q超幾何級数のqモーメント3

前の記事とその前の記事で, 2つの定理を示した. それらをまとめると以下のようになる.

$\begin{aligned} μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
とする. このとき, $0 \leq N$ に対し,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a, w q / b; q)_{N}} {(\frac{c q}{a b t})}^{N} (μ (w) - \frac{1}{c q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a, w q / b; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} {(\frac{a b t}{c q})}^{n} p (w q^{n})) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w, b / w; q)_{N}}{(c / w, q / w; q)_{N}} t^{N} (μ (w) + \frac{1}{w^{2} t} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(c / w, q / w; q)_{n}}{(a / w, b / w; q)_{n + 1}} {(\frac{q^{2}}{t})}^{n} p (w q^{- n - 1})) \end{aligned}$
が成り立つ. ここで,
$\begin{aligned} p (w) & = \sum_{0 \leq n} (c q - t a b + w q ((c - t a b) q^{n} + (a + b) t - c - q)) \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} t^{n} \end{aligned}$
である. 特に $t = \frac{c q}{a b}$ のとき,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a, w q / b; q)_{N}} (μ (w) + \frac{w q}{c} \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a, w q / b; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} q^{n}) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w, b / w; q)_{N}}{(c / w, q / w; q)_{N}} {(\frac{c q}{a b})}^{N} (μ (w) - \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \frac{a b}{w c} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(c / w, q / w; q)_{n}}{(a / w, b / w; q)_{n + 1}} {(\frac{a b}{c})}^{n}) \end{aligned}$
が成り立つ. 加えて $w = c$ のとき,
$\begin{aligned} μ (c q^{N}) & = \frac{(c q / a, c q / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \frac{(c, q; q)_{N}}{(c q / a, c q / b; q)_{N}} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(c / a, c / b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} q^{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

今回はこの定理を特殊化して様々な系を得ることを考える. 定理1の最初の2つの式において $b \to 0$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
とする. このとき, $0 \leq N$ に対し
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a; q)_{N}} {(- \frac{c}{a t w})}^{N} q^{- (\binom{N}{2})} (μ (w) - \frac{1}{c q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} {(- \frac{a t w}{c})}^{n} q^{(\binom{n}{2})} p (w q^{n})) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w; q)_{N}}{(c / w, q / w; q)_{N}} t^{N} (μ (w) + \frac{1}{w^{2} t} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(c / w, q / w; q)_{n}}{(a / w; q)_{n + 1}} {(\frac{q^{2}}{t})}^{n} p (w q^{- n - 1})) \end{aligned}$
が成り立つ. ここで,
$\begin{aligned} p (w) & = \sum_{0 \leq n} (c q - w q (c q^{n} + a t - c - q)) \frac{(a; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} t^{n} \end{aligned}$
である.

この系においてさらに $a \to 0$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(c, q; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
とする. このとき, $0 \leq N$ に対し
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = (w q / c, w; q)_{N} {(\frac{c}{t w^{2}})}^{N} q^{- N^{2}} (μ (w) - \frac{1}{c q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} {(\frac{t w^{2}}{c})}^{n} q^{n^{2}} p (w q^{n})) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{1}{(c / w, q / w; q)_{N}} t^{N} (μ (w) + \frac{1}{w^{2} t} \sum_{n = 0}^{N - 1} (c / w, q / w; q)_{n} {(\frac{q^{2}}{t})}^{n} p (w q^{- n - 1})) \end{aligned}$
が成り立つ. ここで,
$\begin{aligned} p (w) & = \sum_{0 \leq n} (c q - w q (c q^{n} - c - q)) \frac{t^{n}}{(c, q; q)_{n}} \end{aligned}$
である.

定理1の最初の2つの式においては $t \mapsto \frac{t}{b}$ としてから $b \to \infty$ として, 次の $t = \frac{c q}{a b}$ と特殊化した式については $b \to \infty$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} \frac{(- t)^{n} q^{(\binom{n}{2})}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
とする. このとき, $0 \leq N$ に対し,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a; q)_{N}} {(\frac{c q}{a t})}^{N} (μ (w) - \frac{1}{c q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} {(\frac{a t}{c q})}^{n} p (w q^{n})) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w; q)_{N}}{(c / w, q / w; q)_{N}} {(- \frac{t}{w})}^{N} q^{(\binom{N}{2})} (μ (w) - \frac{1}{w t} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(c / w, q / w; q)_{n}}{(a / w; q)_{n + 1}} {(- \frac{w q^{2}}{t})}^{n} q^{- (\binom{n + 1}{2})} p (w q^{- n - 1})) \end{aligned}$
が成り立つ. ここで,
$\begin{aligned} p (w) & = \sum_{0 \leq n} (c q - t a + w q ((c - t a) q^{n} + t - c - q)) \frac{(a; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} (- t)^{n} q^{(\binom{n}{2})} \end{aligned}$
である. 特に $t = \frac{c q}{a}$ のとき,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a; q)_{N}} (μ (w) + \frac{w q}{c} \frac{(c / a; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} q^{n}) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w; q)_{N}}{(c / w, q / w; q)_{N}} {(- \frac{c q}{a w})}^{N} q^{(\binom{N}{2})} (μ (w) + \frac{(c / a; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \frac{a}{c} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(c / w, q / w; q)_{n}}{(a / w; q)_{n + 1}} {(- \frac{a w}{c})}^{n} q^{- (\binom{n + 1}{2})}) \end{aligned}$
が成り立つ. 加えて $w = c$ のとき,
$\begin{aligned} μ (c q^{N}) & = \frac{(c q / a; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \frac{(c, q; q)_{N}}{(c q / a; q)_{N}} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(c / a; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} q^{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

