文献あり

Göllnitz-Gordonの分割定理

前回の記事でGöllnitz-Gordon恒等式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{1}{(q, q^{4}, q^{7}; q^{8})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + 2 n} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{1}{(q^{3}, q^{4}, q^{5}; q^{8})_{\infty}} \end{aligned}$
を示した. これを用いることで, Göllnitz-Gordonの分割定理を示す.

自然数の分割 $(λ_{1}, \dots, λ_{m})$ が $d$ -差的であるとは, 全ての $1 \leq i \leq m - 1$ に対し, $λ_{i} - λ_{i + 1} \geq d$ であることをいう.

以下の分割定理がGöllnitz, Gordonによって独立に示されている.

Göllnitz(1967), Gordon(1965)

$N$ の分割で $2$ -差的かつ連続する偶数を含まないようなものの個数は, $N$ の分割でその和因子が $8$ を法として, $1, 4, 7$ に合同であるものの個数に等しい.

Göllnitz(1967), Gordon(1965)

$N$ の分割で $2$ -差的かつ連続する偶数と $2$ 以下の数を含まないようなものの個数は, $N$ の分割でその和因子が $8$ を法として, $3, 4, 5$ に合同であるものの個数に等しい.

前の記事におけるAndrewsによるSchurの分割定理の証明と同様の方針で証明を与えることにする. $n$ の $m$ 個の和因子への分割であって, $2$ -差的かつ連続する偶数を含まず, 全ての和因子が $j$ よりも大きいものの個数を $b_{j} (m, n)$ とする. そのとき, 以下が成り立つ.

以下の等式が成り立つ.
$\begin{aligned} b_{0} (m, n) - b_{1} (m, n) & = b_{0} (m - 1, n - 2 m + 1) \\ b_{1} (m, n) - b_{2} (m, n) & = b_{2} (m - 1, n - 2 m) \\ b_{2} (m, n) & = b_{0} (m, n - 2 m) \end{aligned}$

$1$ つ目の等式の右辺は $b_{0} (m, n)$ の条件を満たす分割の中で $1$ を和因子の持つ分割の個数であり, $2$ を引くという操作は偶奇を変えないので, そのような分割に対し, 含まれている $1$ を除いて, 残りの全ての和因子から $2$ を引いたものは $b_{0} (m - 1, n - 2 m + 1)$ の条件を満たす分割になっている. これが全単射を与える. 残りの等式も同様である.

$\begin{array}{r} f_{i} (x) := 1 + \sum_{0 < m, n} b_{i} (m, n) x^{m} q^{n} \end{array}$
とする.

$\begin{aligned} f_{0} (x) & = \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} x^{n} \end{aligned}$

補題3の等式の母関数を考えると,
$\begin{aligned} f_{0} (x) - f_{1} (x) & = x q f_{0} (x q^{2}) \\ f_{1} (x) - f_{2} (x) & = x q^{2} f_{1} (x q^{2}) \\ f_{2} (x) & = f_{0} (x q^{2}) \end{aligned}$
を得る. これらから $f_{1}, f_{2}$ を消去すると,
$\begin{array}{r} f_{0} (x) - (1 + x q) f_{0} (x q^{2}) - x q^{2} f_{0} (x q^{4}) \end{array}$
を得る.
$\begin{aligned} f_{0} (x) & =: \sum_{0 \leq n} A_{n} x^{n} \end{aligned}$
としてこれに代入し, $x^{n}$ の係数を比較すると, $A_{0} = 1$
$\begin{array}{r} A_{n} - q^{2 n} A_{n} - q^{2 n - 1} A_{n - 1} - q^{4 n - 2} A_{n - 1} = 0, n \geq 1 \end{array}$
つまり,
$\begin{array}{r} A_{n} = \frac{q^{2 n - 1} (1 - q^{2 n - 1})}{1 - q^{2 n}} A_{n - 1}, n \geq 1 \end{array}$
となる. これより,
$\begin{array}{r} A_{n} = \frac{q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} \end{array}$
となって定理を得る.

定理1, 定理2の証明

定理4とGöllnitz-Gordon恒等式より,
$\begin{aligned} f_{0} (1) & = \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} \\ = \frac{1}{(q, q^{4}, q^{7}; q^{8})_{\infty}} \end{aligned}$
を得るから定理1が示される.
$\begin{aligned} f_{2} (1) & = f_{0} (q^{2}) \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + 2 n} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} \\ = \frac{1}{(q^{3}, q^{4}, q^{5}; q^{8})_{\infty}} \end{aligned}$
であるから定理2が示される.