大学数学基礎解説

YANAのq類似を生み出しちゃった！-超幾何関数の新たな公式の発見を目指して！2

級数,超幾何関数,q類似

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あいさつ

んちゃ！
前回の記事の続きです。
具体的には下記の事をこの記事では行います。

【概要】
本記事では、次の事を行う。

前回導入したYANA超幾何関数(仮)が満たす微分方程式の導出
その後YANA超幾何関数(仮)はGaussの超幾何関数の $q$ 類似版の拡張でない事を得られた微分方程式について $q \to 1$ として確認
YANA超幾何関数を修正しその微分方程式を求める。
その後、YANA超幾何関数はGaussの超幾何関数の $q$ 類似版の拡張となっている事を得られた微分方程式について $q \to 1$ として確認

標準 $q$ -類似

標準q-類似

任意の複素数 $c \in C$ に対して以下の様な $c$ の $q$ 数を考える。
$S (c; q) = \frac{1 - q^{- c}}{1 - q^{- 1}}$

q

微分

$q$ 微分 $D_{Q} (a, b)$ を次の様に定める。
$D_{Q} (a, b) f (x) = \frac{f (q^{a} x) - f (q^{b} x)}{q^{a} x - q^{b} x}$

$D_{Q} (a, b) x^{λ} = \frac{q^{λ a} - q^{λ b}}{q^{a} - q^{b}} x^{λ - 1}$

$\begin{array}{rcl} D_{Q} (a, b) x^{λ} & = & \frac{q^{λ a} x^{λ} - q^{λ b} x^{λ}}{q^{a} x - q^{b} x} \\ = & \frac{q^{λ a} - q^{λ b}}{q^{a} - q^{b}} x^{λ - 1} \end{array}$

$lim_{q \to 1} D_{Q} (0, - 1) = D$

$\begin{array}{rcl} lim_{q \to 1} D_{Q} (0, - 1) f (z) & = & lim_{q \to 1} \frac{f (z) - f (q^{- 1} z)}{z - q^{- 1} z} (δ = z - q^{- 1} z) \\ = & lim_{δ \to 0} \frac{f (z) - f (z - δ)}{δ} \\ = & lim_{δ \to 0} {\frac{f (z + δ) - f (z)}{δ} + \frac{2 f (x) - f (z + δ) - f (z - δ)}{δ}} \\ = & D + lim_{δ \to 0} \frac{O (δ^{2})}{δ} \\ = & D \end{array}$

YANAの超幾何関数の性質

YANAの超幾何関数(仮)についてはこちらを参照

$[z \log q {z q^{- a} D_{Q} (0, - 1) + S (a, q)} {z q^{- b} D_{Q} (0, - 1) + S (b; q)} - \frac{1}{1 - q^{- 1}} D {z q^{- (c - 1)} D_{Q} (0, - 1) + S (c - 1; q)}]_{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) = 0$

[0] $z^{n}$ の係数を抜き出す。
$A_{n} = (\log q)^{n} \prod_{k = 1}^{n} \frac{(1 - q^{- (a + k - 1)}) (1 - q^{- (b + k - 1)})}{(1 - q^{- (c + k - 1)}) k}$
[1] $A_{n}$ の性質を調べる。
$(1 - q^{- (c + n)}) (n + 1) A_{n + 1} = \log q (1 - q^{- (a + n)}) (1 - q^{- (b + n)}) A_{n}$
[2] $q$ 微分の性質を調べる。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} z D_{Q} (0, - 1) z^{n} = \frac{1 - q^{- n}}{1 - q^{- 1}} z^{n} \\ z D z^{n} = n z^{n} \end{cases} \end{array}$
[3]もうちょい計算してみよう。
$\begin{array}{rcl} {z q^{- a} D_{Q} (0, - 1) + S (a, q)} z^{n} & = & {\frac{q^{- a} - q^{- (a + n)}}{1 - q^{- 1}} + \frac{1 - q^{- a}}{1 - q^{- 1}}} z^{n} \\ = & \frac{1 - q^{- (a + n)}}{1 - q^{- 1}} z^{n} \end{array}$
[4]やったぜ！上手くいきそう。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} {z q^{- a} D_{Q} (0, - 1) + S (a, q)} {z q^{- b} D_{Q} (0, - 1) + S (b; q)} z^{n} = \frac{(1 - q^{- (a + n)}) (1 - q^{- (b + n)})}{(1 - q^{- 1})^{2}} z^{n} \\ D {z q^{- (c - 1)} D_{Q} (0, - 1) + S (c - 1; q)} z^{n} = n \frac{1 - q^{- (c + n - 1)}}{1 - q^{- 1}} z^{n - 1} \end{cases} \end{array}$
[5] $z^{n}$ の係数を比較
$\begin{array}{rcl} [z \log q {z q^{- a} D_{Q} (0, - 1) + S (a, q)} {z q^{- b} D_{Q} (0, - 1) + S (b; q)} - \frac{1}{1 - q^{- 1}} D {z q^{- (c - 1)} D_{Q} (0, - 1) + S (c - 1; q)}]_{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) & = & \sum_{n = 1}^{\infty} {\frac{\log q (1 - q^{(a + n)}) (1 - q^{(b + n)})}{(1 - q^{- 1})^{2}} A_{n} - \frac{(n + 1) (1 - q^{c + n})}{(1 - q^{- 1})^{2}} A_{n + 1}} z^{n} \\ = & \frac{1}{(1 - q^{- 1})^{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} {\log q (1 - q^{(a + n)}) (1 - q^{(b + n)}) A_{n} - (n + 1) (1 - q^{c + n}) A_{n + 1}} z^{n} \\ = & 0 \end{array}$

