いくつかの不等式の積分による証明
対数函数
$$ \frac{x-1}{x} \leq \log{x} \leq x-1 \quad(x>0).$$
- $1\leq x$のとき，任意の$t\in[1,x]$に対して$x^{-1}\leq t^{-1} \leq 1$が成り立つので，
$$ \frac{x-1}{x} = \int_{1}^{x} \frac{1}{x}\,\d{t} \leq \int_{1}^{x} \frac{1}{t}\,\d{t} = \log{x} \leq \int_{1}^{x} 1\,\d{t} = x-1$$
となる． - $0< x\leq 1$のとき，前段より
$$ 1-x = \frac{x^{-1}-1}{x^{-1}} \leq \log{x^{-1}} \leq x^{-1}-1 = \frac{1-x}{x}$$
が成り立つので，
$$ \frac{x-1}{x} \leq \log{x} \leq x-1$$
を得る．
$$
\log(x+1)-\log{x} = \log\frac{x+1}{x} \leq \frac{x+1}{x}-1 = \frac{1}{x}$$
より
$$
\log(n+1) = \sum_{k=1}^{n} (\log(k+1)-\log{k}) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$
が成り立つので，調和級数は発散する．
もう少し頑張ると素数の逆数和が発散することも示せる（cf. wikipedia ）．
$x\geq 0$のとき
$$
\frac{x}{1+x} \leq \log(1+x) \leq x$$
より
$$
0 \leq x-\log(1+x) \leq x-\frac{x}{1+x} = \frac{x^{2}}{1+x} \leq x^{2}$$
が成り立つので，正項級数$\sum (n^{-1}-\log(1+n^{-1}))$は収束する．ところで
$$
\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\log\left(1+\frac{1}{k}\right)\right) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} (\log(k+1)-\log{k}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \log(n+1)$$
であるから，この級数の和は所謂オイラーの定数に等しい．
$$ n(1-x^{-\frac{1}{n}}) \leq \log{x} \leq n(x^{\frac{1}{n}}-1) \quad(x>0;\ n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}).$$
$\sqrt[n]{x}>0$であるから，log-ineqより
$$
n\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[n]{x}} \leq n\log\sqrt[n]{x} \leq n(\sqrt[n]{x}-1)$$
を得る．
$$ \log{x} \leq n(\sqrt[n]{x}-1) \leq \sqrt[n]{x}\log{x} \to \log{x} \quad(n\to\infty).$$
$x \geq 1$のとき
$$
\log{x} -2(\sqrt{x}-1) = \int_{1}^{x} \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)\,\d{t} \leq 0$$
が成り立つので，
$$
0 \leq \frac{\log{x}}{x} \leq 2 \left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}\right) \to 0 \quad(1 \leq x\to+\infty)$$
を得る．したがって，任意の$\alpha>0$に対して
$$
\frac{\log{x}}{x^{\alpha}} = \frac{1}{\alpha}\frac{\log{x^{\alpha}}}{x^{\alpha}} \to 0 \quad(x\to+\infty)$$
が成り立ち，さらに
$$
x^{\alpha}\log{x} = -\frac{\log{x^{-1}}}{(x^{-1})^{\alpha}} \to 0 \quad(x\to +0)$$
が成り立つ．
$$ \log{x} \leq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \quad(x\geq 1).$$
$$ \log{x}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \int_{1}^{x} \left(\frac{1}{t}-\left(\frac{1}{2\sqrt{t}}+\frac{1}{2t\sqrt{t}}\right)\right)\,\d{t} = -\int_{1}^{x} \frac{(\sqrt{t}-1)^{2}}{2t\sqrt{t}}\,\d{t} \leq 0.$$
$$ \log{x} \leq \frac{x}{e} \quad(x>0).$$
- $0< x\leq e$のとき，
$$ \log{x}-\frac{x}{e} = -\int_{x}^{e} \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{e}\right)\,\d{t} \leq 0$$
が成り立つ． - $e < x$のとき，
$$ \log{x}-\frac{x}{e} = \int_{e}^{x} \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{e}\right)\,\d{t} < 0$$
が成り立つ．
$$ \log\pi < \frac{\pi}{e} \quad\leadsto\quad \pi^{e} < e^{\pi}.$$
$$ \frac{\log{x}}{x} > \frac{\log{y}}{y} \quad(e \leq x < y).$$
