どうも、らららです。wataruさんの 記事 にでてきた級数を示したい。
∑n=1∞22nn3(2nn)=π2log2−72ζ(3)
f(x)=∑n=1∞(2x)2nn3(2nn)f′(x)=2x∑n=1∞(2x)2nn2(2nn)=4xarcsin2xf(1)=∫01f′(x)dx=4∫01arcsin2xxdx=4∫0π2x2tanxdx=4[x2logsinx]0π2−8∫0π2xlogsinxdx=−8∫0π2xlogsinxdx=8log2∫0π2xdx+8∑n=1∞1n∫0π2xcos2nxdx=π2log2−4∑n=0∞1(2n+1)3=π2log2−72ζ(3)
ポリログでの解法ありそうですね
∑n=1∞(−1)nn3(2nn)=−25ζ(3)
f(x)=∑n=1∞(2x)2nn3(2nn)f′(x)=2x∑n=1∞(2x)2nn2(2nn)=4xarcsin2xf(i2)=4∫0i2arcsin2xxdx=−4∫012(sinh−1x)2xdx=−4∫0sinh−112x2tanhxdx=4[12Li3(e2x)−xLi2(e2x)+x33−x2log(1−e2x)]0sinh−112=2Li3(ϕ2)−4logϕLi2(ϕ2)+43log3ϕ−4log3ϕ−4iπlogϕ−2Li3(1)=−25ζ(3)
ポリログの計算は頑張ったらいけます
∑n=1∞1n4(2nn)=173240π4
まめけびさんが解説の 記事 を書いてくれました多重ゼータ値での解法もあるようです
やる気が出れば更新します
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