文献あり

ウェッヂ積の係数のこと，或は商代数との同型

$V$を$\mathbb{K}$上の線型空間とし
$$ T^{r}(V) \coloneqq \underbrace{V \otimes\cdots\otimes V}_{r}$$
とおく．このとき，$r$次対称群$\mathfrak{S}_{r}$による左作用が
$$ P_{\sigma}(x_{1} \otimes\cdots\otimes x_{r}) \coloneqq x_{\sigma^{-1}(1)} \otimes\cdots\otimes x_{\sigma^{-1}(r)}$$
により定まる．そこで，線型変換$\mathcal{A} \colon T^{r}(V)\to T^{r}(V)$を
$$ \mathcal{A}(t) \coloneqq \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{r}} \sgn(\sigma) P_{\sigma}(t)$$
で定めると，
$$ P_{\tau}\mathcal{A}=\mathcal{A}P_{\tau} = \sgn(\tau)\mathcal{A}$$
が成り立つ．部分空間
$$ A^{r}(V) \coloneqq \Im\mathcal{A}$$
の元を交代テンソルという．$\mathbb{K}$の標数が$2$でないとき
$$ A^{r}(V) = \{t \in T^{r}(V) \mid \forall\,\sigma\in\mathfrak{S}_{r},\ P_{\sigma}(t) = \sgn(\sigma)t\}$$
が成り立ち，$\mathbb{K}$の標数が$>r$のとき，$\mathcal{A}' \coloneqq \frac{1}{r!}\mathcal{A}$とおくと
$$ A^{r}(V) = \{t \in T^{r}(V) \mid \mathcal{A}'(t)=t\} = \Im\mathcal{A}'$$
が成り立つ（cf. satakepp.212-218）．

ウェッヂ積の係数について：その1

交代テンソル$t_{r}\in A^{r}(V),\,t'_{r'} \in A^{r'}(V)$に対して
$$ t_{r} \wedge t'_{r'} \coloneqq \binom{r+r'}{r}\mathcal{A}'(t_{r} \otimes t'_{r'}) \in A^{r+r'}(V)$$
と（形式的に）定める．以下，この右辺が任意の標数の体において意味を持ち得ることを示す（cf. satakep.223）．定義より
$$ \binom{r+r'}{r}\mathcal{A}'(t_{r} \otimes t'_{r'}) = \frac{(r+r')!}{r!\,r'!}\cdot \frac{1}{(r+r')!}\mathcal{A}(t_{r}\otimes t'_{r'}) = \frac{1}{r!\,r'!}\mathcal{A}(t_{r} \otimes t'_{r'})$$
であるから，この最右辺について考えればよい．

置換$\sigma\in\mathfrak{S}_{r+r'}$であって
$$ \sigma(1)<\cdots<\sigma(r),\ \sigma(r+1)<\cdots<\sigma(r+r')$$
を満たすものを$(r,r')$シャッフルという．$(r,r')$シャッフル全体のなす集合を$\mathfrak{S}_{r,r'}$で表わす．

同型
$$ \mathfrak{S}_{r} \cong \mathrm{Fix}_{\mathfrak{S}_{r+r'}}(\{r+1,\ldots,r+r'\}),\ \mathfrak{S}_{r'} \cong \mathrm{Fix}_{\mathfrak{S}_{r+r'}}(\{1,\ldots,r\})$$
により$\mathfrak{S}_{r},\,\mathfrak{S}_{r'}$を$\mathfrak{S}_{r+r'}$の部分群と見做したとき，写像
$$ \mathfrak{S}_{r,r'} \times \mathfrak{S}_{r} \times \mathfrak{S}_{r'} \to \mathfrak{S}_{r+r'};\ (\rho,\tau,\tau') \mapsto \rho\tau\tau'$$
は全単射である．

