絶対収束級数の並べ替え
絶対収束級数の“可換性”
$X$をBanach空間とする．点列$x_{\bullet},s_{\bullet} \in X^{\mathbb{N}}$が
$$
\forall\,n\in\mathbb{N},\ \sum_{k=0}^{n} x_{k}=s_{n}$$
を満たしているとき，組$(x_{\bullet},s_{\bullet})$を（無限）級数といい，$x_{n}$をその第$n$項，$s_{n}$をその第$n$部分和という．さらに，部分和の列$s_{\bullet}$が収束するとき，その極限値を級数$(x_{\bullet},s_{\bullet})$の和といい$\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n}$で表わす：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x_{n} \coloneqq \lim_{n\to\infty} s_{n}.$$
以下，“級数$(x_{\bullet},s_{\bullet})$”の代わりに“級数$\sum x_{n}$”と書く．
級数$\sum \|x_{n}\|$が収束するとき，級数$\sum x_{n}$は絶対収束するという．
絶対収束級数は収束する．さらに，その和について
$$
\left\|\sum_{n=0}^{\infty} x_{n} \right\| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \|x_{n}\|$$
が成り立つ．
- 任意の$\varepsilon>0$に対して，仮定より，$n_{0}\in\mathbb{N}$であって
$$ n \geq m \geq n_{0} \implies \sum_{k=m}^{n} \|x_{k}\| \leq \varepsilon \quad\leadsto\quad \left\|\sum_{k=m}^{n} x_{k}\right\| \leq \varepsilon$$
を満たすものが存在する．したがって$s_{\bullet}$は$X$のCauchy列であるから，収束する． - 任意の$N\in\mathbb{N}$に対して
$$ \left\|\sum_{n=0}^{N} x_{n} \right\| \leq \sum_{n=0}^{N} \|x_{n}\|$$
が成り立つので，$N\to\infty$として
$$ \left\|\sum_{n=0}^{\infty} x_{n} \right\| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \|x_{n}\|$$
を得る．
$\sum x_{n}$を絶対収束級数とする．このとき，任意の全単射$\sigma\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$に対して，級数$\sum x_{\sigma(n)}$も絶対収束し
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} x_{\sigma(n)}$$
が成り立つ．
- 任意の$N\in\mathbb{N}$に対して
$$ \sum_{n=0}^{N} \|x_{\sigma(n)}\| \leq \sum_{n=0}^{\max\sigma([0,N])} \|x_{n}\| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \|x_{n}\|<+\infty$$
が成り立つので，級数$\sum \|x_{\sigma(n)}\|$は収束する． - $\varepsilon>0$とする．このとき，$n_{0}\in\mathbb{N}$であって
$$ n \geq m \geq n_{0} \implies \sum_{k=m}^{n} \|x_{k}\| \leq \varepsilon$$
を満たすものが存在する．そこで$n_{0}'\coloneqq \max\sigma^{-1}([0,n_{0}])$とおくと，
$$ n \geq m \geq n_{0}' \implies \sum_{k=m}^{n} \|x_{\sigma(k)}\| \leq \sum_{k=n_{0}}^{\max\sigma([m,n])} \|x_{k}\| \leq \varepsilon$$
が成り立つ．さらに，$[0,n_{0}]\subset\sigma([0,n_{0}'])$より
$$ \left\|\sum_{k=0}^{n_{0}'} x_{\sigma(k)} - \sum_{k=0}^{n_{0}} x_{k}\right\| \leq \sum_{k=n_{0}}^{\max\sigma([0,n_{0}'])} \|x_{k}\| \leq \varepsilon$$
が成り立つ．よって
$$ n \geq n_{0}+n_{0}' \implies \left\|\sum_{k=0}^{n} x_{\sigma(k)} - \sum_{k=0}^{n} x_{k} \right\| \leq \left\|\sum_{k=0}^{n_{0}'} x_{\sigma(k)} - \sum_{k=0}^{n_{0}} x_{k}\right\| + \sum_{k=n_{0}'}^{n} \|x_{\sigma(k)}\| + \sum_{k=n_{0}}^{n} \|x_{k}\| \leq 3\varepsilon$$
が成り立ち，したがって
$$ \left\|\sum_{k=0}^{n} x_{\sigma(k)} - s\right\| \leq \left\|\sum_{k=0}^{n} x_{\sigma(k)} - \sum_{k=0}^{n} x_{k} \right\| + \left\|\sum_{k=0}^{n} x_{k}-s\right\| \to 0 \quad(n\to\infty)$$
となるので，
$$ \sum_{n=0}^{\infty} x_{\sigma(n)} = s = \sum_{n=0}^{\infty} x_{n}$$
を得る．
$x'_{n}\coloneqq x_{\sigma(n)}$とおき，
$$
s\coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} x_{n},\ s' \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} x'_{n}$$
とおく．
正項級数の場合
