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ネットの上極限・下極限

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はじめに

実数列，実関数，集合列に対して，その上極限・下極限がそれぞれ次のように定義されます．

実数列の上極限・下極限

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ に対して
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} & := inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{k}), \\ \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} & := sup_{n \geq 0} (inf_{k \geq n} a_{k}) . \end{aligned}$

実関数の上極限・下極限

関数 $f : R \to R$ と実数 $a \in R$ に対して
$\begin{aligned} \underset{x \to a}{lim sup} f (x) & := inf_{ε > 0} (sup_{0 < | x - a | \leq ε} f (x)), \\ \underset{x \to a}{lim inf} f (x) & := sup_{ε > 0} (inf_{0 < | x - a | \leq ε} f (x)) . \end{aligned}$

集合列の上極限・下極限

集合列 $(S_{n})_{n \in N}$ に対して
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} S_{n} & := ⋂_{n \geq 0} (⋃_{k \geq n} S_{k}), \\ \underset{n \to \infty}{lim inf} S_{n} & := ⋃_{n \geq 0} (⋂_{k \geq n} S_{k}) . \end{aligned}$

本記事では，これらを含むより一般的な上極限・下極限の定義を紹介します．

有向集合とネット

本記事の目標は，（完備束上の）ネットの上極限・下極限を定義し，その特別な場合として数列・関数・集合列の上極限・下極限を解釈することです．
そのために，まずこの節ではネットを定義します．

前順序

反射律・反対称律・推移律の3条件を満たす二項関係は半順序とよばれますが，この定義から反対称律を除いたものを前順序といいます．
（注意：前順序 (preorder) は，全順序 (total order) とは別の概念です．）

前順序集合

集合 $Λ$ 上の前順序とは，次の2条件を満たす $Λ$ 上の二項関係 $⪯$ のことをいう．

任意の $λ \in Λ$ に対して， $λ ⪯ λ$ が成り立つ．（反射律）
$λ ⪯ μ$ かつ $μ ⪯ ν$ を満たす任意の $λ, μ, ν \in Λ$ に対して， $λ ⪯ ν$ が成り立つ．（推移律）

集合 $Λ$ とその上の前順序 $⪯$ の組 $(Λ, ⪯)$ を前順序集合という．

明らかに半順序は前順序です．

半順序

次の条件を満たす前順序集合 $(Λ, ⪯)$ を，半順序集合という．

$λ ⪯ μ$ かつ $μ ⪯ λ$ を満たす任意の $λ, μ \in Λ$ に対して， $λ = μ$ が成り立つ．（反対称律）

半順序集合には，たとえば次のようなものがある．

自然数全体の集合 $N$ と大小関係 $\leq$ の組 $(N, \leq)$ ．
集合 $X$ の冪集合 $2^{X}$ と包含関係 $\subset$ の組 $(2^{X}, \subset)$ ．

半順序でない前順序もあります．

距離と基点が定める前順序

距離空間 $(Λ, d)$ と1点 $a \in Λ$ が与えられたとき， $Λ$ 上の前順序 $⪯$ が次式で定まる．
$λ ⪯ μ ⟺ d (λ, a) \geq d (μ, a) .$

前順序集合に対しても，半順序集合と同様に上界・下界が定義できます．

上界・下界

$(Λ, ⪯)$ を前順序集合， $M$ を $Λ$ の部分集合とする．

$M$ の上界とは，元 $λ \in Λ$ であって，任意の $μ \in M$ に対して $μ ⪯ λ$ を満たすもののことをいう．
$M$ の下界とは，元 $λ \in Λ$ であって，任意の $μ \in M$ に対して $λ ⪯ μ$ を満たすもののことをいう．

上に有界・下に有界

$(Λ, ⪯)$ を前順序集合， $M$ を $Λ$ の部分集合とする．

$M$ が上に有界であるとは， $M$ の上界が存在することをいう．
$M$ が下に有界であるとは， $M$ の下界が存在することをいう．
$M$ が有界であるとは， $M$ が上に有界かつ下に有界であることをいう．

有向集合

任意の有限部分集合が上界をもつような前順序集合のことを有向集合といいます．

有向集合

有向集合とは，空でない前順序集合 $(Λ, ⪯)$ であって，任意の2元 $λ, μ \in Λ$ に対して ${λ, μ}$ が上に有界であるもののことをいう．

空でない全順序集合

次の条件を満たす半順序集合 $(Λ, \leq)$ を全順序集合という．

任意の $λ, μ \in Λ$ に対して， $λ \leq μ$ または $μ \leq λ$ が成り立つ．

全順序集合の空でない有限集合は最大元を持つため，空でない全順序集合は有向集合である．

例：距離と基点が定める前順序で考えた前順序集合 $(Λ, ⪯)$ は，任意の部分集合が $a$ を上界に持つから，有向集合である．

有向集合でない前順序集合もあります．

反鎖

2点集合 $Λ = {0, 1}$ に次の前順序 $⪯$ を考える．
$\begin{aligned} 0 & ⪯ 0, \\ 0 & ⪯̸ 1, \\ 1 & ⪯̸ 0, \\ 1 & ⪯ 1. \end{aligned}$
このとき $Λ$ の上界は存在しないため， $(Λ, ⪯)$ は有向集合でない．

ネット

有向集合で添字づけられた族のことをネット（あるいは有向点族）といいます．

ネット

集合 $X$ 上のネットとは，ある有向集合 $(Λ, ⪯)$ から $X$ への写像 $x : Λ \to X$ のことである．
このとき，各 $λ \in Λ$ に対して $x_{λ} := x (λ)$ と書き，ネット $x$ 自身を $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ とも書く．
また，ネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の定義域を明示して $(Λ, ⪯)$ で添字づけられたネットということもある．

