Kampé de Fériet型のWatson, Whippleの和公式
Kampé de Fériet型の超幾何級数は
\begin{align}
\sum_{0\leq m,n}\frac{(a_1,\dots,a_r)_m}{m!(b_1,\dots,b_s)_m}\frac{(c_1,\dots,c_t)_n}{n!(d_1,\dots,d_u)_n}\frac{(e_1,\dots,e_v)_{m+n}}{(f_1,\dots,f_w)_{m+n}}x^my^n
\end{align}
の形をした二重超幾何級数である. 今回はこの形のWatson, Whippleの和公式の類似についてまとめたいと思う.
Watsonの和公式の類似
まず, Kampé de Fériet型のWatsonの和公式の類似として, Singalの和公式 が知られている. それは以下のように表される.
$b+b'=\frac 12+a$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l}\frac{(a,2b,2c)_k}{k!\left(b+c+\frac 12\right)_k}\frac{(a,2b',2c')_l}{l!\left(b'+c'+\frac 12\right)_l}\frac 1{(2a)_{k+l}}\\
&=\frac{\Gamma\left(2a\right)\Gamma\left(b+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c'+\frac12\right)\Gamma(b'-c)\Gamma(b-c')}{\Gamma(a)\Gamma(2b)\Gamma(2b')\Gamma\left(\frac 12+a-c-c'\right)\Gamma\left(\frac 12+c+c'\right)}
\end{align}
前の記事( SingalによるWatsonの3F2和公式の二重類似 )の定理1において, $a=b+c+b'+c'$とすると, 右辺の${}_7F_6$がbalancedになり, 2つの項をまとめて non-terminating Dougallの和公式 で総和でき, 以下が得られる.
$a=b+c+b'+c'$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l}\frac{(a,2b,2c)_k}{k!\left(b+c+\frac 12\right)_k}\frac{(a,2b',2c')_l}{l!\left(b'+c'+\frac 12\right)_l}\frac 1{(2a)_{k+l}}\\
&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma\left(b+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c'+\frac 12\right)}{\Gamma\left(b+b'+\frac 12\right)\Gamma\left(c+c'+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b+c'+\frac 12\right)}
\end{align}
が成り立つ.
これはSingalの結果の特殊化となっているような定理1の類似であるが, Singalの論文には現れていないようである.
前の記事(
二次変換公式から従う2F1の積を含む積分
)の定理4において, $a,b,d,e$を$2c,2b,2c',2b'$として, あらためて$b+b'=\frac 12+a$とすると,
\begin{align}
&\int_0^1(x(1-x))^{a-1}\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{x}\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}x\,dx\\
&=\frac{\Gamma\left(b+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c'+\frac 12\right)\Gamma(b'-c)\Gamma(b-c')\Gamma\left(\frac 12-c-c'\right)\Gamma(a)}{\pi\Gamma(2b)\Gamma(2b')\Gamma\left(\frac 12+a-c-c'\right)}\cos\pi(c-c')
\end{align}
となる. 左辺は項別積分により,
\begin{align}
&\int_0^1(x(1-x))^{a-1}\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{x}\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}x\,dx\\
&=\frac{\Gamma(a)^2}{\Gamma(2a)}\sum_{0\leq k,l}\frac{(2b,2c)_k}{k!\left(b+c+\frac 12\right)_k}\frac{(2b',2c')_l}{l!\left(b'+c'+\frac 12\right)_l}\frac{(a)_{k+l}}{(2a)_{k+l}}
\end{align}
と表されるから以下が得られる.
$b+b'=\frac 12+a$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l}\frac{(2b,2c)_k}{k!\left(b+c+\frac 12\right)_k}\frac{(2b',2c')_l}{l!\left(b'+c'+\frac 12\right)_l}\frac{(a)_{k+l}}{(2a)_{k+l}}\\
&=\frac{\Gamma(2a)\Gamma\left(b+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c'+\frac 12\right)\Gamma(b'-c)\Gamma(b-c')\Gamma\left(\frac 12-c-c'\right)}{\pi\Gamma(a)\Gamma(2b)\Gamma(2b')\Gamma\left(\frac 12+a-c-c'\right)}\cos\pi(c-c')
\end{align}
が成り立つ.
より一般に, 前の記事( SingalによるWatsonの3F2和公式の二重類似 )の定理1と同様に, Srivastavaの展開公式 を用いると以下が示される.
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(2b,2c)_k}{k!\left(b+c+\frac 12\right)_k}\frac{(2b',2c')_l}{l!\left(b'+c'+\frac 12\right)_l}\frac{(a)_{k+l}}{(2a)_{k+l}}\\ &=\frac{\pi\Gamma\left(b+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c'+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b-c\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b'-c'\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)^2}{\Gamma\left(b+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b\right)\Gamma\left(a+\frac 12-c\right)\Gamma\left(b'+\frac 12\right)\Gamma\left(c'+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b'\right)\Gamma\left(a+\frac 12-c'\right)}\\ &\cdot\F76{a-\frac 12,\frac a2+\frac 34,a,b,c,b',c'}{\frac a2-\frac 14,\frac 12,\frac 12+a-b,\frac 12+a-c,\frac 12+a-b',\frac 12+a-c'}1\\ &+\frac {2\pi\Gamma\left(b+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c'+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b-c\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b'-c'\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 32\right)}{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(b')\Gamma(c')\Gamma(1+a-b')\Gamma(1+a-c')}\\ &\cdot\F76{a+\frac 12,\frac a2+\frac 54,a,b+\frac 12,c+\frac 12,b'+\frac 12,c'+\frac 12}{\frac a2+\frac 14,\frac 32,1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c'}1 \end{align}
これは前の記事( SingalによるWatsonの3F2和公式の二重類似 )の定理1と第2項の符号が違っているので, 定理2のように$a=b+c+b'+c'$と特殊化した際にも non-terminating Dougallの和公式 では総和できないようである. 前の記事( SingalによるWatsonの3F2和公式の二重類似 )と全く同様にDougallの${}_5F_4$和公式を用いることで定理4から定理3を導くこともできる.
Whippleの和公式の類似
前の記事( 二次変換公式から従う2F1の積を含む積分 )の定理5の1つ目の積分を項別積分して整理すると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(a,1-a)_k}{k!(c)_k}\frac{(d,1-d)_l}{l!(e)_l}\frac{\left(\frac{a+d+c+e-3}2\right)_{k+l}}{(a+d-1)_{k+l}}\\ &=\frac{\Gamma(c)\Gamma(e)\Gamma\left(\frac{a+d+c-e-1}2\right)\Gamma\left(\frac{a+d+e-c-1}2\right)}{\pi\Gamma(a+c-1)\Gamma(d+e-1)}\cos\frac{\pi(a+e-c-d)}{2} \end{align}
前の記事( 二次変換公式から従う2F1の積を含む積分 )の定理5の2つ目の積分を$e\mapsto 2-e$とした後, 項別積分して整理すると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{\left(a,1-a,\frac{a+d+c-e-1}2\right)_k}{k!(c)_k}\frac{\left(d,1-d,\frac{a+d+e-c-1}2\right)_l}{l!(e)_l}\frac 1{(a+d-1)_{k+l}}\\ &=\frac{\Gamma(c)\Gamma(e)\Gamma\left(\frac{a+d+c+e-3}2\right)}{\Gamma\left(\frac{c+e-a-d+1}2\right)\Gamma(a+c-1)\Gamma(d+e-1)} \end{align}
このようなWhipple型の和公式についても, 定理2のような別の類似が得られるかは今後の研究課題である.