任意の$N\in\mathbb{N}$に対して
$$
\sum_{n=0}^{N} x'_{n} = \sum_{n=0}^{N} x_{\sigma(n)} \leq \sum_{n=0}^{\max\sigma([0,N])} x_{n} \leq s$$
が成り立つので，$N\to\infty$として$s' \leq s$を得る．$x_{n}=x_{\sigma(\sigma^{-1}(n))} = x'_{\sigma^{-1}(n)}$であるから，同様にして$s\leq s'$も成り立つ．
一般の場合
各$n\in\mathbb{N}$に対して
$$
y_{n}\coloneqq \frac{|x_{n}|+x_{n}}{2},\ z_{n} \coloneqq \frac{|x_{n}|-x_{n}}{2}$$
とおくと，級数$\sum x_{n},\sum |x_{n}|$が収束することから，正項級数$\sum y_{n},\sum z_{n}$は収束し
$$
x_{n}=y_{n}-z_{n} \quad\leadsto\quad s=\sum_{n=0}^{\infty}y_{n}-\sum_{n=0}^{\infty}z_{n}$$
が成り立つ．さらに，$y'_{n},z'_{n}$も同様に定めると，
$$
y'_{n}=\frac{|x_{\sigma(n)}|+x_{\sigma(n)}}{2}=y_{\sigma(n)},\ z'_{n}=\frac{|x_{\sigma(n)}|-x_{\sigma(n)}}{2}=z_{\sigma(n)}$$
であるから前段より
$$
\sum_{n=0}^{\infty} y_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} y'_{n},\ \sum_{n=0}^{\infty} z_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} z'_{n}$$
が成り立ち，したがって
$$
s = \sum_{n=0}^{\infty} y_{n} - \sum_{n=0}^{\infty} z_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} y'_{n} - \sum_{n=0}^{\infty} z'_{n} = s'$$
を得る．
絶対収束級数の“結合性”
$X$をBanach空間，$A$を可算無限集合とし，$x_{\bullet} \in X^{A}$とする．全単射$\sigma \colon \mathbb{N}\to A$であって級数$\sum x_{\sigma(n)}$が絶対収束するようなものが存在するとき，族$(x_{a})_{a\in A}$は絶対総和可能であるという．このとき，commより，和$\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{\sigma(n)}\in X$は全単射$\sigma \colon \mathbb{N}\to A$の取り方に依らないので，これを$(x_{a})_{a\in A}$の和といい$\sum\limits_{a\in A} x_{a}$で表わす：
$$
\sum_{a\in A} x_{a} \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} x_{\sigma(n)}.$$
$A$が有限集合のときは，$a\in\mathbb{N}\smallsetminus A$に対して$x_{a}\coloneqq 0$とおくことで，族$(x_{a})_{a\in A}$を，$A\cup\mathbb{N}$で添字づけられた絶対総和可能族と見做す．
級数$\sum x_{n}$が絶対収束するならば，族$(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$は絶対総和可能であり
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x_{n} = \sum_{n\in\mathbb{N}} x_{n}$$
が成り立つ．
$X$をBanach空間，$A$を可算無限集合とし，$x_{\bullet} \in X^{A}$とする．このとき次は同値である：
- $(x_{a})_{a\in A}$は絶対総和可能である；
- $\mathcal{F}=\mathcal{F}(A)\coloneqq \{F\subset A\mid \#F<\aleph_{0}\}$とおくとき，
$$ \sup_{F\in\mathcal{F}}\,\sum_{a\in F} \|x_{a}\| <+\infty$$
が成り立つ．
さらに次が成り立つ：
- $$\quad\sum_{a\in A} \|x_{a}\| = \sup_{F\in\mathcal{F}}\,\sum_{a\in F} \|x_{a}\|;$$
- 任意の$\varepsilon>0$に対して，$F\in\mathcal{F}$であって
$$ E\in\mathcal{F},\ E \supset F \implies \left\|\sum_{a\in A} x_{a} - \sum_{a\in E} x_{a} \right\| \leq \varepsilon$$
が成り立つものが存在する．
全単射$\sigma\colon \mathbb{N}\to A$を取る．
(i)$\implies$(ii)
任意の$F\in\mathcal{F}$に対して，$N\coloneqq \max\sigma^{-1}(F)$とおけば，
$$
\sum_{a\in F} \|x_{a}\| \leq \sum_{n=0}^{N} \|x_{\sigma(n)}\| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \|x_{\sigma(n)}\| < +\infty$$
が成り立つ．
(ii)$\implies$(i)
任意の$n\in\mathbb{N}$に対して
$$
\sum_{k=0}^{n} \|x_{\sigma(k)}\| = \sum_{a\in \{\sigma(0),\ldots,\sigma(n)\}} \|x_{a}\| \leq \sup_{F\in\mathcal{F}}\,\sum_{a\in F} \|x_{a}\| <+\infty$$
が成り立つので，級数$\sum x_{\sigma(n)}$は絶対収束する．
(1)
- 任意の$F\in\mathcal{F}$に対して，$N\coloneqq \max\sigma^{-1}(F)$とおくと，
