部分空間のなす順序集合から線型空間を復元しよう！〜射影幾何学の基本定理〜

$K$が有限体のとき$K^2$の$0$でない元は$|K|^2-1$個あり、$|K|-1$個ずつが同じ$1$次元部分空間を張るので、$1$次元部分空間は$|K|+1$個ある.
$K$が無限体のとき、$K^2$の$0$でない元の個数は$|K|$個なので$1$次元部分空間の個数は高々$|K|$個. 一方$\langle(1, a)\rangle\subseteq K^2:a\in K$は相異なる$1$次元部分空間なので、$K^2$の$1$次元部分空間の数はちょうど$|K|$個で、これは$|K|+1$と等しい.

(1)が成り立っているときは明らかに$\mathcal{S}(V)\cong\mathcal{S}(V').$
(2)の成立を仮定する. 補題2より全単射$\varphi:\mathcal{S}(V)\setminus\{\{0\}, V\}\to \mathcal{S}(V')\setminus\{\{0\}, V'\}$がとれる. $\tilde\varphi(\{0\})=\{0\}, \tilde\varphi(V)=V'$によって$\varphi$を$\tilde\varphi:\mathcal{S}(V)\to\mathcal{S}(V')$に拡張すると、これは同型である（確かめよ）.
(3)の成立を仮定する. 体同型$\theta:K\to K'$がとれる. $a\in K$と$x\in V'$に対し$a\cdot x=\theta(a)x$によって$K$の$V'$への作用を定めると、$V'$はもとのAbel群の構造と合わせて$K$-線型空間になる（確かめよ）. $V'$の$K'$-線型空間としての基底は$K$-線型空間としての基底でもあるため$V$と$V'$は$K$-線型空間として同型である. このことと、$S\subseteq V'$に対し

• $S$が$V$の$K$-部分空間$\iff$$S$が$V$の$K'$-部分空間

が成り立つことを踏まえると、$\mathcal{S}(V)\cong\mathcal{S}(V').$

$W\in \mathcal{S}(V)$に対し、$\Phi(W)$を$W'$と略記する. $W_0, W_1\in\mathcal{S}(V)$に対し$(W_0+W_1)'=W_0'+W_1'$かつ$(W_0\cap W_1)'=W_0'\cap W_1'$であることに注意する.

Step1：線型独立な$x, y\in V$と$\langle x\rangle'=\langle x'\rangle$なる$x'\in V'$に対し、$\langle y\rangle'=\langle y'\rangle$かつ$\langle y-x\rangle'=\langle y'-x'\rangle$を満たす$y'\in V'$が唯一存在する.

$x'\in\langle x\rangle'\subseteq \langle y, y-x\rangle'=\langle y\rangle'+\langle y-x\rangle'$より、$x'=s-t$となる$s\in \langle y\rangle', t\in\langle y-x\rangle'$が存在する. $\langle x\rangle\nsubseteq \langle y\rangle, \langle y-x\rangle$より$\langle x'\rangle\nsubseteq\langle y\rangle', \langle y-x\rangle'$なので$s, t\neq 0.$ したがって$\langle s\rangle=\langle y\rangle'$かつ$\langle s-x'\rangle=\langle t\rangle=\langle y-x\rangle'$で$s$が$y'$の条件を満たす.（Step1終わり）

この唯一の$y'$を$h(x, x', y)$で表す（$x, y$が線型従属なとき、$\langle x\rangle'\neq\langle x'\rangle$のときは未定義とする）.
$V$は$3$次元以上なので、線型独立な$u, v, w\in V$がとれる. $\langle u\rangle'=\langle u'\rangle$なる$u'\in V'$がとれる. $v'=h(u, u', v), w'=h(u, u', w)$とおく. 以降これらは固定する. このとき

• $u'=h(v, v', w)=h(w, w', u)$
• $v'=h(u, u', v)=h(w, w', v)$
• $w'=h(u, u', v)=h(v, v', w)$

となる（確かめよ）.