$$ \frac{\log{x}}{x}-\frac{\log{y}}{y} = -\int_{x}^{y} \frac{1-\log{t}}{t^{2}}\,\d{t} > 0.$$
$e\leq a < b$のとき，
$$
b\log{a} > a\log{b} \quad\leadsto\quad a^{b} > b^{a}$$
が成り立つ．
指数函数
$$ x \leq e^{x}-1 \leq xe^{x} \quad(x \in \mathbb{R}).$$
$e^{x}>0$であるから，log-ineqより
$$
x=\log{e^{x}} \leq e^{x}-1$$
および
$$
\frac{e^{x}-1}{e^{x}} \leq \log{e^{x}} \quad\leadsto\quad e^{x}-1 \leq xe^{x}$$
を得る．
- $0\leq x$のとき，任意の$t\in[0,x]$に対して$1 \leq e^{t} \leq e^{x}$が成り立つので，
$$ x = \int_{0}^{x} 1\,\d{t} \leq \int_{0}^{x} e^{t}\,\d{t} \leq \int_{0}^{x} e^{x}\,\d{t} = xe^{x}$$
を得る． - $x \leq 0$のとき，任意の$t\in[x,0]$に対して$e^{x}\leq e^{t} \leq 1$が成り立つので，
$$ x=-\int_{x}^{0} 1\,\d{t} \leq -\int_{x}^{0} e^{t}\,\d{t} \leq -\int_{x}^{0} e^{x}\,\d{t} = xe^{x}$$
を得る．
$$ 1+x \leq e^{x} \leq \frac{1}{1-x} \quad(x < 1).$$
$$ |e^{x}-1| \leq e^{|x|}-1 \leq |x|e^{|x|} \quad(x \in \mathbb{R}).$$
$x \leq 0$のとき左側の不等式が成り立つことを示せば十分である：
$$
e^{x}+e^{-x} \geq 2 \sqrt{e^{x}e^{-x}}=2 \quad\leadsto\quad |e^{x}-1| = 1-e^{x} \leq e^{-x}-1 = e^{|x|}-1.$$
$$ \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} \leq e^{x} \quad(x\geq 0).$$
- Base：$1=e^{0} \leq e^{x}.$
- Induction：
$$ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{x^{k}}{k!} = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k+1}}{(k+1)!} = \int_{0}^{x} \sum_{k=0}^{n} \frac{t^{k}}{k!}\,\d{t} \leq \int_{0}^{x} e^{t}\,\d{t} = e^{x}-1.$$
任意の$\alpha>0$に対して，$n\coloneqq\lfloor\alpha\rfloor +1$とおけば上の不等式から
$$
\frac{e^{x}}{x^{\alpha}} \to +\infty \quad(x\to+\infty)$$
がわかる．
$$ \frac{e^{x}}{x^{\alpha}} = \exp \left(x\left(1-\alpha\frac{\log{x}}{x}\right)\right) \to +\infty \quad(x\to+\infty).$$
附：指数函数の冪級数展開
$$ (1+x)^{n} \geq 1+nx \quad(x \geq -1;\ n\in\mathbb{N}).$$
$n=0$のときは明らかなので，$n\geq 1$としてよい．
- $0 \leq x$のとき
$$ \frac{(1+x)^{n}}{n}-\frac{1}{n} = \int_{0}^{x} (1+t)^{n-1}\,\d{t} \geq \int_{0}^{x} 1\,\d{t} = x$$
が成り立つ． - $-1 \leq x \leq 0$のとき
$$ \frac{(1+x)^{n}}{n}-\frac{1}{n} = -\int_{x}^{0} (1+t)^{n-1}\,\d{t} \geq -\int_{x}^{0} 1\,\d{t} = x$$
が成り立つ．
$$ e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \quad(x\in\mathbb{R}).$$
- log-nより
$$ n(1-(e^{x})^{-\frac{1}{n}}) \leq \log{e^{x}} \leq n((e^{x})^{\frac{1}{n}}-1)$$
であるから，$n>|x|$のとき
$$ \left(1-\frac{x}{n}\right)^{-n} \geq e^{x} \geq \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$$
が成り立つ． - さらに，$n > x^{2}$のとき，ベルヌーイの不等式より
\begin{align} 0 \leq \left(1-\frac{x}{n}\right)^{-n}-\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} &= \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\left(\left(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\right)^{-n}-1\right) \\ &\stackrel{!}{\leq} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\left(\left(1-\frac{x^{2}}{n}\right)^{-1}-1\right) \\ &\leq e^{x}\left(\frac{n}{n-x^{2}}-1\right) \\ &= e^{x} \frac{x^{2}}{n-x^{2}} \\ &\to 0 \quad(n\to\infty) \end{align}