$$ \sum_{a\in F} \|x_{a}\| \leq \sum_{n=0}^{N} \|x_{\sigma(n)}\| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \|x_{\sigma(n)}\| = \sum_{a\in A} \|x_{a}\|$$
が成り立つ． - $\varepsilon>0$とする．このとき，$N\in\mathbb{N}$であって
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \|x_{\sigma(n)}\| - \sum_{n=0}^{N} \|x_{\sigma(n)}\| < \varepsilon$$
なるものが存在するので，$F\coloneqq \{\sigma(0),\ldots,\sigma(N)\}\in\mathcal{F}$とおけば，
$$ \sum_{a\in A} \|x_{a}\| - \varepsilon < \sum_{a\in F} \|x_{a}\|$$
が成り立つ．
(2)
$\varepsilon>0$とすると，有限集合$F\in\mathcal{F}$であって
$$
\left\|\sum_{a\in A}x_{a} - \sum_{a\in F} x_{a}\right\| \leq \sum_{a\in A\smallsetminus F} \|x_{a}\| = \sum_{a\in A} \|x_{a}\| - \sum_{a\in F} \|x_{a}\| \leq \frac{\varepsilon}{2}$$
なるものが存在する．したがって，任意の$E\in\mathcal{F},\,E\supset F,\,$に対して
\begin{align}
\left\|\sum_{a\in A} x_{a} - \sum_{a\in E} x_{a} \right\|
&\leq \left\|\sum_{a\in A} x_{a} - \sum_{a\in F} x_{a}\right\| + \left\|\sum_{a\in E\smallsetminus F} x_{a} \right\| \\
&\leq \frac{\varepsilon}{2} + \sum_{a\in E\smallsetminus F} \|x_{a}\| \\
&\leq \frac{\varepsilon}{2} + \sum_{a\in A\smallsetminus F} \|x_{a}\| \\
&\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
&= \varepsilon
\end{align}
が成り立つ．
$X$をBanach空間，$A$を可算無限集合，$(B_{n})_{n\in\mathbb{N}}$を$A$の分割とし，$x_{\bullet}\in X^{A}$を絶対総和可能族とする．このとき，各$n\in\mathbb{N}$に対して，族$(x_{a})_{a\in B_{n}}$は絶対総和可能であり，その和を$z_{n} \in X$とおくと，級数$\sum z_{n}$は絶対収束して
$$
\sum_{a\in A} x_{a} = \sum_{n=0}^{\infty} z_{n}$$
が成り立つ．
絶対総和可能であること
任意の有限集合$F_{n}\in\mathcal{F}(B_{n})$に対して
$$
\sum_{a\in F_{n}} \|x_{a}\| \leq \sup_{F\in\mathcal{F}(A)}\,\sum_{a\in F} \|x_{a}\| < +\infty$$
が成り立つので，族$(x_{a})_{a\in B_{n}}$は絶対総和可能である（cf. fin-sum）．
絶対収束すること
$n\in\mathbb{N}$とする．このとき，各$k\in\{0,\ldots,n\}$に対して有限集合$F_{k}\in\mathcal{F}(B_{k})$であって
$$
\left\|\sum_{a\in B_{k}} x_{a} - \sum_{a\in F_{k}} x_{a} \right\| \leq \frac{1}{n+1} \quad\leadsto\quad \|z_{k}\| \leq \left\|\sum_{a\in F_{k}} x_{a} \right\| + \frac{1}{n+1} \leq \sum_{a\in F_{k}} \|x_{a}\| + \frac{1}{n+1}$$
を満たすものが存在するので，
$$
\sum_{k=0}^{n} \|z_{k}\| \leq \sum_{a\in \bigsqcup F_{k}} \|x_{a}\| + (n+1)\frac{1}{n+1} \leq \sum_{a\in A} \|x_{a}\| +1 <+\infty$$
が成り立つ．よって，級数$\sum z_{n}$は絶対収束する．
和が一致すること
$\varepsilon>0$とすると，fin-sumより，有限集合$F\in\mathcal{F}(A)$であって，
$$
E\in\mathcal{F},\ E \supset F \implies \left\|\sum_{a\in A} x_{a} - \sum_{a\in E} x_{a} \right\| \leq \varepsilon$$
が成り立つものが存在する．そこで，$n_{0}\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N} \mid F \cap B_{k}\neq \varnothing\}$とおき，$n \geq n_{0}$とする．このとき，各$k\leq n$に対して$E_{k}\in\mathcal{F}(B_{k})$であって
$$
E_{k}\supset F\cap B_{k},\ \left\|\sum_{a\in B_{k}} x_{a} - \sum_{a\in E_{k}} x_{a}\right\| \leq \frac{\varepsilon}{n+1}$$
なるものを取り（cf. fin-sum），$E\coloneqq \bigsqcup E_{k} \in \mathcal{F}(A)$とおくと，$E\supset F$より
\begin{align}
\left\|\sum_{k=0}^{n} z_{k} -\sum_{a\in A} x_{a}\right\|
