Op.5-2(級数・積分botの積分を留数定理で解く)

$$ I=\int_{0}^{1}\frac{x}{\tanh^{-1}{x}}dx$$
において,$u=\tanh^{-1}{x}$と置換すると
$x=\tanh{u},\; dx=\sech^{2}{u}du$であり,積分区間に注意して,
$$ I=\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh{u}}{u\cosh^{3}{u}}du$$
関数 $f(u)=\dfrac{\sinh{u}}{u\cosh^{3}{u}}$ は偶関数であるから, 係数を調整して, 実数全体での積分にする.
$$ I=\dfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sinh{u}}{u\cosh^{3}{u}}du $$
複素関数 $f(z) = \dfrac{\sinh z}{z \cosh^3 z}$ を考え, 上半平面の半円周経路 $C$ に沿って積分する. 経路 $C$ は実軸上の線分 $[-R, R]$ と, 上半平面の半円弧$\Gamma_R = \{ R e^{i\theta} \mid 0 \le \theta \le \pi \} $からなるものとする. ただし, 充分に大きな自然数$N$を用いて $R=\pi N $ と表せるものとする.
ただし, $z=0$ においては $\displaystyle \lim_{z\to 0} \dfrac{\sinh z}{z} = 1$ となり除去可能特異点であるから, 原点付近での経路の迂回は不要である.
上半平面における $f(z)$ の特異点は, 分母の$\cosh z = 0 $となる点である.
$$ \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2} = 0 \iff e^{2z} = -1 $$
$$ 2z = i(\pi + 2k\pi) \quad (k = 0, 1, 2, \dots) $$
したがって, 上半平面に存在する極は
$$ z_k = i\pi\left(k + \frac{1}{2}\right) \quad (k = 0, 1, 2, \dots) $$
これらはすべて$3$位の極である.
次に, 各極 $z_k$ における $f(z)$ の留数 $\text{Res}(f, z_k)$ を求める. $z = z_k + w$ とおき, $w \to 0$ におけるローラン展開の $w^{-1}$ の係数を求める.
加法定理と $ z_k$ の性質より,

$$ \cosh(z_k + w) = \cosh(z_k)\cosh(w) + \sinh(z_k)\sinh(w) = i(-1)^k \sinh(w) $$

$$ \sinh(z_k + w) = \sinh(z_k)\cosh(w) + \cosh(z_k)\sinh(w) = i(-1)^k \cosh(w) $$

これらを $ f(z_k + w) $ に代入する.

$$ f(z_k + w) = \frac{i(-1)^k \cosh w}{(z_k + w) \left( i(-1)^k \sinh w \right)^3} = \frac{-\cosh w}{(z_k + w) \sinh^3 w} $$

ここで, $ \dfrac{-\cosh w}{\sinh^3 w}$ の展開を考える. この関数が $-\dfrac{1}{2\sinh^2 w}$ の微分として得られることを利用する.
$$ -\frac{1}{2\sinh^2 w} = -\frac{1}{2\left(w + \frac{w^3}{6} + O(w^5)\right)^2} = -\frac{1}{2w^2\left(1 + \frac{w^2}{3} + O(w^4)\right)} $$
$$ = -\frac{1}{2w^2}\left( 1 - \frac{w^2}{3} + O(w^4) \right) = -\frac{1}{2w^2} + \frac{1}{6} + O(w^2) $$

両辺を $w$ で微分すると,

$$ \frac{\cosh w}{\sinh^3 w} = \frac{1}{w^3} + O(w) $$

次に $\dfrac{1}{z_k + w}$ をマクローリン展開する.
$$ \frac{1}{z_k + w} = \frac{1}{z_k} \left( 1 + \frac{w}{z_k} \right)^{-1} = \frac{1}{z_k} - \frac{w}{z_k^2} + \frac{w^2}{z_k^3} + O(w^3) $$
これらを掛け合わせると,
$$ f(z_k + w) = - \left( \frac{1}{z_k} - \frac{w}{z_k^2} + \frac{w^2}{z_k^3} + O(w^3) \right) \left( \frac{1}{w^3} + O(w) \right) $$
留数は $w^{-1}$ の係数であるため, $-\dfrac{w^2}{z_k^3}$ と $\dfrac{1}{w^3}$ の積から求まる. よって,
$$ \text{Res}(f, z_k) = - \frac{1}{z_k^3} $$
を得る.

$z_k = i\dfrac{\pi}{2}(2k + 1)$ であるため,
$$ z_k^3 = -i \frac{\pi^3}{8} (2k + 1)^3 $$
$$ \text{Res}(f, z_k) = \frac{-1}{-i \frac{\pi^3}{8} (2k + 1)^3} = -i \frac{8}{\pi^3 (2k + 1)^3} $$

