固有多項式と最小多項式との関係

$C(x) \neq O$とすると
$$ C(x) = x^{m}C_{m} +\cdots+ C_{0};\ C_{m} \neq O,\ m \geq 0$$
と書けるので，
$$ (xE-A)C(x) = x^{m+1}C_{m} +\cdots+ (-AC_{0}) \notin \mathbb{C}^{n \times n}$$
となる．

まづ，
$$ f(x) = a_{m}x^{m} +\cdots+ a_{1}x + a_{0}$$
とおき
$$ F(x) \coloneqq \sum_{i=1}^{m} a_{i}(x^{i-1}E + x^{i-2}A +\cdots+ xA^{i-2} + A^{i-1}) \in \mathbb{C}[x]^{n \times n}$$
と定めると，
\begin{align} f(x)E-f(A) &= \sum_{i=1}^{m} a_{i}(x^{i}E-A^{i}) \\ &= (xE-A) \cdot \sum_{i=1}^{m} a_{i}(x^{i-1}E + x^{i-2}A +\cdots+ xA^{i-2} + A^{i-1}) \\ &= (xE-A)F(x) \end{align}
が成り立つことに注意する．

(i)$\implies$(ii)

上の注意より
$$ f(x)E = (xE-A)F(x)$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

上の注意と仮定より
$$ f(A) = f(x)E - (xE-A)F(x) = (xE-A)(C(x)-F(x))$$
となるので，constより
$$ C(x)-F(x)=O \quad\leadsto\quad f(A) = O$$
を得る．

いま，$B'(x) \in \mathbb{C}[x]^{n \times n}$であって
$$ B(x) = \psi(x)B'(x) \quad\leadsto\quad f_{A}(x)E = (xE-A)\psi(x)B'(x)$$
なるものが存在する．よって$(1,1)$成分の比較により$\psi(x) \mid f_{A}(x)$であるから
$$ f_{A}(x) = \prescript{\exists}{}\varphi(x)\psi(x)$$
と書ける．あとは$\varphi(x) = \varphi_{A}(x)$なることを示せばよい．

まづ，$\varphi_{A}(A)=O$であるから，factorより，$B^{*}(x) \in \mathbb{C}[x]^{n \times n}$であって
$$ \varphi_{A}(x)E = (xE-A)B^{*}(x)$$
なるものが存在する．また，$\psi(x)\neq 0$より
$$ \varphi(x)\psi(x)E = (xE-A)\psi(x)B'(x) \quad\leadsto\quad \varphi(x)E = (xE-A)B'(x)$$
となるので，factorより$\varphi(A)=O$，したがって$\varphi_{A}(x) \mid \varphi(x)$を得る．そこで
$$ \varphi(x) = \prescript{\exists}{}\varphi'(x)\varphi_{A}(x)$$
と書くと，
\begin{align} O &= \varphi(x)E-\varphi'(x)\varphi_{A}(x)E \\ &= (xE-A)B'(x) - (xE-A)\varphi'(x)B^{*}(x) \\ &= (xE-A)(B'(x)-\varphi'(x)B^{*}(x)) \end{align}
より
$$ B'(x) = \varphi'(x)B^{*}(x)$$
を得る（cf. const）．よって$\varphi'(x)$は$B'(x)$の各成分を割り切るモニック多項式なので，$\psi(x)$の定義より$\varphi'(x) =1$でなければならない．