&\leq \left\|\sum_{k=0}^{n} \left(z_{k}-\sum_{a\in E_{k}} x_{a}\right)\right\| + \left\|\sum_{a\in A} x_{a} - \sum_{a\in E} x_{a}\right\| \\
&\leq \sum_{k=0}^{n} \left\|\sum_{a\in B_{k}} x_{a} - \sum_{a\in E_{k}} x_{a}\right\| + \varepsilon \\
&\leq (n+1)\frac{\varepsilon}{n+1} + \varepsilon \\
&= 2\varepsilon
\end{align}
が成り立つ．
族$(x_{a})_{a\in A}$が絶対総和可能ならば，定義より$(\|x_{a}\|)_{a\in A}$も絶対総和可能なので，級数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{a\in B_{n}} \|x_{a}\|$$
は収束する（cf. main）．逆に，各$(x_{a})_{a\in B_{n}}$が絶対総和可能であり，級数$\sum_{n} \sum_{a\in B_{n}} \|x_{a}\|$が収束するならば，族$(x_{a})_{a\in A}$は絶対総和可能である：実際，任意の有限集合$F\in\mathcal{F}(A)$に対して，
$$
\sum_{a\in F} \|x_{a}\| = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{a\in F\cap B_{n}} \|x_{a}\| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{a\in B_{a}} \|x_{a}\| < +\infty$$
が成り立つ（cf. fin-sum）．
$X$がBanach代数であるとき，級数$\sum x_{n}, \sum y_{n}$が絶対収束するならば，族$(x_{n}y_{m})_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$は絶対総和可能である：実際，任意の有限集合$F\subset\mathbb{N}\times\mathbb{N}\eqqcolon A$に対して，十分大きな$N\in\mathbb{N}$を取れば，
$$
\sum_{(n,m)\in F} \|x_{n}y_{m}\| \leq \sum_{(n,m)\in F} \|x_{n}\|\cdot\|y_{m}\| \leq \sum_{n=0}^{N} \|x_{n}\| \cdot \sum_{m=0}^{N} \|y_{m}\| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \|x_{n}\| \cdot \sum_{m=0}^{\infty} \|y_{m}\| <+\infty$$
が成り立つ（cf. fin-sum）．さらに，
- $A$の分割$(B_{n})_{n}$を
$$ B_{n} \coloneqq \{n\} \times \mathbb{N}$$
で定めることで，
$$ \sum_{(n,m)\in A} x_{n}y_{m} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{(n,m)\in B_{n}} x_{n}y_{m} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(x_{n}\sum_{m=0}^{\infty} y_{m}\right) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} x_{n} \right)\cdot\left(\sum_{m=0}^{\infty} y_{m}\right)$$
を得る． - $A$の分割$(C_{n})_{n}$を
$$ C_{n} \coloneqq \{(k,\ell)\in A \mid k+\ell = n\}$$
で定めることで，
$$ \sum_{(n,m)\in A} x_{n}y_{m} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{(k,\ell)\in C_{n}} x_{k}y_{\ell} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} x_{k}y_{n-k}$$
を得る．
よって，
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x_{n} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} y_{n} =\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} x_{k}y_{n-k}$$
が成り立つ．
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}\frac{y^{n-k}}{(n-k)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}y^{n-k} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+y)^{n}}{n!}.$$
$x,y\in\mathbb{R},\,|x|<1,\,|y|<1,\,$とする．このとき
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} |x^{n}y^{m}| = \sum_{n=0}^{\infty} \left(|x|^{n} \sum_{m=0}^{\infty} |y|^{m}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|x|^{n}}{1-|y|}=\frac{1}{(1-|x|)(1-|y|)} < +\infty$$
となるので，族$(x^{n}y^{m})_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$は絶対総和可能であり（cf. rmk），したがって
$$
\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}} x^{n}y^{m} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} x^{n}y^{m} = \frac{1}{(1-x)(1-y)}$$