$\sigma\in\mathfrak{S}_{r+r'}$とする．このとき，$\{\sigma(1),\ldots,\sigma(r)\},\,\{\sigma(r+1),\ldots,\sigma(r+r')\}$をそれぞれ昇順に並べ替えるような置換，すなわち$\tau\in\mathfrak{S}_{r},\,\tau'\in\mathfrak{S}_{r'}$であって
$$ \sigma(\tau^{-1}(1)) <\cdots< \sigma(\tau^{-1}(r)),\ \sigma(\tau'^{-1}(r+1)) <\cdots< \sigma(\tau'^{-1}(r+r'))$$
なるものがただ一組存在する．よって，写像
$$ \mathfrak{S}_{r+r'} \to \mathfrak{S}_{r,r'} \times \mathfrak{S}_{r} \times \mathfrak{S}_{r'};\ \sigma \mapsto (\sigma\tau^{-1}\tau'^{-1},\tau,\tau')$$
が定まる．明らかに
$$ \sigma \mapsto (\sigma\tau^{-1}\tau'^{-1},\tau,\tau') \mapsto \sigma$$
である．逆に$(\rho,\tau,\tau')$に対して，$\sigma\coloneqq \rho\tau\tau'$とおくと
$$ \sigma(\tau^{-1}(1)) = \rho(1) <\cdots< \rho(r) = \sigma(\tau^{-1}(r)),\ \sigma(\tau'^{-1}(r+1)) = \rho(r+1) <\cdots< \rho(r+r') = \sigma(\tau'^{-1}(r+r'))$$
が成り立つので，
$$ (\rho,\tau,\tau') \mapsto \rho\tau\tau' \mapsto (\rho,\tau,\tau')$$
となる．

$$ \frac{1}{r!\,r'!}\mathcal{A}(t_{r}\otimes t'_{r'}) = \sum_{\rho\in\mathfrak{S}_{r,r'}} \sgn(\rho) P_{\rho}(t_{r} \otimes t'_{r'}).$$

\begin{align} \frac{1}{r!\,r'!}\mathcal{A}(t_{r} \otimes t'_{r'}) &= \frac{1}{r!\,r'!} \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{r+r'}} \sgn(\sigma) P_{\sigma}(t_{r} \otimes t'_{r'}) \\ &= \frac{1}{r!\,r'!} \sum_{\rho\in\mathfrak{S}_{r,r'}} \sum_{\tau\in\mathfrak{S}_{r}} \sum_{\tau'\in\mathfrak{S}_{r'}} \sgn(\rho)\sgn(\tau)\sgn(\tau') P_{\rho}P_{\tau}P_{\tau'}(t_{r} \otimes t'_{r'}) \\ &= \frac{1}{r!\,r'!} \sum_{\rho\in\mathfrak{S}_{r,r'}} \sum_{\tau\in\mathfrak{S}_{r}}\sum_{\tau'\in\mathfrak{S}_{r'}} \sgn(\rho)\sgn(\tau)\sgn(\tau')P_{\rho}(P_{\tau}(t_{r}) \otimes P_{\tau'}(t'_{r'})) \\ &= \frac{1}{r!\,r'!} \sum_{\rho\in\mathfrak{S}_{r,r'}} \sum_{\tau\in\mathfrak{S}_{r}}\sum_{\tau'\in\mathfrak{S}_{r'}} \sgn(\rho)\sgn(\tau)\sgn(\tau')P_{\rho}((\sgn(\tau)t_{r})\otimes(\sgn(\tau')t'_{r'})) \\ &= \frac{1}{r!\,r'!} \sum_{\rho\in\mathfrak{S}_{r,r'}} \sum_{\tau\in\mathfrak{S}_{r}}\sum_{\tau'\in\mathfrak{S}_{r'}} \sgn(\rho) P_{\rho}(t_{r}\otimes t'_{r'}) \\ &= \sum_{\rho\in\mathfrak{S}_{r,r'}} \sgn(\rho)P_{\rho}(t_{r} \otimes t'_{r'}). \end{align}

