MIT Integration Beeを解く【MIT Integration Bee Qualifying-2018】
1.本ページでやること
今回はMIT Integration Bee 2018予選問題の解答と解説をしてみる。使用した関数、テクニックは以下でまとめた。 https://mathlog.info/articles/CMsARUspoc4FiCRFTArY
2.MIT Integration Beeについて
MIT Integration Beeとは、マサチューセッツ工科大学（MIT）で毎年1月に開催される、学生向けの積分計算コンテストのこと。
問題は、Qualifying(予選)、Regular Season(第二予選)、Quarterfinal(準々決勝)、Semifinal(準決勝)、Final(決勝)からなる。
もちろん難易度は決勝に行くにつれて難しくなる。
3.評価
筆者は問題を次のように評価した。(異論は認める)
★☆☆☆☆：数学Ⅱの知識が必要
★★☆☆☆：数学Ⅲの知識が必要
★★★☆☆：数学Ⅲを少し超える知識が必要
★★★★☆：大学での学習内容や鋭い推察が必要
★★★★★：変態的な発想やナーマギリ女神からの天啓が必要
※数学Ⅲを少し超える知識とは次のものを指すこととする。
- 逆三角関数 ($\arcsin{x} \,, \arccos{x} \,, \arctan{x}$など)
- 双曲線関数 ($\sinh{x} \,, \cosh{x} \,, \tanh{x}$など)
- 逆双曲線関数 ($\mathrm{arsinh}{x} \,, \mathrm{arcosh}{x} \,, \mathrm{artanh}{x}$など)
4.問題
・積分定数は$C$とする
・対数関数に関して、真数の符号を考えずに表記する
例）$\log{|x^2-1|} \to \log{(x^2-1)}$
・逆三角関数は「$arc$」、逆双曲線関数は「$ar$」を先頭につけることで表すものとする
例1）$\sin{x}$の逆関数 $\to$ $\arcsin{x}$
例2）$\cosh{x}$の逆関数 $\to$ $\mathrm{arcosh}{x}$
$\displaystyle I = \int \frac{e^x}{e^x+2} ~dx$
解答・解説
【ポイント】微分形接触で素早く\begin{align} I &=\log{(e^x+2)} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \sqrt{x\cdot \sqrt[3]{x \cdot \sqrt[4]{x \cdot \sqrt[5]{x \cdots}}}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5} +\cdots} ~dx \end{align}
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5} +\cdots = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} -2$
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e^{1} = e \quad $ ($e^x$のマクローリン展開を利用)
したがって、
\begin{align} I &=\int x^{e-2} ~dx \\ &= \frac{1}{e-1}x^{e-1} \end{align}
$\displaystyle I = \int_{0}^{2018\pi} |\sin{(2018x)}| ~dx$
解答・解説
【ポイント】$0 \to \pi$の$\sin{\theta}$に分割する$t=2018x$と置くと $dt=2018 ~dx $
$x:0 \to 2018\pi \quad t:0 \to 2018^2\pi$
\begin{align} I &=\frac{1}{2018}\int_{0}^{2018^2\pi} |\sin{t} | ~dt \\ \end{align}
$\sin{\theta}$は周期$\pi$の周期関数で、
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin{\theta} ~d\theta = \left[ -\cos{\theta} \right]_{0}^{\pi} = 1- (-1) =2$
であり、それが$2018^2$個あるから、
\begin{align} I &=\frac{1}{2018} \cdot 2018^2 \cdot 2 \\ &=4036 \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{1}{\tan{x} + \cot{x}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{1}{\tan{x} + \cot{x}} \cdot \frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}\cos{x}} ~ dx \\ &=\int \frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin^2{x}+\cos^2{x}} ~dx \\ &=\int \sin{x}\cos{x} ~dx \\ &=\frac{1}{2}\sin^2{x} + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{x^5}{2+x^{12}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する$t=x^6$と置くと $dt = 6x^5 ~dx$
\begin{align} I &=\frac{1}{6} \int \frac{1}{2+t^2} ~dt \\ &=\frac{1}{6\sqrt{2}} \arctan{\left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right)} + C \\ &=\frac{1}{6\sqrt{2}} \arctan{\left( \frac{x^6}{\sqrt{2}} \right)} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \cos{x}\cosh{x} + \sin{x}\sinh{x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】部分積分第二項に部分積分を行うと、
\begin{align} I &=\int \cos{x}\cosh{x} ~dx + \sin{x}\cosh{x} - \int \cos{x}\cosh{x} ~ dx \\ &=\sin{x}\cosh{x} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{e^x + \cos{x}}{e^x + \sin{x}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】微分形接触で素早く\begin{align} I &= \log{(e^x + \sin{x})} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \sin{(\cos(\sin{x}))}\sin{(\sin{x})}\cos{x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】置換積分$t=\sin{x}$と置くと $dt = \cos{x} ~dx$
\begin{align} I &=\int \sin{(\cos{t})}\sin{t} ~dt \end{align}
$u=\cos{t}$と置くと $du = -\sin{t} ~dt$
\begin{align} I &=-\int \sin{u} ~du \\ &=\cos{u} + C \\ &=\cos{(\cos{t})} + C \\ &=\cos{(\cos{(\sin{x})})} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{1}{1+\sin{x}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{1}{1+\sin{x}} \cdot \frac{1-\sin{x}}{1-\sin{x}} ~dx \\ &=\int \frac{1-\sin{x}}{1-\sin^2{x}} ~dx \\ &=\int \frac{1-\sin{x}}{\cos^2{x}} ~dx \\ &=\int \frac{1}{\cos^2{x}} - \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} ~dx \\ &=\tan{x} - \frac{1}{\cos{x}} + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{\cos{x}}{1-\cos{2x}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{\cos{x}}{1-(1-2\sin^2{x})} ~dx \\ &=\frac{1}{2} \int \frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} ~dx \\ &=-\frac{1}{2\sin{x}} + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}