ネットは点列の一般化になっています．

点列

自然数全体の集合 $N$ を，大小関係によって有向集合とみなす．
このとき， $N$ で添字づけられたネットを点列という．

部分ネット

$(Λ, ⪯_{Λ}), (M, ⪯_{M})$ を有向集合， $X$ を集合とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{μ})_{μ \in M}$ をそれぞれ $(Λ, ⪯_{Λ}), (M, ⪯_{M})$ で添字づけられた $X$ 上のネットとする．
このとき $(y_{μ})_{μ \in M}$ が $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の部分ネットであるとは，次の2条件を満たす写像 $ϕ : M \to Λ$ が存在することをいう．

任意の $λ \in Λ$ に対してある $μ \in M$ が存在して， $μ ⪯_{M} ν$ を満たす任意の $ν \in M$ に対して $λ ⪯_{Λ} ϕ (ν)$ が成り立つ．
任意の $μ \in M$ に対して $y_{μ} = x_{ϕ (μ)}$ が成り立つ．

$(Λ, ⪯_{Λ}), (M, ⪯_{M})$ を前順序集合とし，写像 $ϕ : M \to Λ$ は次の2条件を満たすものとする．

$μ ⪯_{M} μ^{'}$ を満たす任意の $μ, μ^{'} \in M$ に対して， $ϕ (μ) ⪯_{Λ} ϕ (μ^{'})$ が成り立つ．（単調増加性）
任意の $λ \in Λ$ に対してある $μ \in M$ が存在して， $λ ⪯_{Λ} ϕ (μ)$ が成り立つ．（共終性）

このとき「任意の $λ \in Λ$ に対してある $μ \in M$ が存在して， $μ ⪯_{M} ν$ を満たす任意の $ν \in M$ に対して $λ ⪯_{Λ} ϕ (ν)$ が成り立つ」ことを示せ．

解答例

$λ \in Λ$ を任意に取ると，共終性より $λ ⪯_{Λ} ϕ (μ)$ を満たす $μ \in M$ が取れる．そこで $μ ⪯_{M} ν$ を満たす $ν \in M$ を任意に取ると，単調増加性より $λ ⪯_{Λ} ϕ (μ) ⪯_{Λ} ϕ (ν)$ を得る．

点列の部分列は部分ネット

集合 $X$ 上の点列 $(x_{n})_{n \in N}$ とその部分列 $(x_{ϕ (n)})_{n \in N}$ について， $(x_{ϕ (n)})_{n \in N}$ は $(x_{n})_{n \in N}$ の部分ネットである．
（ $ϕ$ の狭義単調増加性より，自動的に共終性も成り立つため）

点列の部分ネットは部分列とは限らない

たとえば写像 $ϕ : N ∋ n \mapsto 2 n + (- 1)^{n} \in N$ は次の2条件

単調増加性：各 $n \in N$ に対して，次式より $ϕ (n) \leq ϕ (n + 1)$ が成り立つ：
$ϕ (n + 1) - ϕ (n) = 2 \cdot (1 + (- 1)^{n + 1}) \geq 0.$
共終性：各 $n \in N$ に対して，次式より $n \leq ϕ (n + 1)$ が成り立つ．
$ϕ (n + 1) - n = n + 2 + (- 1)^{n + 1} \geq 0.$

を満たすから，点列 $(x_{n})_{n \in N}$ に対して $(x_{ϕ (n)})_{n \in N}$ は $(x_{n})_{n \in N}$ の部分ネットとなる．
しかし $ϕ (0) = ϕ (1) = 1$ より $ϕ$ は狭義単調増加ではないので， $(x_{ϕ (n)})_{n \in N}$ は $(x_{n})_{n \in N}$ の部分列ではない．

ネットの上極限・下極限

ネット $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の終域 $X$ が半順序集合であれば，その値域 ${x_{λ} ∣ λ \in Λ}$ の部分集合に対して上限や下限を考えることができます．
ネットの上極限や下極限を定義するにあたって，上限や下限が常に存在した方が議論が簡単なので，ここでは完備束上のネットを考えることにします．

完備束

完備束とは，半順序集合 $(X, \leq)$ であって， $X$ の任意の部分集合が上限と下限をもつようなもののことをいう．

この記事では次の2つの例を知っていれば十分です．

拡大実数全体の集合 $\overset{―}{R} = R \cup {- \infty, \infty}$ は，大小関係で完備束となる．
集合 $X$ の冪集合 $2^{X}$ は，包含関係で完備束となる．（証明）

ネットの上限・下限

実数列の場合と同様ですが，ネットの上限・下限についての性質をいくつか書いておきます．

順序の保存

$Λ$ を集合， $(X, \leq)$ を完備束とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ} : Λ \to X$ を写像， $M$ を $Λ$ の部分集合とする．
このとき，任意の $μ \in M$ に対して $x_{μ} \leq y_{μ}$ が成り立つならば，次式が成り立つ．
$sup_{μ \in M} x_{μ} \leq sup_{μ \in M} y_{μ}, inf_{μ \in M} x_{μ} \leq inf_{μ \in M} y_{μ} .$