商としての外積代数

以下，$\mathbb{K}$の標数は$\infty$であるとする（フツーは$0$というところだが [MacLane–Birkhoff] に準ずる）．部分集合$\{x \otimes x \mid x \in V\}$で生成される$T(V)$の両側イデアルを$I$とし，
$$ J \coloneqq \Ker(\mathcal{A} \colon T(V) \to A(V))$$
とおく（cf. satakep.223, 問3）．このとき，$I=J$が成り立つことを示す（cf. satakep.224）：
$$ \xymatrix{ {(T(V),\,\otimes)} \ar[rr]^{\mathcal{A}} \ar[dd]_{\text{quoti.}} && {(A(V),\,\wedge)} \\ \\ {(T(V)/I,\,\overline{\otimes})} \ar@{.>}[rruu]^{\cong}_{\overline{\mathcal{A}}} }$$

$I \subset J$なること

任意の$x \in V$に対して
$$ \mathcal{A}(x \otimes x) = x \otimes x - x \otimes x = 0$$
が成り立つので，
$$ \{x \otimes x \mid x \in V\} \subset J \quad\leadsto\quad I \subset J$$
を得る．

$I \supset J$なること

各$r \geq 0$に対して
$$ J_{r} \coloneqq J \cap T^{r}(V) = \{t\in T^{r}(V) \mid \mathcal{A}(t)=0\} = A^{r}(V^{*})^{\perp}$$
とおく（cf. satakep.219, 問3）．

$(e_{1},\ldots,e_{n})$を$V$の基底とすると，
$$ x \otimes x = \sum_{i=1}^{n} e_{i}\otimes e_{i} x_{i}x_{i} + \sum_{i< j} (e_{i} \otimes e_{j} + e_{j} \otimes e_{i})x_{i}x_{j},$$
および
$$ e_{i} \otimes e_{j} + e_{j} \otimes e_{i} = (e_{i}+e_{j}) \otimes (e_{i} + e_{j}) - e_{i} \otimes e_{i} - e_{j} \otimes e_{j}$$
が成り立つので，$I$は$\{e_{1}\otimes e_{1},\ldots,e_{n} \otimes e_{n}\} \cup \{e_{i}\otimes e_{j} + e_{j} \otimes e_{i} \mid i< j\}$で生成される両側イデアルに等しい．

$r=2$のとき，$t \coloneqq \sum e_{i} \otimes e_{j} \xi_{ij} \in J_{2}$とおくと，$e_{i}^{*}\otimes e_{j}^{*}-e_{j}^{*}\otimes e_{i}^{*} \in A^{2}(V^{*})$より
$$ 0 = \langle e_{i}^{*}\otimes e_{j}^{*}-e_{j}^{*} \otimes e_{i}^{*},t \rangle = \xi_{ij}-\xi_{ji}$$
となるので，
$$ t = \sum_{i=1}^{n} e_{i} \otimes e_{i} \xi_{ii} + \sum_{i< j} (e_{i} \otimes e_{j} + e_{j} \otimes e_{i})\xi_{ij} \in I$$
が成り立つ．

（cf. kiso p.380）

$S \subset \mathfrak{S}_{r}$を生成集合とするとき，
$$ J_{r} = \span_{\mathbb{K}}\{t-\sgn(\sigma)P_{\sigma}(t) \mid t\in T^{r}(V),\ \sigma\in S\}$$
が成り立つ．

