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π^π^π^πは整数か？(3次の超Taylor編)

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はじめに

今回は、前回の続きで、 $x^{x^{x^{x}}}$ の3次超Taylor展開を行って、果たして証明可能か、というのを計算します。本文が長くなると思うので、前置きはここらへんで始めていきます。

材料

$a_{n}$ : $π$ の小数第 $n$ 桁目まで( $a_{0} = 3$ )
$b_{n} := a_{n} + 10^{- n}$
$(x^{x^{x^{x}}})^{‘} = x^{x^{x}} (1 + x^{x} \log x \cdot (1 + x \log x \cdot (1 + \log x)))$
$(x^{x^{x^{x}}})^{‘ ‘} = \frac{x^{x} (2 + \log x \cdot (x^{x} (1 + x \log x \cdot (1 + \log x))^{2} + x (4 + \log x \cdot (6 + x + \log x \cdot (1 + 2 x + x \log x)))))}{1 + x^{x} \log x \cdot (1 + x \log x \cdot (1 + \log x))}$
$(x^{x^{x^{x}}})^{‘ ‘ ‘} = \frac{(1 + x^{x} \log x \cdot (1 + x \log x + x (\log x)^{2})) (x^{1 + 2 x} (\log x)^{2} (1 + x \log x (1 + \log x))^{2} (2 + \log x \cdot (4 + x + \log x \cdot (1 + 2 x + x \log x))) + x (6 + \log x \cdot (6 (3 + x) + \log x \cdot (9 + x (18 + x) + \log x \cdot (1 + 3 x (5 + x) + x \log x \cdot (3 + 3 x + x \log x))))) + x^{x} (- 1 + x \log x \cdot (2 + \log x \cdot (4 (3 + x) + \log x \cdot (8 + 2 x (8 + x) + \log x \cdot (1 + x (15 + 8 x) + x \log x \cdot (4 + 11 x + x \log x (6 + \log x))))))))}{(1 + x^{x} \log x \cdot (1 + x \log x \cdot (1 + \log x)))^{2} (2 + \log x \cdot (x^{x} (1 + x \log x \cdot (1 + \log x))^{2} + x (4 + \log x \cdot (6 + x + \log x \cdot (1 + 2 + x \log x)))))}$
(超導関数は Wolfram Mathematica を用いて計算)

手法

前回の記事を参照のこと2次まで

計算

$T_{3} (x) = f (a_{n}) \exp (\frac{f^{‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})} \exp (- \frac{f^{‘ ‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}) (Ei (\frac{f^{‘ ‘} (a_{n}) x^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n}) a_{n}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}}) - Ei (\frac{f^{‘ ‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})})))$ 超Taylor
より、比 $\frac{T_{3} (b_{n})}{T_{3} (a_{n})}$ は、
$\begin{aligned} \frac{T_{3} (b_{n})}{T_{3} (a_{n})} & = \frac{f (a_{n}) \exp (\frac{f^{‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})} \exp (- \frac{f^{‘ ‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}) (Ei (\frac{f^{‘ ‘} (a_{n}) b_{n}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n}) a_{n}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}}) - Ei (\frac{f^{‘ ‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})})))}{f (a_{n}) \exp (\frac{f^{‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})} \exp (- \frac{f^{‘ ‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}) (Ei (\frac{f^{‘ ‘} (a_{n}) a_{n}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n}) a_{n}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}}) - Ei (\frac{f^{‘ ‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})})))} \\ = \exp (\frac{f^{‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})} \exp (- \frac{f^{‘ ‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}) (Ei (\frac{f^{‘ ‘} (a_{n}) b_{n}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n}) a_{n}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}}) - Ei (\frac{f^{‘ ‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}))) \end{aligned}$
$k = \frac{f^{‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}, l = \frac{f^{‘ ‘} (a_{n})}{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}$ とする。
ここで、
$Ei (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{e^{t}}{t} d t$
より、
$\begin{aligned} Ei (l {(\frac{b_{n}}{a_{n}})}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}) & = \int_{- \infty}^{l {(\frac{b_{n}}{a_{n}})}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}} \frac{e^{t}}{t} d t \\ = \int_{- \infty}^{{(\frac{b_{n}}{a_{n}})}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}} \frac{1}{l^{2}} \frac{e^{l u}}{u} d u & (l t = u とした) \\ > \int_{- \infty}^{1 + \frac{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}{10^{n} a_{n}}} \frac{1}{l^{2}} \frac{e^{l u}}{u} d u \end{aligned}$
となるため、 $n ≫ \log_{10} f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})$ として、
$F (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{l^{2}} \frac{e^{l t}}{t} d t$
としたとき、
$Ei (l {(\frac{b_{n}}{a_{n}})}^{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}) \approx F (1 + \frac{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}{10^{n} a_{n}})$
と表される。
よって、 $F (x)$ の $x = 1$ におけるマクローリン展開を考えると、 $F^{″} (1) = \frac{(l - 1) e^{l}}{l^{2}}$ で、 $l \approx 38.1667$ ( Wolfram Mathematica を用いて計算)より
$\begin{aligned} F (x) & > F (1) + F^{'} (1) (x - 1) \\ = F (1) + \frac{e^{l}}{l^{2}} (x - 1) \end{aligned}$
また、 $Ei (l) = F (1)$ より
$\begin{aligned} \frac{T_{3} (b_{n})}{T_{3} (a_{n})} & > \exp (k e^{- l} \frac{e^{l}}{l^{2}} (\frac{f^{‘ ‘ ‘} (a_{n})}{10^{n} a_{n}})) \\ = \exp (\frac{f^{‘} (a_{n}) (f^{‘ ‘ ‘} (a_{n}))^{2}}{10^{n} a_{n} (f^{‘ ‘} (a_{n}))^{2}}) \\ > 1 + \frac{f^{‘} (a_{n}) (f^{‘ ‘ ‘} (a_{n}))^{2}}{10^{n} a_{n} (f^{‘ ‘} (a_{n}))^{2}} \end{aligned}$
よって、
$\begin{aligned} \frac{T_{3} (b_{n})}{T_{3} (a_{n})} < 1 + 10^{⌊ - \log_{10} T_{3} (a_{n}) ⌋} \\ \Rightarrow a_{n}^{a_{n}^{a_{n}^{a_{n}}}} \frac{f^{‘} (a_{n}) (f^{‘ ‘ ‘} (a_{n}))^{2}}{a_{n} (f^{‘ ‘} (a_{n}))^{2}} < 10^{n} \end{aligned}$
ここで、 $\frac{f^{‘} (a_{n}) (f^{‘ ‘ ‘} (a_{n}))^{2}}{a_{n} (f^{‘ ‘} (a_{n}))^{2}}$ の評価をする。
Wolfram Mathematica を用いて計算すると、 $1.06794 \times 10^{17}$ より現状では計算できない。以上より $π^{π^{π^{π}}}$ が整数であるかどうかは現状わからない。