任意の $μ \in M$ に対して
$x_{μ} \leq y_{μ} \leq sup_{μ \in M} y_{μ}$
が成り立つから， $sup_{μ \in M} y_{μ}$ は ${x_{μ} ∣ μ \in M}$ の上界であり $sup_{μ \in M} x_{μ} \leq sup_{μ \in M} y_{μ}$ を得る．同様に，任意の $μ \in M$ に対して
$inf_{μ \in M} x_{μ} \leq x_{μ} \leq y_{μ}$
が成り立つから， $inf_{μ \in M} x_{μ}$ は ${y_{μ} ∣ μ \in M}$ の下界であり $inf_{μ \in M} x_{μ} \leq inf_{μ \in M} y_{μ}$ を得る．

(t x_{λ})_{λ \in Λ}

の上限・下限 (

t > 0

)

$Λ$ を集合とし，写像 $(x_{λ})_{λ \in Λ} : Λ \to \overset{―}{R}$ を考える．
このとき， $Λ$ の部分集合 $M$ と正の実数 $t$ に対して次式が成り立つ：
$\begin{array}{r} sup_{μ \in M} (t x_{μ}) = t \cdot sup_{μ \in M} x_{μ}, inf_{μ \in M} (t x_{μ}) = t \cdot inf_{μ \in M} x_{μ} . \end{array}$

実数列の極限を上極限で定義するで既に示した．

(- x_{λ})_{λ \in Λ}

の上限・下限

$Λ$ を集合とし，写像 $(x_{λ})_{λ \in Λ} : Λ \to \overset{―}{R}$ を考える．
このとき， $Λ$ の部分集合 $M$ に対して次式が成り立つ：
$\begin{array}{r} sup_{μ \in M} (- x_{μ}) = - inf_{μ \in M} x_{μ}, inf_{μ \in M} (- x_{μ}) = - sup_{μ \in M} x_{μ} . \end{array}$

実数列の極限を上極限で定義するで既に示した．

(x_{λ} + y_{λ})_{λ \in Λ}

の上限・下限（その１）

$Λ$ を集合とし，有界な写像 $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ} : Λ \to R$ を考える．
このとき， $Λ$ の部分集合 $M$ に対して次式が成り立つ：
$\begin{array}{r} sup_{μ \in M} (x_{μ} + y_{μ}) \leq sup_{μ \in M} x_{μ} + sup_{μ \in M} y_{μ}, inf_{μ \in M} (x_{μ} + y_{μ}) \geq inf_{μ \in M} x_{μ} + inf_{μ \in M} y_{μ} . \end{array}$

任意の $μ \in M$ に対して $inf_{μ \in M} x_{μ} \leq x_{μ} \leq sup_{μ \in M} x_{μ}$ と $inf_{μ \in M} y_{μ} \leq y_{μ} \leq sup_{μ \in M} y_{μ}$ より
$\begin{array}{r} inf_{μ \in M} x_{μ} + inf_{μ \in M} y_{μ} \leq x_{μ} + y_{μ} \leq sup_{μ \in M} x_{μ} + sup_{μ \in M} y_{μ} \end{array}$
が成り立つから
$inf_{μ \in M} x_{μ} + inf_{μ \in M} y_{μ} \leq inf_{μ \in M} (x_{μ} + y_{μ}), sup_{μ \in M} (x_{μ} + y_{μ}) \leq sup_{μ \in M} x_{μ} + sup_{μ \in M} y_{μ}$
を得る．

(x_{λ} + y_{λ})_{λ \in Λ}

の上限・下限（その２）

$(Λ, ⪯)$ を有向集合とし，有界な写像 $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ} : Λ \to R$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $\overset{―}{R}$ 上のネットとみなす．
このとき，さらに $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ}$ が単調増加（つまり $λ ⪯ μ$ を満たす任意の $λ, μ \in Λ$ に対して $x_{λ} \leq x_{μ}$ と $y_{λ} \leq y_{μ}$ が成り立つ）ならば，次式が成り立つ：
$\begin{array}{r} sup_{λ \in Λ} (x_{λ} + y_{λ}) = sup_{λ \in Λ} x_{λ} + sup_{λ \in Λ} y_{λ} . \end{array}$
また， $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ}$ が単調減少（つまり $λ ⪯ μ$ を満たす任意の $λ, μ \in Λ$ に対して $x_{λ} \geq x_{μ}$ と $y_{λ} \geq y_{μ}$ が成り立つ）ならば，次式が成り立つ：
$\begin{array}{r} inf_{λ \in Λ} (x_{λ} + y_{λ}) = inf_{λ \in Λ} x_{λ} + inf_{λ \in Λ} y_{λ} . \end{array}$

$λ, μ \in Λ$ を任意に取る．このとき ${λ, μ}$ の上界 $ν \in Λ$ を取れば， $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ}$ の単調増加性より
$\begin{array}{r} x_{λ} + y_{μ} \leq x_{ν} + y_{ν} \leq sup_{λ \in Λ} (x_{λ} + y_{λ}) \end{array}$
が成り立つから，まず $λ$ について上限を取れば，任意の $μ \in Λ$ に対して
$\begin{array}{r} sup_{λ \in Λ} x_{λ} + y_{μ} \leq sup_{λ \in Λ} (x_{λ} + y_{λ}) \end{array}$
が成り立ち，次に $μ$ について上限を取れば
$\begin{array}{r} sup_{λ \in Λ} x_{λ} + sup_{λ \in Λ} y_{λ} \leq sup_{λ \in Λ} (x_{λ} + y_{λ}) \end{array}$
を得る．他方の不等式も同様に示せる．

