)})&=\int^{l\qty(\frac{b_n}{a_n})^{f^{```}(a_n)}}_{-\infty}\frac{e^t}tdt\\
&=\int^{\qty(\frac{b_n}{a_n})^{f^{```}(a_n)}}_{-\infty}\frac1{l^2}\frac{e^{lu}}{u}du&(lt=u\mathrm{とした})\\
&>\int^{1+\frac{f^{```}(a_n)}{10^na_n}}_{-\infty}\frac1{l^2}\frac{e^{lu}}{u}du\\
\end{align}
となるため、$n\gg\log_{10}f^{```}(a_n)$として、
$$F(x)=\int^x_{-\infty}\frac1{l^2}\frac{e^{lt}}tdt$$
としたとき、
$$\mathrm{Ei}\qty(l\qty(\frac{b_n}{a_n})^{f^{```}(a_n)})\approx F\qty(1+\frac{f^{```}(a_n)}{10^na_n})$$
と表される。
よって、$F(x)$の$x=1$におけるマクローリン展開を考えると、$F''(1)=\frac{(l-1)e^l}{l^2}$で、$l\approx38.1667$(
Wolfram Mathematica
を用いて計算)より
\begin{align}
F(x)&>F(1)+F'(1)(x-1)\\
&=F(1)+\frac{e^l}{l^2}(x-1)
\end{align}
また、$\mathrm{Ei}(l)=F(1)$より
\begin{align}
\frac{T_3(b_n)}{T_3(a_n)}
&>\exp\left(ke^{-l}\frac{e^l}{l^2}\qty(\frac{f^{```}(a_n)}{10^na_n})\right)\\
&=\exp(\frac{f^`(a_n)(f^{```}(a_n))^2}{10^na_n(f^{``}(a_n))^2})\\
&>1+\frac{f^`(a_n)(f^{```}(a_n))^2}{10^na_n(f^{``}(a_n))^2}
\end{align}
よって、
\begin{align}
&\phantom{\Rightarrow}\frac{T_3(b_n)}{T_3(a_n)}<1+10^{\floor{-\log_{10}T_3(a_n)}}\\
&\Rightarrow\tetf{a_n}\frac{f^`(a_n)(f^{```}(a_n))^2}{a_n(f^{``}(a_n))^2}<10^n
\end{align}
ここで、$\frac{f^`(a_n)(f^{```}(a_n))^2}{a_n(f^{``}(a_n))^2}$の評価をする。
Wolfram Mathematica
を用いて計算すると、$1.06794\times10^{17}$より現状では計算できない。以上より$\tetf\pi$が整数であるかどうかは現状わからない。
終わりに
今回は3次の超Taylor展開を用いて$\tetf\pi$が整数であるかを証明できるか考えてきました。2次の超Taylor展開を用いた時よりも精度が悪くなってしまったのは、近似の方法によるものでは、と思うのでより良い近似の方法を探したいと思います。