Step2：$s, t$を$u, v, w$の内相異なる$2$つとする. $x, s, t$が線型独立となるような$x\in V$に対し、$h(s, s', x)=h(t, t', x).$

$h(s, s', x)$を$x'$とおく. $\langle x'\rangle\cap\langle s', t'\rangle=(\langle x\rangle\cap\langle s, t\rangle)'=\{0\}$で、同様に$\langle s'\rangle\cap\langle x', t'\rangle=\langle t'\rangle\cap\langle x', s'\rangle=\{0\}$なので$x', s', t'$は線型独立.
$\langle x'-t'\rangle=\langle x', t'\rangle\cap \langle x'-s', s'-t'\rangle=\langle x, t\rangle'\cap \langle x-s, s-t\rangle'=(\langle x, t\rangle\cap\langle x-s, s-t\rangle)'=\langle x-t\rangle'$より、$x'=h(t, t', x)$である.（Step2終わり）

$x\in V\setminus\{0\}$に対し、$h(u, u', x), h(v, v', x), h(w, w', x)$の内少なくとも二つは定義されている. また、Step2より定義されているものは全て一致する（未定義のものがある場合は明らか、そうでないときは$\langle u, v\rangle, \langle v, w\rangle, \langle w, u\rangle$の内$x$を含むものは高々一つであることから）. この値を$f(x)$とし、さらに$f(0)=0\in V'$とすることで$f:V\to V'$を定める. このとき、$\forall x\in V:\langle x\rangle'=\langle f(x)\rangle$であること、線型独立な$S\subseteq V$に対し$f[S]\subseteq V'$も線型独立になること（Step2内の議論と同様に分かる）に注意する. また、$f(x)$を$x'$と略記する（$u', v', w'$の定義との整合性もある）.

Step3：$f$は加法群の準同型である.

$x, y\in V$として$f(x+y)=f(x)+f(y)$を見る. $x, y$は$0$でないとしてよい.
$u, v, w$の内$\langle x, y\rangle$に含まれないものが少なくとも一つあるのでそれを$s$とおく. $x, y$が線型独立かどうかで場合わけする.
Case1：$x, y$が線型独立であるとき.
$x', y', s'$は線型独立なので、
$$\langle x'+y'-s'\rangle=\langle x'-s', y'\rangle\cap \langle x', y'-s'\rangle=(\langle x-s, y\rangle\cap\langle x, y-s))'=\langle x+y-s\rangle'.$$
$$\langle x'+y'\rangle=\langle x'+y'-s', s'\rangle\cap\langle x', y'\rangle=(\langle x+y-s, s\rangle\cap\langle x, y\rangle)'=\langle x+y\rangle'.$$
したがって$x'+y'=h(s, s', x+y)=(x+y)'.$
Case2：$x, y$が線型従属であるとき、$s, t, x$が線型独立となるような$t\in\{u, v, w\}\setminus\{s\}$がとれ、 Case1の結果より
$$(x+y)'=(x+y+t)'-t'=x'+(y+t)'-t'=x'+y'+t'-t'=x'+y'.$$
ただし、最初の等号において$x+y=0$かどうかで場合分けが生じることに注意する. （Step3終わり）

$\mathrm{Ker}(f)=\{0\}$なので$f$は単射である.

Step4：$f$は全射である.

$r\in V'$を任意にとり、$f(x)=r$となる$x\in V$が存在することを見る. $r\neq 0$としてよい.
$W'=\langle r\rangle$となる$W\in\mathcal{S}(V)$がとれる. $\langle s'\rangle\neq W'$なる$s\in \{u, v, w\}$がとれる. $\langle r-u'\rangle\subseteq W'+\langle u'\rangle$より、$U'=\langle r-u'\rangle$となる部分空間$U\subseteq W+\langle u\rangle$がとれる. $U\neq W, \langle u \rangle$に注意すると、$U=\langle x-u\rangle$となる$x\in W\setminus\{0\}$が一意にとれる. $\langle r\rangle=W'=\langle x'\rangle$と$\langle r-u'\rangle=U'=\langle x-u\rangle'$より、$x'=h(u, u', x)=r.$（Step4終わり）

以上より$f:V\to V'$は加法群の同型である.
$x\in V\setminus\{0\}$に対し、$\forall a\in K:f(ax)=\theta_x(a)f(x)$となるような$\theta_x:K\to K'$が一意に定まる.