ネットの上極限・下極限

実数列と同様に，ネットの上極限・下極限が次のように定義されます．

ネットの上極限・下極限

$(Λ, ⪯)$ を有向集合， $(X, \leq)$ を完備束とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $X$ 上のネットとする．
このとき， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の上極限と下極限を次式で定める．
$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} & := inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} x_{μ}), \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} & := sup_{λ \in Λ} (inf_{μ ⪰ λ} x_{μ}) \end{aligned}$

$lim sup$ や $lim inf$ の下には，慣習などにより様々な式が書かれることがある．後述の例も参照せよ．

下極限

\leq

上極限

$(Λ, ⪯)$ を有向集合， $(X, \leq)$ を完備束とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $X$ 上のネットとする．
このとき，次式が成り立つ：
$\underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} \leq \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} .$

$λ, μ \in Λ$ を任意に取る．このとき ${λ, μ}$ の上界 $ν \in Λ$ を取れば
$inf_{ξ ⪰ λ} x_{ξ} \leq x_{ν} \leq sup_{ξ ⪰ μ} x_{ξ}$
が成り立つから，まず $μ$ の任意性より
$inf_{ξ ⪰ λ} x_{ξ} \leq inf_{μ \in Λ} (sup_{ξ ⪰ μ} x_{ξ}) = \underset{μ \in Λ}{lim sup} x_{μ}$
となり，次に $λ$ の任意性より
$\underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} = sup_{λ \in Λ} (inf_{ξ ⪰ λ} x_{ξ}) \leq \underset{μ \in Λ}{lim sup} x_{μ}$
を得る．

順序の保存

$(Λ, ⪯)$ を有向集合， $(X, \leq)$ を完備束とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ}$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $X$ 上のネットとする．
このとき，任意の $λ \in Λ$ に対して $x_{λ} \leq y_{λ}$ が成り立つならば，次式が成り立つ：
$\underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} \leq \underset{λ \in Λ}{lim sup} y_{λ}, \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} \leq \underset{λ \in Λ}{lim inf} y_{λ} .$

$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} & = inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} x_{μ}) \leq inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} y_{μ}) = \underset{λ \in Λ}{lim sup} y_{λ}, \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} & = sup_{λ \in Λ} (inf_{μ ⪰ λ} x_{μ}) \leq sup_{λ \in Λ} (inf_{μ ⪰ λ} y_{μ}) = \underset{λ \in Λ}{lim inf} y_{λ} . \end{aligned}$

部分ネットの上極限・下極限

$(Λ, ⪯_{Λ}), (M, ⪯_{M})$ を有向集合， $(X, \leq)$ を完備束とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $X$ 上のネットとする．
このとき， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ の部分ネット $(x_{ϕ (μ)})_{μ \in M}$ に対して
$\underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} \leq \underset{μ \in M}{lim inf} x_{ϕ (μ)} \leq \underset{μ \in M}{lim sup} x_{ϕ (μ)} \leq \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ}$
が成り立つ．

$λ \in Λ$ を任意に取ると，まず部分ネットの定義から「 $μ ⪯ ν$ を満たす任意の $ν \in M$ に対して $λ ⪯ ϕ (ν)$ が成り立つ」という性質を満たす $μ \in M$ が存在する．この取り方から ${x_{ϕ (ν)} ∣ ν ⪰ μ} \subset {x_{ξ} ∣ ξ ⪰ λ}$ が成り立つので
$inf_{μ \in M} (sup_{ν ⪰ μ} x_{ϕ (ν)}) \leq sup_{ν ⪰ μ} x_{ϕ (ν)} \leq sup_{ξ ⪰ λ} x_{ξ}$
となる．すると， $λ \in Λ$ の任意性より
$\underset{μ \in M}{lim sup} x_{ϕ (μ)} \leq inf_{λ \in Λ} (sup_{ξ ⪰ λ} x_{ξ}) = \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ}$
を得る．下極限についても同様．

$(Λ, ⪯)$ を有向集合， $(X, \leq)$ を完備束をなす全順序集合， $a \in X$ とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $X$ 上のネットとする．
このとき
$\underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} = \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} = a$
が成り立つならば， $a$ を含む任意の開区間 $I$ に対して「 $λ_{I} ⪯ λ$ を満たす任意の $λ \in Λ$ に対して $x_{λ} \in I$ が成り立つ」という性質を満たす $λ_{I} \in Λ$ が存在することを示せ．

解答例

$a$ を含む開区間 $I = (b, c)$ を任意に取る．このとき，まず
$a = \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} = inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} x_{μ}) < c$
より，ある $λ_{1} \in Λ$ が存在して $sup_{μ ⪰ λ_{1}} x_{μ} < c$ が成り立つ．また
$a = \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} = sup_{λ \in Λ} (inf_{μ ⪰ λ} x_{μ}) > b$
より，ある $λ_{2} \in Λ$ が存在して $inf_{μ ⪰ λ_{2}} x_{μ} > b$ が成り立つ．そこで ${λ_{1}, λ_{2}}$ の上界 $λ_{I} \in Λ$ を取れば， $λ_{I} ⪯ λ$ を満たす任意の $λ \in Λ$ に対して $b < x_{λ} < c$ つまり $x_{λ} \in I$ が成り立つ．

(t x_{λ})_{λ \in Λ}

の上極限・下極限 (

t > 0

)

$(Λ, ⪯)$ を有向集合とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $\overset{―}{R}$ 上のネットとする．
このとき，正の実数 $t$ に対して次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} (t x_{λ}) & = t \cdot \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ}, \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} (t x_{λ}) & = t \cdot \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} . \end{aligned}$