この系において, 最初の2つの式については $t \mapsto \frac{t}{a}$ として $a \to \infty$ として, $t = \frac{c q}{a}$ と特殊化された式については単に $a \to \infty$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(c, q; q)_{n}} \frac{t^{n} q^{n^{2} - n}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
とする. このとき, $0 \leq N$ に対し,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = (w q / c, w; q)_{N} {(\frac{c q}{t})}^{N} (μ (w) - \frac{1}{c q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} {(\frac{t}{c q})}^{n} p (w q^{n})) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{1}{(c / w, q / w; q)_{N}} {(\frac{t}{w^{2} q})}^{N} q^{N^{2}} (μ (w) + \frac{1}{t} \sum_{n = 0}^{N - 1} (c / w, q / w; q)_{n} {(\frac{w^{2} q}{t})}^{n} q^{- n^{2}} p (w q^{- n - 1})) \end{aligned}$
が成り立つ. ここで,
$\begin{aligned} p (w) & = \sum_{0 \leq n} (c q - t + w q ((c - t) q^{n} - c - q)) \frac{t^{n} q^{n^{2} - n}}{(c, q; q)_{n}} \end{aligned}$
である. 特に $t = c q$ のとき,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = (w q / c, w; q)_{N} (μ (w) + \frac{w q}{c} \frac{1}{(c; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{q^{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}}) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{1}{(c / w, q / w; q)_{N}} {(\frac{c}{w^{2}})}^{N} q^{N^{2}} (μ (w) - \frac{1}{(c; q)_{\infty}} \frac{w}{c} \sum_{n = 0}^{N - 1} (c / w, q / w; q)_{n} {(\frac{w^{2}}{c})}^{n} q^{- n^{2} - n}) \end{aligned}$
が成り立つ. 加えて $w = c$ のとき,
$\begin{aligned} μ (c q^{N}) & = \frac{(c, q; q)_{N}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N} \frac{q^{n}}{(c, q; q)_{n}} \end{aligned}$
が成り立つ.

系3において $a \to 0$ として以下を得る.

$\begin{aligned} μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(c, q; q)_{n}} \frac{(- t)^{n} q^{(\binom{n}{2})}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
とする. このとき, $0 \leq N$ に対し,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = (w q / c, w; q)_{N} {(- \frac{c}{w t})}^{N} q^{- (\binom{N}{2})} (μ (w) - \frac{1}{c q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} {(- \frac{w t}{c})}^{n} q^{(\binom{n}{2})} p (w q^{n})) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{1}{(c / w, q / w; q)_{N}} {(- \frac{t}{w})}^{N} q^{(\binom{N}{2})} (μ (w) - \frac{1}{w t} \sum_{n = 0}^{N - 1} (c / w, q / w; q)_{n} {(- \frac{w q^{2}}{t})}^{n} q^{- (\binom{n + 1}{2})} p (w q^{- n - 1})) \end{aligned}$
が成り立つ. ここで,
$\begin{aligned} p (w) & = \sum_{0 \leq n} (c q + w q (c q^{n} + t - c - q)) \frac{(- t)^{n} q^{(\binom{n}{2})}}{(c, q; q)_{n}} \end{aligned}$
である.

定理1において $c \to 0$ として以下を得る.

$\begin{aligned} μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(q; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
とする. このとき, $0 \leq N$ に対し,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w; q)_{N}}{(w q / a, w q / b; q)_{N}} {(- \frac{w q^{2}}{a b t})}^{N} q^{(\binom{N}{2})} (μ (w) + \frac{1}{w q^{2}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a, w q / b; q)_{n}}{(w; q)_{n + 1}} {(\frac{a b t}{w q^{2}})}^{n} q^{- (\binom{n}{2})} p (w q^{n})) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w, b / w; q)_{N}}{(q / w; q)_{N}} t^{N} (μ (w) + \frac{1}{w^{2} t} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(q / w; q)_{n}}{(a / w, b / w; q)_{n + 1}} {(\frac{q^{2}}{t})}^{n} p (w q^{- n - 1})) \end{aligned}$
が成り立つ. ここで,
$\begin{aligned} p (w) & = \sum_{0 \leq n} (- t a b + w q (- t a b q^{n} + (a + b) t - q)) \frac{(a, b; q)_{n}}{(q; q)_{n}} t^{n} \end{aligned}$
である.

