文献あり

簡単な命題と置換群の定義

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ちょっとした命題

$G$ が群で $a, b, c \in G$ なら、次の(1)、(2)が成り立つ。
(1)(簡約法則) $a c = b c$ なら、 $a = b$
(2) $a b = c$ なら、 $a = c b^{- 1}, b = a^{- 1} c$

(1)

$a c = b c$ の両辺に右から $c^{- 1}$ をかければよい

(2)

$a b = c$ の両辺に右から $b^{- 1}$ をかけて $a = c b^{- 1}$ を得る。
同様に、 $b = a^{- 1} c$ を得る。

$G$ が群で $a, b, c \in G$ とする。この時 $a b = a c$ なら、 $b = c$ であることを証明せよ。

証明

$a b = a c$ の両辺に左から $a^{- 1}$ をかければよい

$G$ を群とする。
(1)群の単位元は一つに限る。
(2) $a \in G$ に対してその逆元は一意に定まる。
(3) $a, b \in G$ なら $(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$
(4) $a \in G$ なら $(a^{- 1})^{- 1} = a$

(1)

$e_{1}, e_{2}$ が単位元としての性質を満たしているとするとき、 $e_{1} e_{2} = e_{1}$ ( $e_{2}$ は単位元) $= e_{2}$ ( $e_{1}$ は単位元)
となり、単位元の一意性が確認できた。

(2)

$a \in G$ の逆元を $b_{1}, b_{2}$ とすると、 $b_{1} = (b_{2} a) b_{1} = b_{2} (a b_{1}) = b_{2}$

(3)

実際 $(b^{- 1} a^{- 1}) a b = b^{- 1} (a^{- 1} a) b = b^{- 1} b = 1$ 同様に $a b (b^{- 1} a^{- 1}) = 1$
したがって $a b$ の逆元は $b^{- 1} a^{- 1}$

(4)

$a a^{- 1} = a^{- 1} a = 1$ であるがこれを $(a^{- 1})^{- 1}$ を定義する関係式とみなすことができるので $a = (a^{- 1})^{- 1}$ である。

置換群と対称群

置換

$X$ を集合とするとき、 $X$ から $X$ への全単射写像 $σ : X \to X$ のことを $X$ の置換という。

$σ, τ$ を $X$ の置換とする。その積 $σ τ$ を写像としての合成 $σ \circ τ$ として定義する。
$X$ の置換全体は上で定義した演算により群となる。なお、単位元は恒等写像 ${id}_{X}$ であり、 $σ$ の逆元は写像としての逆写像 $σ^{- 1}$ である。結合法則は写像の合成について結合法則が成り立つことから従う。

置換群と対称群

集合 $X$ の置換全体からなる群を $X$ の置換群という。 $X_{n} = {1, 2, \dots, n}$ とするとき、 $X_{n}$ の置換を $n$ 次の置換という。 $n$ 次の置換全体からなる群を $S_{n}$ ( $S$ はドイツ文字の「S」)で表す。 $S_{n}$ を $n$ 次の対称群という。

$S_{n}$ の元を表すのに、 $1, 2, \dots, n$ の行き先を書いて

σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ σ (1) & σ (2) & \dots & σ (n) \end{matrix})

とも書く。一行目の順序は $1, 2, \dots, n$ でなくてもよいものとする。

σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{matrix})

は $4$ 次の置換で

1 \to 3, 2 \to 1, 3 \to 4, 4 \to 2

となっているものである。
さらに

τ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{matrix})

なら、

σ τ : \begin{array}{cc} 1 \to 2 \to 1 \\ 2 \to 3 \to 4 \\ 3 \to 1 \to 3 \\ 4 \to 4 \to 2 \end{array} τ^{- 1} : \begin{array}{cc} 2 \to 1 \\ 3 \to 2 \\ 1 \to 3 \\ 4 \to 4 \end{array}

となるので、

σ τ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{matrix}) τ^{- 1} = (\begin{matrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

である。

τ^{- 1}

は

τ

の上下を交換して整理したものである。

おわり

互換と巡回置換については後日追加しときます()
次回は部分群について書くと思います。

参考文献

[1]

雪江明彦, 群論入門, 代数学シリーズ, 日本評論社, 2010, 22~24p

[2]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Thu May 04 2023

投稿日：2023年5月4日

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