$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} (t x_{λ}) & = inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} (t x_{μ})) = inf_{λ \in Λ} (t \cdot sup_{μ ⪰ λ} x_{μ}) = t \cdot inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} x_{μ}) = t \cdot \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ}, \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} (t x_{λ}) & = sup_{λ \in Λ} (inf_{μ ⪰ λ} (t x_{μ})) = sup_{λ \in Λ} (t \cdot inf_{μ ⪰ λ} x_{μ}) = t \cdot sup_{λ \in Λ} (inf_{μ ⪰ λ} x_{μ}) = t \cdot \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} . \end{aligned}$

(- x_{λ})_{λ \in Λ}

の上極限・下極限

$(Λ, ⪯)$ を有向集合とし， $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $\overset{―}{R}$ 上のネットとする．
このとき，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} (- x_{λ}) & = - \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ}, \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} (- x_{λ}) & = - \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} . \end{aligned}$

$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} (- x_{λ}) & = inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} (- x_{μ})) = inf_{λ \in Λ} (- inf_{μ ⪰ λ} x_{μ}) = - sup_{λ \in Λ} (inf_{μ ⪰ λ} x_{μ}) = - \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ}, \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} (- x_{λ}) & = sup_{λ \in Λ} (inf_{μ ⪰ λ} (- x_{μ})) = sup_{λ \in Λ} (- sup_{μ ⪰ λ} x_{μ}) = - inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} x_{μ}) = - \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} . \end{aligned}$

(x_{λ} + y_{λ})_{λ \in Λ}

の上極限・下極限（その１）

$(Λ, ⪯)$ を有向集合とし，有界な写像 $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ} : Λ \to R$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $\overset{―}{R}$ 上のネットとみなす．
このとき，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} (x_{λ} + y_{λ}) & \leq \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} + \underset{λ \in Λ}{lim sup} y_{λ}, \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} (x_{λ} + y_{λ}) & \geq \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} + \underset{λ \in Λ}{lim inf} y_{λ} . \end{aligned}$

$(sup_{μ ⪰ λ} x_{μ})_{λ \in Λ}, (sup_{μ ⪰ λ} y_{μ})_{λ \in Λ}$ が有界かつ単調減少であることに注意すれば
$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} (x_{λ} + y_{λ}) & = inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} (x_{μ} + y_{μ})) \\ \leq inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} x_{μ} + sup_{μ ⪰ λ} y_{μ}) \\ = inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} x_{μ}) + inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} y_{μ}) \\ = \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} + \underset{λ \in Λ}{lim sup} y_{λ} . \end{aligned}$
下極限についても同様に示せる．

(x_{λ} + y_{λ})_{λ \in Λ}

の上極限・下極限（その２）

$(Λ, ⪯)$ を有向集合とし，有界な写像 $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ} : Λ \to R$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $\overset{―}{R}$ 上のネットとみなす．
このとき，次式が成り立つ：
$\begin{array}{r} \underset{λ \in Λ}{lim inf} (x_{λ} + y_{λ}) \leq \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} + \underset{λ \in Λ}{lim sup} y_{λ} \leq \underset{λ \in Λ}{lim sup} (x_{λ} + y_{λ}) \end{array}$

2つ目の不等号については
$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} y_{λ} & = \underset{λ \in Λ}{lim sup} ((x_{λ} + y_{λ}) - x_{λ}) \\ \leq \underset{λ \in Λ}{lim sup} (x_{λ} + y_{λ}) + \underset{λ \in Λ}{lim sup} (- x_{λ}) \\ = \underset{λ \in Λ}{lim sup} (x_{λ} + y_{λ}) - \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} \end{aligned}$
として，両端辺に実数 $\underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ}$ を足せばよい．1つ目の不等号も同様に示せる．

(x_{λ} + y_{λ})_{λ \in Λ}

の上極限・下極限（その３）

$(Λ, ⪯)$ を有向集合とし，有界な写像 $(x_{λ})_{λ \in Λ}, (y_{λ})_{λ \in Λ} : Λ \to R$ を $(Λ, ⪯)$ で添字づけられた $\overset{―}{R}$ 上のネットとみなす．このとき，
$\underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} = \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ}$
であれば，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} (x_{λ} + y_{λ}) & = \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} + \underset{λ \in Λ}{lim sup} y_{λ}, \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} (x_{λ} + y_{λ}) & = \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} + \underset{λ \in Λ}{lim inf} y_{λ} . \end{aligned}$

一般に
$\begin{array}{r} \underset{λ \in Λ}{lim inf} x_{λ} + \underset{λ \in Λ}{lim sup} y_{λ} \leq \underset{λ \in Λ}{lim sup} (x_{λ} + y_{λ}) \leq \underset{λ \in Λ}{lim sup} x_{λ} + \underset{λ \in Λ}{lim sup} y_{λ} \end{array}$
が成り立つが，仮定より上の不等号はすべて等号となる．下極限についても同様に示せる．

例１：実数列の上極限・下極限

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ を $\overset{―}{R}$ 上のネットとみなして上極限・下極限を考えれば，よく知られた定義式
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} & := inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{k}), \\ \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} & := sup_{n \geq 0} (inf_{k \geq n} a_{k}) \end{aligned}$
が得られます．

例２：関数の上極限・下極限

実数列だけではなく，関数の上極限・下極限を考えることもあります．
まず次の定義を思い出しておきましょう．

集積点

距離空間 $(Λ, d)$ と $Λ$ の部分集合 $M$ および点 $a \in Λ$ について， $a$ が $M$ の集積点であるとは，任意の正実数 $ε$ に対してある $μ \in M$ が存在して $0 < d (μ, a) \leq ε$ が成り立つことをいう．

