第2種超球関数のLaplace型積分表示
第2種超球関数
は
\begin{align}
D_{\nu}^{(a)}(\cos\theta)&:=\frac{2\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\nu+1)}(2\sin\theta)^{1-2a}\sum_{0\leq k}\frac{(\nu+1,1-a)_k}{k!(a+\nu+1)_k}\cos(\nu+2k+1)\theta
\end{align}
によって定義される.
前の記事
で, 第1種超球関数$C_{\nu}^{(a)}(x)$のLaplace型積分表示を示したが, 今回は第2種超球関数のLaplace型積分表示を示す.
\begin{align}
\frac{\pi\sin^{2a-1}\theta }{\sin\pi a}D_{\nu}^{(a)}(\cos\theta)&=\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t}{(\cos\theta+i\sin\theta\cosh t)^{\nu+1}}\,dt\\
&\qquad +\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t}{(\cos\theta-i\sin\theta\cosh t)^{\nu+1}}\,dt
\end{align}
が成り立つ.
まず,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t}{(\cos\theta+i\sin\theta\cosh t)^{\nu+1}}\,dt\\
&=\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t}{\left(e^{i\theta}\frac{1+\cosh t}2+e^{-i\theta}\frac{1-\cosh t}2\right)^{\nu+1}}\,dt\\
&=2^{1-2a}e^{-i(\nu+1)\theta}\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} \frac t2\cosh^{1-2a}\frac t2}{\left(\cosh^2\frac t2-e^{-2i\theta}\sinh^2\frac t2\right)^{\nu+1}}\,dt\\
&=2^{2-2a}e^{-i(\nu+1)\theta}\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t\cosh^{1-2a}t}{\left(\cosh^2t-e^{-2i\theta}\sinh^2t\right)^{\nu+1}}\,dt\\
\end{align}
である. ここで,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t\cosh^{1-2a}t}{\left(\cosh^2t-e^{-2i\theta}\sinh^2t\right)^{\nu+1}}\,dt\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(\nu+1)_n}{n!}e^{-2in\theta}\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a+2n} t}{\cosh^{2\nu+2a+2n+1}t}\,dt\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(\nu+1)_n}{n!}e^{-2in\theta}\int_0^{\infty}\frac{u^{1-2a+2n}}{(1+u^2)^{\nu+a+1+n}}\,du\qquad u=\sinh t\\
&=\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(-\nu-1)_n}{n!}e^{-2in\theta}\int_0^{\infty}\frac{u^{-a+n}}{(1+u)^{\nu+a+1+n}}\,du\qquad u^2\mapsto u\\
&=\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(\nu+1)_n}{n!}e^{-2in\theta}\frac{\Gamma(1-a+n)\Gamma\left(\nu+2a\right)}{\Gamma\left(\nu+a+1+n\right)}\\
&=\frac{\Gamma(1-a)\Gamma\left(\nu+2a\right)}{2\Gamma\left(\nu+a+1\right)}\F21{\nu+1,1-a}{\nu+a+1}{e^{-2i\theta}}
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t}{(\cos\theta+i\sin\theta\cosh t)^{\nu+1}}\,dt\\
&=2^{1-2a}e^{-i(\nu+1)\theta}\frac{\Gamma(1-a)\Gamma\left(\nu+2a\right)}{\Gamma\left(\nu+a+1\right)}\F21{\nu+1,1-a}{\nu+a+1}{e^{-2i\theta}}
\end{align}
である. 同様に
\begin{align}
&\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t}{(\cos\theta-i\sin\theta\cosh t)^{\nu+1}}\,dt\\
&=2^{1-2a}e^{i(\nu+1)\theta}\frac{\Gamma(1-a)\Gamma\left(\nu+2a\right)}{\Gamma\left(\nu+a+1\right)}\F21{\nu+1,1-a}{\nu+a+1}{e^{2i\theta}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t}{(\cos\theta+i\sin\theta\cosh t)^{\nu+1}}\,dt+\int_0^{\infty}\frac{\sinh^{1-2a} t}{(\cos\theta-i\sin\theta\cosh t)^{\nu+1}}\,dt\\
&=2^{2-2a}\frac{\Gamma(1-a)\Gamma\left(\nu+2a\right)}{\Gamma\left(\nu+a+1\right)}\sum_{0\leq n}\frac{(\nu+1,1-a)_n}{n!(\nu+a+1)_n}\cos(\nu+2n+1)\theta\\
&=\frac{\pi\sin^{2a-1}\theta }{\sin\pi a}D_{\nu}^{(a)}(\cos\theta)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
第2種Legendre関数
第2種Legendre関数を
\begin{align}
Q_{\nu}(x):=D_{\nu}^{\left(\frac 12\right)}(x)
\end{align}
によって定義すると(これに$\frac{\pi}2$を掛けたものを$Q_{\nu}(x)$と書くことが多いので注意), 定理1より以下が得られる.
\begin{align}
&\pi Q_{\nu}(\cos\theta)=\int_0^{\infty}\frac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta\cosh t)^{\nu+1}}\,dt+\int_0^{\infty}\frac{1}{(\cos\theta-i\sin\theta\cosh t)^{\nu+1}}\,dt
\end{align}
が成り立つ.