すべての $ k \ge 0$ に対する留数の和を求める.
$$ \sum_{k=0}^\infty \text{Res}(f, z_k) = -i \frac{8}{\pi^3} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k + 1)^3} $$
ここで, ゼータ関数の奇数項の和
$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k + 1)^3} = \frac{7}{8}\zeta(3) $を用いると,
$$ \sum_{k=0}^\infty \text{Res}(f, z_k) = -i \frac{8}{\pi^3} \cdot \frac{7}{8}\zeta(3) = -i \frac{7\zeta(3)}{\pi^3} $$
半径 $R$ を極を通過しないように離散的に無限大（今回のように, $R= \pi N$ ）へと飛ばすとき,円弧 $\Gamma_R$ 上の積分は $0$ に収束する. （後に示す）したがって,留数定理より実軸全体での積分は
$$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sinh x}{x \cosh^3 x} dx = 2\pi i \sum_{k=0}^\infty \text{Res}(f, z_k) = 2\pi i \left( -i \frac{7\zeta(3)}{\pi^3} \right) = \frac{14\zeta(3)}{\pi^2} $$
となり, 最初の等式より,
$$ I = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sinh x}{x \cosh^3 x} dx = \frac{1}{2} \times \frac{14\zeta(3)}{\pi^2} = \frac{7\zeta(3)}{\pi^2} $$
より, 示された.

以下, $R_{N}=\pi N$ とおき, また, $\Gamma_R$ を $\Gamma_{N}$ と表記する. 円弧 $\Gamma_N$ 上の積分が $0$ に収束することを示す.
$z = x + iy \in \Gamma_N $ とおく, 分母の $|\cosh z|$ の下限と分子の $ |\sinh z|$ の上限を評価する.

$\Gamma_N$ 上において $ |\cosh z|$ が $0$ より大きな実数で下から抑えられることを示す.
$$ x = \pi N \cos\theta,\quad y = \pi N \sin\theta $$
• $|x| \ge 1$のとき：
$$ |\cosh z|^2 \ge \sinh^2 x \ge \sinh^2 1 > 0 $$
• $ |x| < 1$ のとき：
$$|\pi N \cos\theta| < 1 \Longrightarrow |\cos\theta| < \frac{1}{\pi N}$$
このとき,
$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} \ge 1 - \frac{1}{2}\cos^2\theta > 1 - \frac{1}{2\pi^2 N^2}$$
となる.
したがって, $y = \pi N \sin\theta > \pi N - \dfrac{1}{2\pi N}$となり, $y$ と $\pi N$ の誤差は $\dfrac{1}{2\pi N}$ 未満である.

$N \ge 1$ ならばこの誤差は $\dfrac{1}{2\pi} < \dfrac{\pi}{4}$ なので,
$\cos^2 y = \cos^2(\pi N - y) \ge \cos^2\left(\dfrac{1}{2\pi}\right) > 0$ となり, すべての $ z \in \Gamma_N $ に対して $|\cosh z| \ge c$ となる定数 $c > 0$ が存在する.

さらに $|\cosh z| \ge |\sinh x|$ でもあるため, ある定数 $C_1 > 0$ が存在して,
$$ |\cosh z| \ge C_1 e^{|x|} \quad (\forall z \in \Gamma_N) $$
が成り立つ.

$|\sinh z|$ の上限について,
$$ |\sinh z|^2 = \sinh^2 x + \sin^2 y \le \cosh^2 x \le e^{2|x|} \implies |\sinh z| \le e^{|x|} $$
である. 以上より, $z \in \Gamma_N\quad (|z| = R_N)$ において,
$$ |f(z)| = \frac{|\sinh z|}{|z| |\cosh z|^3} \le \frac{e^{|x|}}{R_N \left( C_1 e^{|x|} \right)^3} = \frac{1}{C_1^3 R_N} e^{-2|x|} $$
となる.
半円弧上の積分を評価する. $x = R_N \cos\theta$ である.
$$ \left| \int_{\Gamma_N} f(z) dz \right| \le \int_0^\pi |f(R_N e^{i\theta})| \cdot |i R_N e^{i\theta}| d\theta \le \int_0^\pi \frac{1}{C_1^3 R_N} e^{-2R_N|\cos\theta|} \cdot R_N d\theta $$
$$ = \frac{1}{C_1^3} \int_0^\pi e^{-2R_N|\cos\theta|} d\theta $$
被積分関数は $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ に関して対称なので,積分区間を $ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $として, $2$倍する
$$ = \dfrac{2}{C_1^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-2R_N\cos\theta} d\theta $$
ここで, $\phi = \dfrac{\pi}{2} - \theta$ と変数変換すると, $ d\theta = -d\phi$ 積分区間は $\left[\frac{\pi}{2}, 0\right]$ となり, $\cos\theta = \sin\phi$となる.
$$ = \frac{2}{C_1^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-2R_N\sin\phi} d\phi $$
ここで, Jordanの不等式 $\sin\phi \ge \dfrac{2}{\pi}\phi $ を用いると,
$$ \le \frac{2}{C_1^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-2R_N \left(\frac{2}{\pi}\phi\right)} d\phi = \frac{2}{C_1^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{4R_N}{\pi}\phi} d\phi $$
$$ = \frac{2}{C_1^3} \left[ -\frac{\pi}{4R_N} e^{-\frac{4R_N}{\pi}\phi} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2 C_1^3 R_N} \left( 1 - e^{-2R_N} \right) \le \frac{\pi}{2 C_1^3 R_N} $$
$N \to \infty$ のとき, $R_N = \pi N \to \infty $となるため, この上界は $0$ に収束する. 以上より,
$$ \lim_{N \to \infty} \int_{\Gamma_N} f(z) dz = 0 $$