さて，距離空間 $(Λ, d)$ の部分集合 $M$ 上で定義された関数 $f : M \to R$ と $M$ の集積点 $a \in Λ$ について，まず $M ∖ {a}$ を前順序
$μ ⪯ ν ⟺ d (μ, a) \geq d (ν, a)$
によって有向集合とみなします．すると $f$ は（定義域の制限と終域の拡張により） $M ∖ {a}$ で添字づけられた $\overset{―}{R}$ 上のネットとみなせるので，その上極限・下極限を考えれば
$\begin{aligned} \underset{μ \to a}{lim sup} f (μ) & := inf_{μ \in M ∖ {a}} (sup_{\begin{array}{c} ν \in M ∖ {a} \\ d (ν, a) \leq d (μ, a) \end{array}} f (ν)), \\ \underset{μ \to a}{lim inf} f (μ) & := sup_{μ \in M ∖ {a}} (inf_{\begin{array}{c} ν \in M ∖ {a} \\ d (ν, a) \leq d (μ, a) \end{array}} f (ν)) \end{aligned}$
となります．

距離空間 $(Λ, d)$ と， $Λ$ の部分集合 $M$ および $M$ の集積点 $a \in Λ$ について，先述の通り $M ∖ {a}$ 上の前順序 $⪯$ を
$μ ⪯ ν ⟺ d (μ, a) \geq d (ν, a)$
で定める．このとき， $(M ∖ {a}, ⪯)$ が有向集合になることを示せ．
（注意：例：距離と基点が定める前順序とは違い，有限部分集合の上界として $a$ を取ることはできない）

解答例

$M ∖ {a}$ の2元 $μ_{1}, μ_{2}$ を任意に取ると， $ε := min ({d (μ_{1}, a), d (μ_{2}, a)}) > 0$ である．すると $a$ が $M$ の集積点であることから $0 < d (μ^{*}, a) \leq ε$ を満たす $μ^{*} \in M$ が存在し， $ε$ の取り方から $μ^{*} ⪰ μ_{1}$ かつ $μ^{*} ⪰ μ_{2}$ が成り立つ．すなわち， $μ^{*}$ は ${μ_{1}, μ_{2}}$ の上界である．

さらに $a$ が集積点であることから， $d (μ, a) = ε$ と置き換えた次の表示も得られます．

この例の状況で，次式が成り立つ．
$\begin{aligned} \underset{μ \to a}{lim sup} f (μ) & = inf_{ε > 0} (sup_{\begin{array}{c} ν \in M \\ 0 < d (ν, a) \leq ε \end{array}} f (ν)), \\ \underset{μ \to a}{lim inf} f (μ) & = sup_{ε > 0} (inf_{\begin{array}{c} ν \in M \\ 0 < d (ν, a) \leq ε \end{array}} f (ν)) \end{aligned}$

上極限の方だけ証明する．正実数 $ε$ に対して
$s_{ε} := sup_{\begin{matrix} ν \in M \\ 0 < d (ν, a) \leq ε \end{matrix}} f (ν)$
とおき， $inf_{μ \in M ∖ {a}} s_{d (μ, a)} = inf_{ε > 0} s_{ε}$ を示せばよい．まず ${s_{d (μ, a)} ∣ μ \in M ∖ {a}} \subset {s_{ε} ∣ ε > 0}$ より
$inf_{μ \in M ∖ {a}} s_{d (μ, a)} \geq inf_{ε > 0} s_{ε}$
が成り立つ．また正実数 $ε$ を任意に取ると， $a$ が $M$ の集積点であることから $0 < d (μ, a) \leq ε$ を満たす $μ \in M$ が取れる．すると
$inf_{μ \in M ∖ {a}} s_{d (μ, a)} \leq s_{d (μ, a)} \leq s_{ε}$
となるから， $ε$ の任意性より
$inf_{μ \in M ∖ {a}} s_{d (μ, a)} \leq inf_{ε > 0} s_{ε}$
も示された．

上の条件式 $0 < d (ν, a) \leq ε$ は， $0 < d (ν, a) < ε$ に置き換えても良い．

$(Λ, d)$ を距離空間とし， $M$ を $Λ$ の部分集合， $a \in Λ$ を $M$ の集積点とする．
また， $M ∖ {a}$ 上の点列 $(μ_{n})_{n \in N}$ は $a$ に収束する，つまり
$\underset{n \to \infty}{lim sup} d (μ_{n}, a) \leq 0$
を満たすものとする．このとき，次のことを示せ．

任意の $μ \in M ∖ {a}$ に対してある $N \in N$ が存在して， $N \leq n$ を満たす任意の $n \in N$ に対して $μ ⪯ μ_{n}$ が成り立つ．
完備束 $(X, \leq)$ と写像 $f : M \to X$ に対して，次の不等式が成り立つ：
$\underset{μ \to a}{lim inf} f (μ) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} f (μ_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} f (μ_{n}) \leq \underset{μ \to a}{lim sup} f (μ) .$

実数列の極限を上極限で定義するで示した通り，任意の $ε > 0$ に対してある $N^{'} \in N$ が存在して， $N^{'} \leq n$ を満たす任意の $n \in N$ に対して $d (μ_{n}, a) \leq ε$ が成り立つ．この性質を，任意に取った $μ \in M ∖ {a}$ に対して $ε := d (μ, a)$ とおいて使えばよい．
(1)より $(f (μ_{n}))_{n \in N}$ は $(f (μ))_{μ \in M ∖ {a}}$ の部分ネットである．