任意の$t \in T^{r}(V), \sigma\in\mathfrak{S}_{r}$に対して
$$ \mathcal{A}(t - \sgn(\sigma)P_{\sigma}(t)) = \mathcal{A}(t)-\sgn(\sigma)\mathcal{A}P_{\sigma}(t) = \mathcal{A}(t) - \sgn(\sigma)\sgn(\sigma)\mathcal{A}(t) = 0$$
が成り立つので，
$$ J_{r} \supset \text{RHS}$$
を得る．
$t \in J_{r}$とする．このとき
$$ t= t-\mathcal{A}'(t) = t - \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{r}} \sgn(\sigma)P_{\sigma}(t) = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{r}}(t-\sgn(\sigma)P_{\sigma}(t))$$
が成り立つ．ここで，$\sigma=\sigma_{1}\sigma_{2}$と書くと
$$ t-\sgn(\sigma)P_{\sigma}(t) = (t-\sgn(\sigma_{2})P_{\sigma_{2}}(t)) + \sgn(\sigma_{2})(P_{\sigma_{2}}(t)-\sgn(\sigma_{1})P_{\sigma_{1}}(P_{\sigma_{2}}(t)))$$
となるので，
$$ \mathcal{A}P_{\sigma_{2}}(t) = P_{\sigma_{2}}(\mathcal{A}(t)) = 0 \quad\leadsto\quad P_{\sigma_{2}}(t) \in J_{r}$$
に注意すると，$S$が$\mathfrak{S}_{r}$を生成することから，帰納的に
$$ t-\sgn(\sigma)P_{\sigma}(t) \in \text{RHS}$$
がわかる．よって$t \in \text{RHS}$を得る．

spanより，任意の$t \in T^{r}(V)$と$\tau_{j} \coloneqq (j,j+1)$なる互換とに対して
$$ t-\sgn(\tau_{j})P_{\tau_{j}}(t) \in I$$
が成り立つことを示せばよい（cf. Transpositions of Adjacent Elements generate Symmetric Group ）．そこで，
$$ t = \sum e_{i_{1}} \otimes\cdots\otimes e_{i_{r}} \xi_{i _{1}\cdots i_{r}}$$
とおくと，
\begin{align} t-\sgn(\tau_{j})P_{\tau_{j}}(t) = t+P_{\tau_{j}}(t) &= \sum e_{i_{1}} \otimes\cdots\otimes e_{i_{j}}\otimes e_{i_{j+1}} \otimes\cdots\otimes e_{i_{r}} \xi_{i_{1} \cdots i_{r}} + \sum e_{i_{1}} \otimes\cdots\otimes e_{i_{j+1}}\otimes e_{i_{j}} \otimes\cdots\otimes e_{i_{r}} \xi_{i_{1} \cdots i_{r}} \\ &= \sum e_{i_{1}} \otimes\cdots\otimes (e_{i_{j}}+e_{i_{j+1}})\otimes(e_{i_{j}}+e_{i_{j+1}}) \otimes\cdots\otimes e_{i_{r}} \xi_{i_{1} \cdots i_{r}} \\ &\phantom{=}\quad - \sum e_{i_{1}} \otimes\cdots\otimes e_{i_{j}}\otimes e_{i_{j}} \otimes\cdots\otimes e_{i_{r}} \xi_{i_{1} \cdots i_{r}}\\ &\phantom{=}\quad - \sum e_{i_{1}} \otimes\cdots\otimes e_{i_{j+1}}\otimes e_{i_{j+1}} \otimes\cdots\otimes e_{i_{r}} \xi_{i_{1} \cdots i_{r}} \end{align}
であるから，
$$ t - \sgn(\tau_{j})P_{\tau_{j}}(t) \in I$$
を得る．

spanより，
$$ J_{r} = \span_{\mathbb{K}}\{x_{1} \otimes\cdots\otimes x_{r} \mid x_{i}\in V,\ \exists\,i < j,\ x_{i}=x_{j}\}$$
が成り立つことがわかる：実際，$S \coloneqq \{\tau_{ij} \coloneqq (i,j) \mid 1 \leq i < j \leq r\}$とおくと，

