q超幾何級数のqモーメント3
前の記事 と その前の記事 で, 2つの定理を示した. それらをまとめると以下のようになる.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^n}
\end{align}
とする. このとき, $0\leq N$に対し,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\frac{cq}{abt}\right)^N\left(\mu(w)-\frac 1{cq}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}\left(\frac{abt}{cq}\right)^np(wq^n)\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w,b/w;q)_N}{(c/w,q/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1{w^2t}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(c/w,q/w;q)_n}{(a/w,b/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q^2}{t}\right)^np(wq^{-n-1})\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}(cq-tab+wq((c-tab)q^n+(a+b)t-c-q))\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}t^n
\end{align}
である. 特に$t=\frac{cq}{ab}$のとき,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\mu(w)+\frac{wq}{c}\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}q^n\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w,b/w;q)_N}{(c/w,q/w;q)_N}\left(\frac{cq}{ab}\right)^N\left(\mu(w)-\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\frac{ab}{wc}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(c/w,q/w;q)_n}{(a/w,b/w;q)_{n+1}}\left(\frac{ab}c\right)^n\right)
\end{align}
が成り立つ. 加えて$w=c$のとき,
\begin{align}
\mu(cq^N)&=\frac{(cq/a,cq/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\frac{(c,q;q)_N}{(cq/a,cq/b;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(c/a,c/b;q)_n}{(c,q;q)_n}q^n
\end{align}
が成り立つ.
今回はこの定理を特殊化して様々な系を得ることを考える. 定理1の最初の2つの式において$b\to 0$とすると以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(c,q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^n}
\end{align}
とする. このとき, $0\leq N$に対し
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a;q)_N}\left(-\frac{c}{atw}\right)^Nq^{-\binom N2}\left(\mu(w)-\frac 1{cq}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}\left(-\frac{atw}{c}\right)^nq^{\binom n2}p(wq^n)\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w;q)_N}{(c/w,q/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1{w^2t}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(c/w,q/w;q)_n}{(a/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q^2}{t}\right)^np(wq^{-n-1})\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}(cq-wq(cq^n+at-c-q))\frac{(a;q)_n}{(c,q;q)_n}t^n
\end{align}
である.
この系においてさらに$a\to 0$とすると以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{1}{(c,q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^n}
\end{align}
とする. このとき, $0\leq N$に対し
\begin{align}
\mu(wq^N)&=(wq/c,w;q)_N\left(\frac{c}{tw^2}\right)^Nq^{-N^2}\left(\mu(w)-\frac 1{cq}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{(wq/c,w;q)_{n+1}}\left(\frac{tw^2}{c}\right)^nq^{n^2}p(wq^n)\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{1}{(c/w,q/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1{w^2t}\sum_{n=0}^{N-1}(c/w,q/w;q)_n\left(\frac{q^2}{t}\right)^np(wq^{-n-1})\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}(cq-wq(cq^n-c-q))\frac{t^n}{(c,q;q)_n}
\end{align}
である.
定理1の最初の2つの式においては$t\mapsto \frac tb$としてから$b\to \infty$として, 次の$t=\frac{cq}{ab}$と特殊化した式については$b\to \infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(c,q;q)_n}\frac{(-t)^nq^{\binom n2}}{1-wq^n}
\end{align}
とする. このとき, $0\leq N$に対し,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a;q)_N}\left(\frac{cq}{at}\right)^N\left(\mu(w)-\frac 1{cq}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}\left(\frac{at}{cq}\right)^np(wq^n)\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w;q)_N}{(c/w,q/w;q)_N}\left(-\frac{t}{w}\right)^Nq^{\binom N2}\left(\mu(w)-\frac 1{wt}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(c/w,q/w;q)_n}{(a/w;q)_{n+1}}\left(-\frac{wq^2}{t}\right)^nq^{-\binom{n+1}2}p(wq^{-n-1})\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}(cq-ta+wq((c-ta)q^n+t-c-q))\frac{(a;q)_n}{(c,q;q)_n}(-t)^nq^{\binom n2}
\end{align}
である. 特に$t=\frac{cq}{a}$のとき,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a;q)_N}\left(\mu(w)+\frac{wq}{c}\frac{(c/a;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}q^n\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w;q)_N}{(c/w,q/w;q)_N}\left(-\frac{cq}{aw}\right)^Nq^{\binom N2}\left(\mu(w)+\frac{(c/a;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\frac{a}{c}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(c/w,q/w;q)_n}{(a/w;q)_{n+1}}\left(-\frac{aw}c\right)^nq^{-\binom{n+1}2}\right)
\end{align}
が成り立つ. 加えて$w=c$のとき,
\begin{align}
\mu(cq^N)&=\frac{(cq/a;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\frac{(c,q;q)_N}{(cq/a;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(c/a;q)_n}{(c,q;q)_n}q^n
\end{align}
が成り立つ.