例３：集合列の上極限・下極限

ここでは，集合 $X$ の冪集合 $2^{X}$ を包含関係
$S \leq T ⟺ S \subset T$
によって半順序集合とみなします．このとき， $2^{X}$ は完備束です．

上限・下限の存在

$X$ を集合とし，冪集合 $2^{X}$ を包含関係によって半順序集合とみなす．
このとき， $2^{X}$ の任意の部分集合 $S$ は上限と下限をもち，
$\begin{aligned} sup (S) & = ⋃ S, inf (S) = ⋂ S \end{aligned}$
が成り立つ．

下記2点より， $sup (S) = ⋃ S$ が成り立つ．

$⋃ S$ が $S$ の上界であること
$S \in S$ を任意に取る．このとき，任意の $s \in S$ に対して $s \in ⋃ S$ が成り立つから， $S \subset ⋃ S$ が成り立つ．よって $⋃ S$ は $S$ の上界である．
$⋃ S$ が $S$ の上界の最小元であること
$S$ の上界 $T \in 2^{X}$ と $x \in ⋃ S$ を任意に取る．このとき， $x \in S$ を満たす $S \in S$ が存在するから， $S \subset T$ より $x \in T$ となる．よって $⋃ S \subset T$ だから， $⋃ S$ は $S$ の上界の最小元である．

$inf (S) = ⋂ S$ についても同様に示せる．

集合 $X$ の部分集合族 $(S_{λ})_{λ \in Λ}$ は，添字集合 $Λ$ が有向集合であれば $2^{X}$ 上のネットなので，上極限と下極限を定義することができます．
特に $Λ = N$ の場合，これはよく知られた「集合列の上極限・下極限」の定義と一致します．

$(Λ, ⪯)$ を有向集合， $X$ を集合とし， $(S_{λ})_{λ \in Λ}$ を $2^{X}$ 上のネットとする．
このとき，次式が成り立つ．
$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} S_{λ} & = ⋂_{λ \in Λ} (⋃_{μ ⪰ λ} S_{μ}), \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} S_{λ} & = ⋃_{λ \in Λ} (⋂_{μ ⪰ λ} S_{μ}) . \end{aligned}$

前命題より
$\begin{aligned} \underset{λ \in Λ}{lim sup} S_{λ} & = inf_{λ \in Λ} (sup_{μ ⪰ λ} S_{μ}) = ⋂_{λ \in Λ} (⋃_{μ ⪰ λ} S_{μ}), \\ \underset{λ \in Λ}{lim inf} S_{λ} & = sup_{λ \in Λ} (inf_{μ ⪰ λ} S_{μ}) = ⋃_{λ \in Λ} (⋂_{μ ⪰ λ} S_{μ}) . \end{aligned}$

例４：リーマン和

$I = [a, b]$ を有界閉区間とするとき，
$a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$
なる有限集合 $Δ = {x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}}$ を $I$ の分割といい，さらに $ξ_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}] (i = 1, 2, \dots, n)$ を満たす有限列 $ξ : ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}$ を $Δ$ の代表点というのでした． $I$ の分割とその代表点の組 $(Δ, ξ)$ 全体の集合 $Λ$ を
$(Δ, ξ) ⪯ (Δ^{'}, ξ^{'}) ⟺ Δ \subset Δ^{'}$
によって有向集合とみなせば，有界関数 $f : I \to R$ の $(Δ, ξ) \in Λ$ によるリーマン和
$S (f; Δ; ξ) := \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$
は（ $f$ を固定したとき） $Λ$ で添字づけられた $\overset{―}{R}$ 上のネットとみなせるので，その上極限・下極限を考えることができます．

この例の状況で， $Λ$ が有向集合になることを示せ．

解答例

$Λ$ の任意の2元 $(Δ_{1}, ξ_{1}), (Δ_{2}, ξ_{2})$ に対して，次のように定める $(Δ, ξ)$ が ${(Δ_{1}, ξ_{1}), (Δ_{2}, ξ_{2})}$ の上界となる．

$Δ := Δ_{1} \cup Δ_{2}$ .
$ξ$ は（どのように取っても良いが，たとえば） $Δ$ の各小区間から左端点を取ったものとする．

この例の状況で，各 $(Δ, ξ) \in Λ$ に対して次式が成り立つ．（右辺は代表点 $ξ$ の取り方によらない）
$\begin{aligned} sup_{(Δ^{'}, ξ^{'}) ⪰ (Δ, ξ)} S (f; Δ^{'}; ξ^{'}) & = \sum_{i = 1}^{n} (sup_{x \in [x_{i - 1}, x_{i}]} f (x)) (x_{i} - x_{i - 1}), \\ inf_{(Δ^{'}, ξ^{'}) ⪰ (Δ, ξ)} S (f; Δ^{'}; ξ^{'}) & = \sum_{i = 1}^{n} (inf_{x \in [x_{i - 1}, x_{i}]} f (x)) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{aligned}$

上限の方だけ示す．右辺が
$A := {S (f; Δ^{'}; ξ^{'}) ∣ (Δ^{'}, ξ^{'}) \in Λ, (Δ^{'}, ξ^{'}) ⪰ (Δ, ξ)}$
の上限であることが次の2点により示される．