任意の$t = x_{1} \otimes\cdots\otimes x_{r} \in T^{r}(V)$に対して
\begin{align} t+P_{\tau_{ij}}(t) &= x_{1} \otimes\cdots\otimes x_{i} \otimes\cdots\otimes x_{j} \otimes\cdots\otimes x_{r} + x_{1} \otimes\cdots\otimes x_{j} \otimes\cdots\otimes x_{i} \otimes\cdots\otimes x_{r} \\ &= x_{1} \otimes\cdots\otimes (x_{i}+x_{j}) \otimes\cdots\otimes (x_{i}+x_{j}) \otimes\cdots\otimes x_{r} \\ &\phantom{=}\quad -x_{1} \otimes\cdots\otimes x_{i} \otimes\cdots\otimes x_{i} \otimes\cdots\otimes x_{r} \\ &\phantom{=}\quad -x_{1} \otimes\cdots\otimes x_{j} \otimes\cdots\otimes x_{j} \otimes\cdots\otimes x_{r} \end{align}
が成り立つので，$J_{r} \subset \text{RHS}$を得る．
$t \coloneqq x_{1} \otimes\cdots\otimes x_{i} \otimes\cdots\otimes x_{i} \otimes\cdots\otimes x_{r}$とおくと，
$$ t = \frac{t}{2} + \frac{t}{2} = \frac{t}{2}+P_{\tau_{ij}}\left(\frac{t}{2}\right) \in J_{r}$$
が成り立つ．

上の証明はsatakeで想定されているものとは違うような気もするが一旦置いておく：

ここで$J_{r} = \bigwedge^{r}(V^{*})^{\perp}$であること（$\S\, 3$，問3）および交代テンソルの性質（A）により，$J$は実は$\{x \otimes x\ (x \in V)\}$によって生成される両側イデヤル〔……〕になることがわかる．（p.224）

ウェッヂ積の係数について：その2

（cf. MathSE ）

有限群$G$が線型空間$V$に線型に作用しているとし，
$$ V^{G} \coloneqq \{x \in V \mid g \star x = x\},\ V_{G} \coloneqq V/\span\{x-g\star x \mid x \in X,\ g \in G\}$$
とおく．また，包含写像と商写像との合成を
$$ \varphi \colon V^{G} \subset V \to V_{G};\ x \mapsto \overline{x}$$
とおく．一方，$\overline{x} \in V_{G}$に対して
$$ \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} g \star x \in V^{G}$$
は代表元の取り方に依らないので，線型写像
$$ \psi \colon V_{G} \to V^{G};\ \overline{x} \mapsto \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} g \star x$$
が定まる．これらは互いの逆写像である：
$$ \psi(\varphi(x)) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} x = x;\ \varphi(\psi(\overline{x})) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{x} = \overline{x}.$$

とくに
$$ \mathfrak{S}_{r} \times T^{r}(V) \to T^{r}(V);\ (\sigma,t) \mapsto \sgn(\sigma)P_{\sigma}(t)$$
なる作用を考えた場合，上の同型は
$$ \xymatrix{ {T^{r}(V)} \ar[rr]^{\mathcal{A}'} \ar[dd]_{\text{quoti.}} && {A^{r}(V)} \ar@<-.5ex>[ddll]_{\varphi}\\ \\ {T^{r}(V)/(I \,\cap\, T^{r}(V)) } \ar@<-.5ex>[rruu]_{\psi\,=\,\overline{\mathcal{A}'}} }$$
と表わせる（cf. span）．そこで，交代テンソル$t_{r}\in A^{r}(V),\,t'_{r'} \in A^{r'}(V)$に対して
$$ t_{r} \wedge' t'_{r'} \coloneqq \mathcal{A}'(t_{r} \otimes t'_{r'}) \in A^{r+r'}(V)$$
と定めれば，以下の図式は可換である（cf. satakep.223, (65)式）：
$$ \xymatrix{ {(T(V),\,\otimes)} \ar[rr]^{\mathcal{A}'} \ar[dd]_{\text{quoti.}} && {(A(V),\,\wedge')} \ar@<-.5ex>[ddll]_{\varphi}\\ \\ {(T(V)/I,\,\overline{\otimes})} \ar@<-.5ex>[rruu]_{\psi\,=\,\overline{\mathcal{A}'}} }$$