Step5：$x, y\in V\setminus\{0\}$に対し$\theta_x=\theta_y.$

$x, y$が線型独立なとき、$a\in K$に対し、
$$f(a(x+y))=\theta_{x+y}(a)f(x+y)=\theta_{x+y}(a)f(x)+\theta_{x+y}(a)f(y)$$
である一方
$$f(a(x+y))=f(ax)+f(ay)=\theta_x(a)f(x)+\theta_y(a)f(y).$$
$f(x), f(y)$は線型独立なので$\theta_x=\theta_{x+y}=\theta_y.$
一般の$x, y\in V\setminus\{0\}$に対しては、$x, y, s$が線型独立になるような$s\in\{u, v, w\}$がとれるので上より$\theta_x=\theta_s=\theta_y.$ （Step5終わり）

この$x\in V\setminus\{0\}$によらない写像$\theta_x:K\to K'$を$\theta$とかく.

Step6：$\theta$は体同型である.

$\theta(1)f(u)=f(1\cdot u)=f(u)$より$\theta(1)=1.$
また、$a, b\in K$に対し$$\theta(a+b)f(u)=f((a+b)u)=f(au)+f(bu)=\theta(a)f(u)+\theta(b)f(u)=(\theta(a)+\theta(b))f(u)$$
$$\theta(ab)f(u)=f(abu)=\theta(a)f(bu)=\theta(a)\theta(b)f(u)$$
より$\theta(a+b)=\theta(a)+\theta(b), \theta(ab)=\theta(a)\theta(b). $したがって$\theta$は体準同型.
最後に全射なことを見る. $c\in K'$とする. $f:V\to V'$の全射性より、$x'=cu'$なる$x\in V$がとれる. このとき$x\in \langle u\rangle$なので、ある$a\in K$によって$x=au$とかける. $\theta(a)u'=(au)'=x'=cu'$より、$\theta(a)=c$である. $c\in K'$は任意にとっていたので$\theta$は全射である. （Step6終わり）

Step7：$\forall W\in\mathcal{S}(V):f[W]=\Phi(W).$

$W\in \mathcal{S}(V)$とする. $W$は$\langle x\rangle\in\mathcal{S}(V):x\in W$の上限なので、$W'$は$\langle x\rangle'\in\mathcal{S}(V'):x\in W$の上限. したがって$W'$は$\langle r\rangle\in\mathcal{S}(V'):r\in f[W]$の上限である. $f[W]\in\mathcal{S}(V')$（確かめよ）と合わせると$W'=f[W].$（Step7終わり）

以上で主張が示された（ただし、$x=0$のときも$\forall a\in K:f(ax)=\theta(a)f(x)$が成り立っていることに注意）.

$\mathcal{S}(V)\cong\mathcal{S}(V')$と仮定する.
$\dim_K(V)\le1$のとき、(1)が成立する（確かめよ）.
$\dim_K(V)=2$のとき、$\mathcal{S}(V)$は濃度$4$の全順序部分集合を持たないが、濃度$3$の全順序部分集合を持つ. $\mathcal{S}(V')$も同様の性質を持つはずなので$\dim_{K'}(V')=2.$ 補題２より$|K|+1=|K'|+1$で$|K|=|K'|.$
$\dim_K(V)\ge 3$のとき、定理３より体同型$\theta:K\to K'$と$\theta$-同型$f:V\to V'$がとれる. 「定理１における十分性の証明」と同様に、$x\in V'$と$a\in K$に対し$a\cdot x=\theta(a)x$と作用を定めることで$V'$に$K$-線型空間の構造が定まる（確かめよ）. このとき、$f:V\to V'$は$K$-線型空間の間の同型になる. $V'$の$K$-線型空間としての基底は$K'$-線型空間としての基底でもあることに注意すると、$\dim_K(V)=\dim_K(V')=\dim_{K'}(V').$