この系において, 最初の2つの式については$t\mapsto \frac ta$として$a\to\infty$として, $t=\frac{cq}a$と特殊化された式については単に$a\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{1}{(c,q;q)_n}\frac{t^nq^{n^2-n}}{1-wq^n}
\end{align}
とする. このとき, $0\leq N$に対し,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=(wq/c,w;q)_N\left(\frac{cq}{t}\right)^N\left(\mu(w)-\frac 1{cq}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{(wq/c,w;q)_{n+1}}\left(\frac{t}{cq}\right)^np(wq^n)\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{1}{(c/w,q/w;q)_N}\left(\frac{t}{w^2q}\right)^Nq^{N^2}\left(\mu(w)+\frac 1{t}\sum_{n=0}^{N-1}(c/w,q/w;q)_n\left(\frac{w^2q}{t}\right)^nq^{-n^2}p(wq^{-n-1})\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}(cq-t+wq((c-t)q^n-c-q))\frac{t^nq^{n^2-n}}{(c,q;q)_n}\end{align}
である. 特に$t=cq$のとき,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=(wq/c,w;q)_N\left(\mu(w)+\frac{wq}{c}\frac{1}{(c;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{q^n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{1}{(c/w,q/w;q)_N}\left(\frac{c}{w^2}\right)^Nq^{N^2}\left(\mu(w)-\frac{1}{(c;q)_{\infty}}\frac{w}{c}\sum_{n=0}^{N-1}(c/w,q/w;q)_n\left(\frac{w^2}c\right)^nq^{-n^2-n}\right)
\end{align}
が成り立つ. 加えて$w=c$のとき,
\begin{align}
\mu(cq^N)&=\frac{(c,q;q)_N}{(c;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^N\frac{q^n}{(c,q;q)_n}
\end{align}
が成り立つ.
系3において$a\to 0$として以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{1}{(c,q;q)_n}\frac{(-t)^nq^{\binom n2}}{1-wq^n}
\end{align}
とする. このとき, $0\leq N$に対し,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=(wq/c,w;q)_N\left(-\frac{c}{wt}\right)^Nq^{-\binom N2}\left(\mu(w)-\frac 1{cq}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{(wq/c,w;q)_{n+1}}\left(-\frac{wt}{c}\right)^nq^{\binom n2}p(wq^n)\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{1}{(c/w,q/w;q)_N}\left(-\frac{t}{w}\right)^Nq^{\binom N2}\left(\mu(w)-\frac 1{wt}\sum_{n=0}^{N-1}(c/w,q/w;q)_n\left(-\frac{wq^2}{t}\right)^nq^{-\binom{n+1}2}p(wq^{-n-1})\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}(cq+wq(cq^n+t-c-q))\frac{(-t)^nq^{\binom n2}}{(c,q;q)_n}
\end{align}
である.