考察

上記の微分方程式は

q \to 1

でGaussの微分方程式に一致しない！
残念だけど、今のままでは目的に到達できませんね。
そこで、YANAの超幾何関数(仮)を改善しましょう。

YANAの超幾何関数

$\begin{array}{rcl} _{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) & = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{- x | n} (b)_{- x | n}}{(c)_{- x | n} (1)_{- x | n}} z^{n} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} \prod_{k = 1}^{n} \frac{(1 - q^{- (a + k - 1)}) (1 - q^{- (b + k - 1)})}{(1 - q^{- (c + k - 1)}) (1 - q^{- n})} \end{array}$

$[z {z q^{- a} D_{Q} (0, - 1) + S (a, q)} {z q^{- b} D_{Q} (0, - 1) + S (b; q)} - z D_{Q} (0, - 1) {z q^{- (c - 1)} D_{Q} (0, - 1) + S (c - 1; q)}]_{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) = 0$

[0] $z^{n}$ の係数を抜き出す。
$A_{n} = (\prod_{k = 1}^{n} \frac{(1 - q^{- (a + k - 1)}) (1 - q^{- (b + k - 1)})}{(1 - q^{- (c + k - 1)}) (1 - q^{- k})}$
[1] $A_{n}$ の性質を調べる。
$(1 - q^{- (c + n)}) (1 - q^{- (n + 1)}) A_{n + 1} = (1 - q^{- (a + n)}) (1 - q^{- (b + n)}) A_{n}$
[2] $q$ 微分の性質を調べる。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} z D_{Q} (0, - 1) z^{n} = \frac{1 - q^{- n}}{1 - q^{- 1}} z^{n} \\ z D z^{n} = n z^{n} \end{cases} \end{array}$
[3]コピペ
$\begin{array}{rcl} {z q^{- a} D_{Q} (0, - 1) + S (a, q)} z^{n} & = & {\frac{q^{- a} - q^{- (a + n)}}{1 - q^{- 1}} + \frac{1 - q^{- a}}{1 - q^{- 1}}} z^{n} \\ = & \frac{1 - q^{- (a + n)}}{1 - q^{- 1}} z^{n} \end{array}$
[4]コピペ
$\begin{array}{r} {\begin{cases} {z q^{- a} D_{Q} (0, - 1) + S (a, q)} {z q^{- b} D_{Q} (0, - 1) + S (b; q)} z^{n} = \frac{(1 - q^{- (a + n)}) (1 - q^{- (b + n)})}{(1 - q^{- 1})^{2}} z^{n} \\ z D_{Q} (0, - 1) {z q^{- (c - 1)} D_{Q} (0, - 1) + S (c - 1; q)} z^{n} = \frac{(1 - q^{- (c + n - 1)}) (1 - q^{- n})}{(1 - q^{- 1})^{2}} z^{n - 1} \end{cases} \end{array}$
[5] $z^{n}$ の係数を比較
$\begin{array}{rcl} [z {z q^{- a} D_{Q} (0, - 1) + S (a, q)} {z q^{- b} D_{Q} (0, - 1) + S (b; q)} - z D_{Q} (0, - 1) {z q^{- (c - 1)} D_{Q} (0, - 1) + S (c - 1; q)}]_{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) & = & \sum_{n = 1}^{\infty} {\frac{(1 - q^{- (a + n)}) (1 - q^{- (b + n)})}{(1 - q^{- 2})} A_{n} - \frac{(1 - q^{(c + n)}) (1 - q^{- (n + 1)})}{(1 - q^{- 1})^{2}} A_{n + 1}} z^{n} \\ = & \frac{1}{(1 - q^{- 1})^{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} {(1 - q^{- (a + n)}) (1 - q^{- (b + n)}) A_{n} - (1 - q^{(c + n)}) (1 - q^{- (n + 1)}) A_{n + 1}} z^{n} \\ = & 0 \end{array}$