積分・級数botを解く integral 1-6
積分を解く
こんにちは、今週も積分を解いていきましょう。
解く積分
$$ \int_{0}^{1}\frac{\tanh^{-1}{\frac{x}{2+\sqrt{5}}}}{x}dx=\frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2\phi $$
右辺が見るからに
integral 1-4
で出てきたあいつですね。
そのことを頭の片隅に入れて解くと良いかもしれません。
式変形
黄金数$\phi$を用いて式を見やすくします。
（黄金数については
wiki
を参照してください。）
$$
\phi^3=2+\sqrt{5}
$$
だったので、これを積分に適用すると、
$$ I=\int_{0}^{1}\frac{\tanh^{-1}{\frac{x}{2+\sqrt{5}}}}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\tanh^{-1}{(x\phi^{-3}})}{x}dx $$
この積分を、
integral 1-4
の中の公式2を使うことで、級数の形にして計算出来ます。
※ここで、$\mathrm{artanh}{\,x}$と$\tanh^{-1}{x}$は同じ関数です。
$$\begin{align} I=&\int_{0}^{1}\frac{\tanh^{-1}{(x\phi^{-3}})}{x}dx\\[5pt] =&\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(x\phi^{-3}\right)^{2n+1}}{2n+1}dx\\[5pt] =&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\phi^{-3}\right)^{2n+1}}{2n+1}\int_{0}^{1}x^{2n}dx\\[5pt] =&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\phi^{-3}\right)^{2n+1}}{(2n+1)^2}\\[5pt] =&\chi_{2}\left(\phi^{-3}\right) \end{align}$$
※最後の式変形で出てきた関数はルジャンドルの$\chi$関数というやつです。
また、
integral 1-4
の命題1で示した等式
$$ \chi_{s}(z)=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_{s}(z)-\frac{1}{2}\mathrm{Li}_{s}(-z) $$
より、
$$ I=\chi_{2}\left(\phi^{-3}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_{2}\left(\phi^{-3}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{Li}_{2}\left(-\phi^{-3}\right) $$
このことから、
$$ \mathrm{Li_{2}\left(\phi^{-3}\right)}-\mathrm{Li}_{2}\left(-\phi^{-3}\right)=\frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{2}\ln^2{\phi} $$
を示せば積分が解けたことになりますが、残念ながら私の力ではこの等式を示すことが出来ませんでした。
腕に自信のある方は是非この等式を示して教えてほしいです。
この等式を認めれば、すぐに
$$ I=\frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2{\phi} $$
と分かります。
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