大学数学基礎議論

積分・級数botを解く integral 1-6

黄金比,積分,二重対数関数

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積分を解く

こんにちは、今週も積分を解いていきましょう。

解く積分

integral 1-6

$\int_{0}^{1} \frac{\tanh^{- 1} \frac{x}{2 + \sqrt{5}}}{x} d x = \frac{π^{2}}{24} - \frac{3}{4} \ln^{2} ϕ$

右辺が見るからに integral 1-4 で出てきたあいつですね。
そのことを頭の片隅に入れて解くと良いかもしれません。

式変形

黄金数 $ϕ$ を用いて式を見やすくします。
（黄金数については wiki を参照してください。）
$ϕ^{3} = 2 + \sqrt{5}$
だったので、これを積分に適用すると、

$I = \int_{0}^{1} \frac{\tanh^{- 1} \frac{x}{2 + \sqrt{5}}}{x} d x = \int_{0}^{1} \frac{\tanh^{- 1} (x ϕ^{- 3})}{x} d x$

この積分を、 integral 1-4 の中の公式2を使うことで、級数の形にして計算出来ます。
※ここで、 $artanh x$ と $\tanh^{- 1} x$ は同じ関数です。

$\begin{aligned} I = & \int_{0}^{1} \frac{\tanh^{- 1} (x ϕ^{- 3})}{x} d x \\ = & \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x ϕ^{- 3})}^{2 n + 1}}{2 n + 1} d x \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(ϕ^{- 3})}^{2 n + 1}}{2 n + 1} \int_{0}^{1} x^{2 n} d x \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(ϕ^{- 3})}^{2 n + 1}}{(2 n + 1)^{2}} \\ = & χ_{2} (ϕ^{- 3}) \end{aligned}$