$A$ の上界であること
$(Δ^{'}, ξ^{'}) ⪰ (Δ, ξ)$ を満たす $(Δ^{'}, ξ^{'}) \in Λ$ を任意に取り， $(Δ^{'}, ξ^{'})$ を $Δ$ の各小区間 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ の分割・代表点とみなしたものを $(Δ_{i}^{'}, ξ_{i}^{'})$ と書くことにする．このとき，リーマン和の簡単な評価 $S (f, Δ, ξ) \leq (sup_{x \in I} f (x)) (b - a)$ から次の不等式を得る：
$\begin{array}{r} S (f; Δ^{'}; ξ^{'}) = \sum_{i = 1}^{n} S (f; Δ_{i}^{'}; ξ_{i}^{'}) \leq \sum_{i = 1}^{n} (sup_{x \in [x_{i - 1}, x_{i}]} f (x)) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{array}$
$A$ の上界の最小元であること
$ε > 0$ を任意に取る．このとき $Δ$ の各小区間 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ において
$sup_{x \in [x_{i - 1}, x_{i}]} f (x) - \frac{ε}{n (x_{i} - x_{i - 1})} < f (ξ_{i}^{'})$
を満たす $ξ_{i}^{'} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ を1つずつ取ることによって $Δ$ の代表点 $ξ^{'}$ を構成でき，この取り方から $S (f; Δ; ξ^{'}) - ε < S (f; Δ, ξ)$ が成り立つ．

上の命題から，リーマン和の上極限・下極限は次のように表せます．

リーマン和の上極限・下極限

この例の状況で，次式が成り立つ．
$\begin{aligned} \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} S (f; Δ; ξ) & = inf_{Δ : I の分割} (\sum_{i = 1}^{n} (sup_{x \in [x_{i - 1}, x_{i}]} f (x)) (x_{i} - x_{i - 1})) =: \overset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x, \\ \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} S (f; Δ; ξ) & = sup_{Δ : I の分割} (\sum_{i = 1}^{n} (inf_{x \in [x_{i - 1}, x_{i}]} f (x)) (x_{i} - x_{i - 1})) =: \underset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x \end{aligned}$
上極限 $\overset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ を $f$ の上ダルブー積分といい，下極限 $\underset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ を $f$ の下ダルブー積分という．

有界閉区間 $[a, b]$ 上の有界関数 $f : [a, b] \to R$ に対して，その上ダルブー積分 $\overset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ と下ダルブー積分 $\underset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ は，実数としてそれぞれ必ず存在する．

有界閉区間上の有界関数 $f, g : [a, b] \to R$ と実数 $r \in R$ に対して，次のことを示せ．

$[a, b]$ の分割 $Δ$ とその代表点 $ξ$ に対して，次の等式が成り立つ．
$S (f + g; Δ; ξ) = S (f; Δ; ξ) + S (g; Δ; ξ), S (r f; Δ; ξ) = r S (f; Δ; ξ) .$
次の不等式が成り立つ．
$\overset{―}{\int_{a}^{b}} (f (x) + g (x)) d x \leq \overset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x + \overset{―}{\int_{a}^{b}} g (x) d x, \underset{―}{\int_{a}^{b}} (f (x) + g (x)) d x \geq \underset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x + \underset{―}{\int_{a}^{b}} g (x) d x .$
$r > 0$ のとき，次の等式が成り立つ．
$\overset{―}{\int_{a}^{b}} r f (x) d x = r \overset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x, \underset{―}{\int_{a}^{b}} r f (x) d x = r \underset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x .$
$r < 0$ のとき，次の等式が成り立つ．
$\overset{―}{\int_{a}^{b}} r f (x) d x = r \underset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x, \underset{―}{\int_{a}^{b}} r f (x) d x = r \overset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x .$

$\begin{aligned} S (f + g; Δ; ξ) & = \sum_{i = 1}^{n} (f (ξ_{i}) + g (ξ_{i})) (x_{i} - x_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) + \sum_{i = 1}^{n} g (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) = S (f; Δ; ξ) + S (g; Δ; ξ), \\ S (r f; Δ; ξ) & = \sum_{i = 1}^{n} r f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) = r \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) = r S (f; Δ; ξ) . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \overset{―}{\int_{a}^{b}} (f (x) + g (x)) d x & = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} S (f + g; Δ; ξ) = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} (S (f; Δ; ξ) + S (g; Δ; ξ)) \leq \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} S (f; Δ; ξ) + \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} S (g; Δ; ξ) = \overset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x + \overset{―}{\int_{a}^{b}} g (x) d x, \\ \underset{―}{\int_{a}^{b}} (f (x) + g (x)) d x & = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} S (f + g; Δ; ξ) = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} (S (f; Δ; ξ) + S (g; Δ; ξ)) \geq \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} S (f; Δ; ξ) + \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} S (g; Δ; ξ) = \underset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x + \underset{―}{\int_{a}^{b}} g (x) d x . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \overset{―}{\int_{a}^{b}} r f (x) d x & = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} S (r f; Δ; ξ) = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} (r S (f; Δ; ξ)) = r \cdot \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} S (f; Δ; ξ) = r \overset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x, \\ \underset{―}{\int_{a}^{b}} r f (x) d x & = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} S (r f; Δ; ξ) = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} (r S (f; Δ; ξ)) = r \cdot \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} S (f; Δ; ξ) = r \underset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \overset{―}{\int_{a}^{b}} r f (x) d x & = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} S (r f; Δ; ξ) = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} (r S (f; Δ; ξ)) = r \cdot \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} S (f; Δ; ξ) = r \underset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x, \\ \underset{―}{\int_{a}^{b}} r f (x) d x & = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} S (r f; Δ; ξ) = \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim inf} (r S (f; Δ; ξ)) = r \cdot \underset{(Δ, ξ) \in Λ}{lim sup} S (f; Δ; ξ) = r \overset{―}{\int_{a}^{b}} f (x) d x . \end{aligned}$