写像 ⑦

Prop&Proof

任意に $Y\subseteq B$ をとる。
集合の相等を示すために、両包含を示す。

1. $f^{-1}(B\setminus Y)\subseteq A\setminus f^{-1}(Y)$ を示す。
   任意に $a\in f^{-1}(B\setminus Y)$ をとる。
   逆像の定義より、
   $$ a\in A \quad\text{かつ}\quad f(a)\in B\setminus Y $$
   である。
   差集合の定義より、
   $$ f(a)\in B \quad\text{かつ}\quad f(a)\notin Y $$
   である。
   また、逆像の定義より、
   $$ a\in A $$
   である。
   ここで、$a\in f^{-1}(Y)$ と仮定すると、逆像の定義より、
   $$ f(a)\in Y $$
   となる。これは
   $$ f(a)\notin Y $$
   に矛盾する。したがって、
   $$ a\notin f^{-1}(Y) $$
   である。ゆえに、
   $$ a\in A\setminus f^{-1}(Y) $$
   である。
   $a\in f^{-1}(B\setminus Y)$ は任意であったから、
   $$ f^{-1}(B\setminus Y)\subseteq A\setminus f^{-1}(Y) $$
   である。
   $ $
2. $A\setminus f^{-1}(Y)\subseteq f^{-1}(B\setminus Y)$ を示す。
   任意に $a\in A\setminus f^{-1}(Y)$ をとる。
   このとき、
   $$ a\in A \quad\text{かつ}\quad a\notin f^{-1}(Y) $$
   である。
   $f:A\to B$ は写像であり、$a\in A$ であるから、
   $$ f(a)\in B $$
   である。
   もし $f(a)\in Y$ であるならば、$a\in A$ であるから、逆像の定義より
   $$ a\in f^{-1}(Y) $$
   となる。これは $a\notin f^{-1}(Y)$ に矛盾する。
   したがって、
   $$ f(a)\notin Y $$
   である。したがって、
   $$ f(a)\in B\setminus Y $$
   である。
   ゆえに、逆像の定義より、
   $$ a\in f^{-1}(B\setminus Y) $$
   である。
   $a\in A\setminus f^{-1}(Y)$ は任意であったから、
   $$ A\setminus f^{-1}(Y)\subseteq f^{-1}(B\setminus Y) $$
   である。

-以上より、
$$ f^{-1}(B\setminus Y)=A\setminus f^{-1}(Y) $$
である。
$$ \Box$$

任意に $Y,Z\subseteq B$ をとる。
集合の相等を示すために、両包含を示す。

1. $f^{-1}(Y\setminus Z)\subseteq f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z)$ を示す。
   任意に $a\in f^{-1}(Y\setminus Z)$ をとる。
   逆像の定義より、
   $$ a\in A \quad\text{かつ}\quad f(a)\in Y\setminus Z $$
   である。
   差集合の定義より、
   $$ f(a)\in Y \quad\text{かつ}\quad f(a)\notin Z $$
   である。
   $a\in A$ かつ $f(a)\in Y$ であるから、逆像の定義より、
   $$ a\in f^{-1}(Y) $$
   である。
   また、$a\in f^{-1}(Z)$ と仮定すると、逆像の定義より、
   $$ f(a)\in Z $$
   となる。これは、
   $$ f(a)\notin Z $$
   に矛盾する。
   したがって、
   $$ a\notin f^{-1}(Z) $$
   である。ゆえに、
   $$ a\in f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z) $$
   である。
   $a\in f^{-1}(Y\setminus Z)$ は任意であったから、
   $$ f^{-1}(Y\setminus Z)\subseteq f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z) $$
   である。
   $ $
2. $f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z)\subseteq f^{-1}(Y\setminus Z)$ を示す。
   任意に $a\in f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z)$ をとる。
   差集合の定義より、
   $$ a\in f^{-1}(Y) \quad\text{かつ}\quad a\notin f^{-1}(Z) $$
   である。
   $a\in f^{-1}(Y)$ であるから、逆像の定義より、
   $$ a\in A \quad\text{かつ}\quad f(a)\in Y $$
   である。
   ここで、$f(a)\in Z$ と仮定すると、$a\in A$ であるから、逆像の定義より、
   $$ a\in f^{-1}(Z) $$
   となる。これは、
   $$ a\notin f^{-1}(Z) $$
   に矛盾する。
   したがって、
   $$ f(a)\notin Z $$
   である。よって、
   $$ f(a)\in Y \quad\text{かつ}\quad f(a)\notin Z $$
   である。
   したがって、差集合の定義より、
   $$ f(a)\in Y\setminus Z $$
   である。
   $a\in A$ かつ $f(a)\in Y\setminus Z$ であるから、逆像の定義より、
   $$ a\in f^{-1}(Y\setminus Z) $$
   である。
   $a\in f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z)$ は任意であったから、
   $$ f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z)\subseteq f^{-1}(Y\setminus Z) $$
   である。

-以上より、
$$ f^{-1}(Y\setminus Z)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z) $$
である。
$$ \Box$$

任意に $Y,Z\subseteq B$ をとる。
対称差の定義より、
$$ Y\triangle Z=(Y\setminus Z)\cup(Z\setminus Y) $$
である。
したがって、
$$ f^{-1}(Y\triangle Z) = f^{-1}((Y\setminus Z)\cup(Z\setminus Y)) $$
である。
ここで、和集合の逆像の性質( 証明はコチラ )より、
$$ f^{-1}((Y\setminus Z)\cup(Z\setminus Y)) = f^{-1}(Y\setminus Z)\cup f^{-1}(Z\setminus Y) $$
である。
また、差集合の逆像の性質(本記事で証明済み)より、
$$ f^{-1}(Y\setminus Z) = f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z) $$
であり、
$$ f^{-1}(Z\setminus Y) = f^{-1}(Z)\setminus f^{-1}(Y) $$
である。よって、
$$ \begin{align} f^{-1}(Y\triangle Z) &= f^{-1}(Y\setminus Z)\cup f^{-1}(Z\setminus Y)\\ &= (f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z))\cup(f^{-1}(Z)\setminus f^{-1}(Y)) \end{align} $$
である。
一方、対称差の定義より、
$$ f^{-1}(Y)\triangle f^{-1}(Z) = (f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(Z))\cup(f^{-1}(Z)\setminus f^{-1}(Y)) $$
である。
したがって、
$$ f^{-1}(Y\triangle Z)=f^{-1}(Y)\triangle f^{-1}(Z) $$
である。
$$ \Box$$