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分母に中央二項係数がある級数メモ

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級数メモ

どうも、らららです。
wataruさんの 記事 にでてきた級数を示したい。

n=122nn3(2nn)=π2log272ζ(3)

f(x)=n=1(2x)2nn3(2nn)f(x)=2xn=1(2x)2nn2(2nn)=4xarcsin2xf(1)=01f(x)dx=401arcsin2xxdx=40π2x2tanxdx=4[x2logsinx]0π280π2xlogsinxdx=80π2xlogsinxdx=8log20π2xdx+8n=11n0π2xcos2nxdx=π2log24n=01(2n+1)3=π2log272ζ(3)

ポリログでの解法ありそうですね

n=1(1)nn3(2nn)=25ζ(3)

f(x)=n=1(2x)2nn3(2nn)f(x)=2xn=1(2x)2nn2(2nn)=4xarcsin2xf(i2)=40i2arcsin2xxdx=4012(sinh1x)2xdx=40sinh112x2tanhxdx=4[12Li3(e2x)xLi2(e2x)+x33x2log(1e2x)]0sinh112=2Li3(ϕ2)4logϕLi2(ϕ2)+43log3ϕ4log3ϕ4iπlogϕ2Li3(1)=25ζ(3)

ポリログの計算は頑張ったらいけます

n=11n4(2nn)=173240π4

まめけびさんが解説の 記事 を書いてくれました
多重ゼータ値での解法もあるようです

やる気が出れば更新します

投稿日:2024219
更新日:2024316
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ららら
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適当に書きたいことを書きます。

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