分母に中央二項係数がある級数メモ

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級数メモ

どうも、らららです。
$wataru$ さんの記事にでてきた級数を示したい。

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{2 n}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})} = π^{2} \log 2 - \frac{7}{2} ζ (3)$

$\begin{aligned} f (x) & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 x)^{2 n}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})} \\ f^{'} (x) & = \frac{2}{x} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 x)^{2 n}}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} \\ = \frac{4}{x} \arcsin^{2} x \\ f (1) & = \int_{0}^{1} f^{'} (x) d x \\ = 4 \int_{0}^{1} \frac{\arcsin^{2} x}{x} d x \\ = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{x^{2}}{\tan x} d x \\ = 4 [x^{2} \log \sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} - 8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \log \sin x d x \\ = - 8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \log \sin x d x \\ = 8 \log 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} x d x + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos 2 n x d x \\ = π^{2} \log 2 - 4 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)^{3}} \\ = π^{2} \log 2 - \frac{7}{2} ζ (3) \end{aligned}$

ポリログでの解法ありそうですね

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})} = - \frac{2}{5} ζ (3)$

$\begin{aligned} f (x) & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 x)^{2 n}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})} \\ f^{'} (x) & = \frac{2}{x} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 x)^{2 n}}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} \\ = \frac{4}{x} \arcsin^{2} x \\ f (\frac{i}{2}) & = 4 \int_{0}^{\frac{i}{2}} \frac{\arcsin^{2} x}{x} d x \\ = - 4 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{(\sinh^{- 1} x)^{2}}{x} d x \\ = - 4 \int_{0}^{\sinh^{- 1} \frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{\tanh x} d x \\ = 4 {[\frac{1}{2} {Li}_{3} (e^{2 x}) - x {Li}_{2} (e^{2 x}) + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} \log (1 - e^{2 x})]}_{0}^{\sinh^{- 1} \frac{1}{2}} \\ = 2 {Li}_{3} (ϕ^{2}) - 4 \log ϕ {Li}_{2} (ϕ^{2}) + \frac{4}{3} \log^{3} ϕ - 4 \log^{3} ϕ - 4 i π \log ϕ - 2 {Li}_{3} (1) \\ = - \frac{2}{5} ζ (3) \end{aligned}$