が成り立つので，
$$ e^{x} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{x}{n}\right)^{-n} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$$
を得る． - $x\geq 0$のとき，amgm例7，exp-serより
$$ \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} \leq e^{x}$$
が成り立つので，$n\to\infty$として
$$ e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}$$
を得る． - $x < 0$のとき，前段より
$$ e^{x}e^{-x} = 1 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x+(-x))^{k}}{k!} = \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \right)\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-x)^{k}}{k!} \right) = \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \right)e^{-x}$$
が成り立つので（cf. abs-conv例3），
$$ e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}$$
を得る．
\begin{align} 2 &< 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{k!}+\cdots = e \\ &\leq 1+\frac{1}{2^{0}}+\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}+\cdots = 3. \end{align}
三角函数
\begin{align} 1-\frac{x^{2}}{2!} &\leq \cos{x} \leq 1-\frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} &&\quad(x \in \mathbb{R});\\ x-\frac{x^{3}}{3!} &\leq \sin{x} \leq x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!} &&\quad(x \geq 0). \end{align}
- $x \geq 0$のとき
$$ \sin{x} = \int_{0}^{x} \cos{t}\,\d{t} \leq \int_{0}^{x} 1\,\d{t} = x$$
が成り立つ． - $x \geq 0$のとき，上式を積分して
$$ -\cos{x}+1 = \int_{0}^{x} \sin{t}\,\d{t} \leq \int_{0}^{x} t\,\d{t} = \frac{x^{2}}{2} \quad\leadsto\quad 1-\frac{x^{2}}{2!} \leq \cos{x}$$
を得る．両辺はいづれも偶函数なので，この不等式は$x \leq 0$でも成り立つ． - $x \geq 0$のとき，上式を積分して
$$ x-\frac{x^{3}}{3!} = \int_{0}^{x} \left(1-\frac{t^{2}}{2!}\right)\,\d{t} \leq \int_{0}^{x} \cos{t}\,\d{t} = \sin{x}$$
を得る． - $x \geq 0$のとき，上式を積分して
$$ \frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{4}}{4!} = \int_{0}^{x} \left(t-\frac{t^{3}}{3!}\right)\,\d{t} \leq \int_{0}^{x} \sin{t}\,\d{t} = -\cos{x}+1 \quad\leadsto\quad \cos{x} \leq 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}$$
を得る．両辺はいづれも偶函数なので，この不等式は$x \leq 0$でも成り立つ． - $x\geq 0$のとき，上式を積分して
$$ \sin{x} = \int_{0}^{x} \cos{t}\,\d{t} \leq \int_{0}^{x} \left(1-\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{4}}{4!}\right)\,\d{t} = x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}$$
を得る．
$$ \frac{2}{\pi}x \leq \sin{x} \leq x \quad\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right).$$
$2<\pi$であるから，$a \coloneqq \arccos\frac{2}{\pi}$とおくと$0< a<\frac{\pi}{2}$が成り立つ．
- $x \leq a$のとき，任意の$t\in[0,x]$に対して$\cos{a}\leq \cos{t}$が成り立つので，
$$ \frac{2}{\pi}x-\sin{x} = \int_{0}^{x} \left(\frac{2}{\pi} - \cos{t}\right)\,\d{t} \leq 0$$
となる． - $a \leq x$のとき，任意の$t\in[x,\frac{\pi}{2}]$に対して$\cos{t}\leq\cos{a}$が成り立つので，
$$ \frac{2}{\pi}x - \sin{x} = -\int_{x}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{2}{\pi} - \cos{t} \right)\,\d{t} \leq 0$$
となる．