定理1において$c\to 0$として以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^n}
\end{align}
とする. このとき, $0\leq N$に対し,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(-\frac{wq^2}{abt}\right)^Nq^{\binom N2}\left(\mu(w)+\frac 1{wq^2}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(w;q)_{n+1}}\left(\frac{abt}{wq^2}\right)^nq^{-\binom n2}p(wq^n)\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w,b/w;q)_N}{(q/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1{w^2t}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(q/w;q)_n}{(a/w,b/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q^2}{t}\right)^np(wq^{-n-1})\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}(-tab+wq(-tabq^n+(a+b)t-q))\frac{(a,b;q)_n}{(q;q)_n}t^n
\end{align}
である.
定理1において$b=c$とすると,
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^n}
\end{align}
として
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(w;q)_N}{(wq/a;q)_N}\left(\frac{q}{at}\right)^N\left(\mu(w)-\frac 1{q}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a;q)_n}{(c-wq^{n+1})(w;q)_{n+1}}\left(\frac{at}{q}\right)^np(wq^n)\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w;q)_N}{(q/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1{w^2t}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(q/w;q)_n}{(a/w;q)_{n+1}(1-cq^{n}/w)}\left(\frac{q^2}{t}\right)^np(wq^{-n-1})\right)\\
p(w)&=\sum_{0\leq n}(c(q-ta)+wq(c(1-ta)q^n+(a+c)t-c-q))\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}t^n
\end{align}
である. ここで, $c=0$とすると$q$二項定理より,
\begin{align}
p(w)&=wq(at-q)\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}t^n\\
&=wq(at-q)\frac{(at;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\\
&=-wq^2\frac{(at/q;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}
\end{align}
となるから, これを代入すると,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(w;q)_N}{(wq/a;q)_N}\left(\frac{q}{at}\right)^N\left(\mu(w)-\frac{(at/q;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a;q)_n}{(w;q)_{n+1}}\left(\frac{at}{q}\right)^n\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w;q)_N}{(q/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)-\frac{q}{wt}\frac{(at/q;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(q/w;q)_n}{(a/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q}{t}\right)^n\right)
\end{align}
を得る. ここで, さらに$t=\frac qa$とすると,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(w;q)_N}{(wq/a;q)_N}\mu(w)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w;q)_N}{(q/w;q)_N}\left(\frac{q}{a}\right)^N\mu(w)
\end{align}
を得る. 実は直接Heineの和公式より,
\begin{align}
\mu(w)&=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\frac{1}{1-wq^n}\left(\frac{q}a\right)^n\\
&=\frac 1{1-w}\sum_{0\leq n}\frac{(a,w;q)_n}{(q,wq;q)_n}\left(\frac{q}a\right)^n\\
&=\frac 1{1-w}\frac{(wq/a,q;q)_{\infty}}{(wq,q/a;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(wq/a,q;q)_{\infty}}{(w,q/a;q)_{\infty}}
\end{align}
と求めることもできる. これらをまとめると以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^n}
\end{align}
とする. このとき, $0\leq N$に対し,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(w;q)_N}{(wq/a;q)_N}\left(\frac{q}{at}\right)^N\left(\mu(w)-\frac{(at/q;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a;q)_n}{(w;q)_{n+1}}\left(\frac{at}{q}\right)^n\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w;q)_N}{(q/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)-\frac{q}{wt}\frac{(at/q;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(q/w;q)_n}{(a/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q}{t}\right)^n\right)
\end{align}
が成り立つ. 特に$t=\frac{q}{a}$のとき,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(w;q)_N}{(wq/a;q)_N}\frac{(wq/a,q;q)_{\infty}}{(w,q/a;q)_{\infty}}\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w;q)_N}{(q/w;q)_N}\left(\frac{q}{a}\right)^N\frac{(wq/a,q;q)_{\infty}}{(w,q/a;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
定理1はHeineの和公式によって係数が$q$-Pochhammer記号で表される場合が得られたが, 系7は$q$二項定理によってそれが得られている. このように, 何かしらの和公式がある場合は綺麗に$q$-Pochhammer記号で表されるという現象がより広く成り立っているかもしれない.