$\displaystyle I = \int e^x\left( \frac{1}{x} + \log{x} \right) ~dx$
解答・解説
【ポイント】部分積分第二項に部分積分を行うと
\begin{align} I &=\int \frac{e^x}{x} + e^{x}\log{x} ~dx \\ &=\int \frac{e^x}{x} ~dx + e^{x}\log{x} - \int \frac{e^x}{x} ~dx \\ &=e^x\log{x} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \tanh^2{x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int 1 - \frac{1}{\cosh^2{x}} ~ dx \\ &= x - \tanh{x} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{2017x^{2016}+2018x^{2017}}{1+x^{4034} + 2x^{4035} + x^{4036}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】置換積分\begin{align} I &=\int \frac{2017x^{2016}+2018x^{2017}}{1+\left( x^{2017} + x^{2018} \right)^2} ~dx \end{align}
$t=x^{2017} + x^{2018}$と置くと $dt = 2017x^{2016}+2018x^{2017} ~dx $
\begin{align} I &=\int \frac{1}{1+t^2} ~dt \\ &=\arctan{t} + C \\ &=\arctan{(x^{2017} + x^{2018})} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{\sin{2x} - \sin^2{x}}{\cos{2x} -\cos^2{x}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{2\sin{x}\cos{x} - \sin^2{x}}{\cos^2{x}-\sin^2{x} -\cos^2{x}} ~dx \\ &=\int \frac{\sin^2{x}-2\sin{x}\cos{x}}{\sin^2{x}} ~dx \\ &=\int 1 - \frac{2\cos{x}}{\sin{x}} ~dx \\ &=x - 2\log{(\sin{x})} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{1}{x^{\frac{25}{25}}\cdot x^{\frac{16}{25}}+x^{\frac{9}{25}}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{x^{-\frac{9}{25}}}{x^{\frac{16}{25}}\cdot x^{\frac{16}{25}}+1} ~dx \end{align}
$\displaystyle t = x^{\frac{16}{25}}$と置くと $\displaystyle dt = \frac{16}{25}x^{-\frac{9}{25}} ~dx$
\begin{align} I &=\frac{25}{16} \int \frac{1}{t^2+1} ~dt \\ &=\frac{25}{16} \arctan{t} + C \\ &= \frac{25}{16} \arctan{\left( x^{\frac{16}{25}} \right)} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{2-\cos^2{x}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{2-(1-\sin^2{x})} ~dx \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{1+\sin^2{x}} ~dx \end{align}
$t = \sin{x}$と置くと $dt = \cos{x} ~dx$
$x: 0 \to \frac{\pi}{2} \quad t: 0 \to 1 $
\begin{align} I &=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} ~dt \\ &=\left[ \arctan{t} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】置換積分$x=\tan{\theta}$と置くと $\displaystyle dx = \frac{1}{\cos^2{\theta}} ~d\theta$
\begin{align} I &=\int \frac{1}{(1+\tan^2{\theta})\sqrt{1+\tan^2{\theta}}} \cdot \frac{1}{\cos^2{\theta}} ~d\theta \\ &=\int \cos{\theta} ~d\theta \\ &= \sin{\theta} + C \\ &= \sin{(\arctan{x})} + C \end{align}
ここで、$\arctan{x} = u$と置くと $x = \tan{u} $
$\displaystyle 1 + \frac{1}{\tan^2{u}} = \frac{1}{\sin^2{u}} \quad \sin{u} = \sqrt{\frac{\tan^2{u}}{1+\tan^2{u}}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
したがって、
\begin{align} I &=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} +C \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{1}{\sqrt{x\sqrt{x} -x^2}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】置換積分\begin{align} I &=\int \frac{1}{\sqrt{x^{\frac{3}{2}} -x^2}} ~dx \\ &=\int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^2 -x^2}} ~dx \\ &=\int \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}\sqrt{1-x^{\frac{1}{2}}}} ~dx \end{align}
$t=x^{\frac{1}{4}}$と置くと $x=t^4 \quad dx = 4t^3$
\begin{align} I &=\int \frac{4t^3}{t^3\sqrt{1-t^2}} ~dt \\ &=4\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} ~dt \\ &=4\arcsin{t} + C \\ &=4\arcsin{\left( \sqrt[4]{x} \right)} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{x-1}{x+x^2\log{x}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x} + \log{x}} ~dx \\ &= \log{\left( \frac{1}{x} + \log{x} \right)} + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}
$\displaystyle I = \int \csc{x} \sec{x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{1}{\sin{x}\cos{x}} ~dx \\ &=\int \frac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}} ~dx \\ &=\int \frac{\sin{x}}{\cos{x}} + \frac{\cos{x}}{\sin{x}} ~dx \\ &=-\log{(\cos{x})} + \log{(\sin{x})} + C \quad \rm{【微分形接触】} \\ &= \log{\left( \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \right)} + C \\ &= \log{(\tan{x})} + C \end{align}
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