級数を積分にする

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級数を積分にする

どうも、らららです。
前書いた記事での解法、一般化できそうだったのでしました。

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n} = f (x)$ とすると、
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} 2^{2 n} (n!)^{2}}{n (2 n)!} = \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{x \sqrt{1 - x}} d x$ が成り立つ。

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} 2^{2 n} (n!)^{2}}{n (2 n)!} & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} \frac{n!}{n} \sqrt{π}}{\frac{(2 n)!}{2^{2 n} n!} \sqrt{π}} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} Γ (n) Γ (\frac{1}{2})}{Γ (n + \frac{1}{2})} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} B (n, \frac{1}{2}) \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{a_{n} x^{n}}{x \sqrt{1 - x}} d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{1}{x \sqrt{1 - x}} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n} d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{x \sqrt{1 - x}} d x \end{aligned}$

$a_{n}$ の条件は…この変形ができる $a_{n}$ です🙃

$β_{n} = \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}}$ を用いれば
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n β_{n}}$ とも書けますね。

最後にある級数を解こうと思います。

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2} β_{n}} = - 2 \log^{2} (1 + \sqrt{2})$

$a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n}$ として命題1を用いる。
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{n}}{n} = - \log (x + 1)$ なので命題1における $f (x)$ は $- \log (x + 1)$ となる。
$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2} β_{n}} & = - \int_{0}^{1} \frac{\log (x + 1)}{x \sqrt{1 - x}} d x \\ = - 2 \log^{2} (1 + \sqrt{2}) \end{aligned}$