が成り立つ．
$x,y\in\mathbb{R},\,|x|+|y|<1,\,$とする．このとき
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!\,(n-k)!}|x|^{k}|y|^{n-k} = \sum_{n=0}^{\infty} (|x|+|y|)^{n} = \frac{1}{1-|x|-|y|} < +\infty$$
となるので，族$((n+m)!\,x^{n}y^{m}/(n!\,m!))_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$は絶対総和可能であり（cf. rmk），したがって
$$
\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}} \frac{(n+m)!}{n!\,m!} x^{n}y^{m} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!\,(n-k)!}x^{k}y^{n-k} = \sum_{n=0}^{\infty} (x+y)^{n} = \frac{1}{1-x-y}$$
が成り立つ．
族$(x_{n,m})_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$が絶対総和可能であるためには，
- 各$n\in\mathbb{N}$に対して族$(x_{n,m})_{m\in\mathbb{N}}$は絶対総和可能であり，級数
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \|x_{n,m}\|$$
が収束する； - 各$m\in\mathbb{N}$に対して族$(x_{n,m})_{n\in\mathbb{N}}$は絶対総和可能であり，級数
$$ \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \|x_{n,m}\|$$
が収束する；
のいづれかが成り立つことが必要かつ十分であり（cf. rmk），さらに，そのとき
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} x_{n,m} = \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}} x_{n,m} = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} x_{n,m}$$
が成り立つ．
$x\in\mathbb{R},\,|x|<1,\,$とする．このとき
$$
\frac{|x|^{2n+1}}{1-|x|^{2n+1}} \cdot \frac{1-|x|^{2n-1}}{|x|^{2n-1}} = |x|^{2} \cdot \frac{1-|x|^{2n-1}}{1-|x|^{2n+1}} \to |x|^{2} <1 \quad(n\to\infty)$$
より，級数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{|x|^{2n+1}}{1-|x|^{2n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} |x|^{2n+1}\sum_{m=0}^{\infty} (|x|^{2n+1})^{m} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} |x|^{(2n+1)(m+1)}$$
は収束するので，族$(x^{(2n+1)(m+1)})_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$は絶対総和可能であり，
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{1-x^{2n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} x^{(2n+1)(m+1)} = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} x^{(2n+1)(m+1)} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m+1}}{1-x^{2(m+1)}} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^{m}}{1-x^{2m}}$$
が成り立つ．
$(B_{0},\ldots,B_{n})$を$A$の有限分割とすると，各$k\in\{0,\ldots,n\}$に対して$(x_{a})_{a\in B_{k}}$は絶対総和可能であり，
$$
\sum_{a\in A} x_{a} = \sum_{k=0}^{n} \sum_{a\in B_{k}} x_{a}$$
が成り立つ．
$\#B_{n}=\aleph_{0}$としてよい．このとき，
$$
B_{n} = \{b_{n},b_{n+1},\ldots\}$$
とおけば，
$$
\sum_{a\in A} x_{a} = \sum_{k=0}^{\infty} z_{k} = \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{a\in B_{k}} x_{a} + \sum_{k=n}^{\infty} x_{b_{k}} = \sum_{k=0}^{n} \sum_{a\in B_{k}} x_{a}$$
が成り立つ．
逆に，各$(x_{a})_{a\in B_{k}}$が絶対総和可能ならば，$(x_{a})_{a\in A}$も絶対総和可能である．
級数$\sum x_{n}$が絶対収束するならば，級数$\sum x_{2n},\,\sum x_{2n+1}$も絶対収束し，
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} x_{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} x_{2n+1}$$
が成り立つ．
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} + i\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} x^{2n+1}.$$