定理1において $b = c$ とすると,
$\begin{aligned} μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
として
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w; q)_{N}}{(w q / a; q)_{N}} {(\frac{q}{a t})}^{N} (μ (w) - \frac{1}{q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a; q)_{n}}{(c - w q^{n + 1}) (w; q)_{n + 1}} {(\frac{a t}{q})}^{n} p (w q^{n})) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w; q)_{N}}{(q / w; q)_{N}} t^{N} (μ (w) + \frac{1}{w^{2} t} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(q / w; q)_{n}}{(a / w; q)_{n + 1} (1 - c q^{n} / w)} {(\frac{q^{2}}{t})}^{n} p (w q^{- n - 1})) \\ p (w) & = \sum_{0 \leq n} (c (q - t a) + w q (c (1 - t a) q^{n} + (a + c) t - c - q)) \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} t^{n} \end{aligned}$
である. ここで, $c = 0$ とすると $q$ 二項定理より,
$\begin{aligned} p (w) & = w q (a t - q) \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} t^{n} \\ = w q (a t - q) \frac{(a t; q)_{\infty}}{(t; q)_{\infty}} \\ = - w q^{2} \frac{(a t / q; q)_{\infty}}{(t; q)_{\infty}} \end{aligned}$
となるから, これを代入すると,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w; q)_{N}}{(w q / a; q)_{N}} {(\frac{q}{a t})}^{N} (μ (w) - \frac{(a t / q; q)_{\infty}}{(t; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a; q)_{n}}{(w; q)_{n + 1}} {(\frac{a t}{q})}^{n}) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w; q)_{N}}{(q / w; q)_{N}} t^{N} (μ (w) - \frac{q}{w t} \frac{(a t / q; q)_{\infty}}{(t; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(q / w; q)_{n}}{(a / w; q)_{n + 1}} {(\frac{q}{t})}^{n}) \end{aligned}$
を得る. ここで, さらに $t = \frac{q}{a}$ とすると,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w; q)_{N}}{(w q / a; q)_{N}} μ (w) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w; q)_{N}}{(q / w; q)_{N}} {(\frac{q}{a})}^{N} μ (w) \end{aligned}$
を得る. 実は直接Heineの和公式より,
$\begin{aligned} μ (w) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} \frac{1}{1 - w q^{n}} {(\frac{q}{a})}^{n} \\ = \frac{1}{1 - w} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, w; q)_{n}}{(q, w q; q)_{n}} {(\frac{q}{a})}^{n} \\ = \frac{1}{1 - w} \frac{(w q / a, q; q)_{\infty}}{(w q, q / a; q)_{\infty}} \\ = \frac{(w q / a, q; q)_{\infty}}{(w, q / a; q)_{\infty}} \end{aligned}$
と求めることもできる. これらをまとめると以下を得る.

$\begin{aligned} μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
とする. このとき, $0 \leq N$ に対し,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w; q)_{N}}{(w q / a; q)_{N}} {(\frac{q}{a t})}^{N} (μ (w) - \frac{(a t / q; q)_{\infty}}{(t; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a; q)_{n}}{(w; q)_{n + 1}} {(\frac{a t}{q})}^{n}) \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w; q)_{N}}{(q / w; q)_{N}} t^{N} (μ (w) - \frac{q}{w t} \frac{(a t / q; q)_{\infty}}{(t; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(q / w; q)_{n}}{(a / w; q)_{n + 1}} {(\frac{q}{t})}^{n}) \end{aligned}$
が成り立つ. 特に $t = \frac{q}{a}$ のとき,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w; q)_{N}}{(w q / a; q)_{N}} \frac{(w q / a, q; q)_{\infty}}{(w, q / a; q)_{\infty}} \\ μ (w q^{- N}) & = \frac{(a / w; q)_{N}}{(q / w; q)_{N}} {(\frac{q}{a})}^{N} \frac{(w q / a, q; q)_{\infty}}{(w, q / a; q)_{\infty}} \end{aligned}$
が成り立つ.

定理1はHeineの和公式によって係数が $q$ -Pochhammer記号で表される場合が得られたが, 系7は $q$ 二項定理によってそれが得られている. このように, 何かしらの和公式がある場合は綺麗に $q$ -Pochhammer記号で表されるという現象がより広く成り立っているかもしれない.

投稿日：7月5日

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Wataru

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