Dougallの2H2和公式のq類似
前の記事 で以下を示した.
\begin{align} &\BQ22{a,b}{c,d}{\frac{cd}{abq}}-\frac eq\frac{(e/a,e/b,q/c,q/d;q)_{\infty}}{(e/c,e/d,q/a,q/b;q)_{\infty}}\BQ22{aq/e,bq/e}{cq/e,dq/e}{\frac{cd}{abq}}\\ &=\frac{(q,e,q/e,c/a,c/b,d/a,d/b,cd/eq,eq^2/cd;q)_{\infty}}{(c,d,q/a,q/b,c/e,eq/c,d/e,eq/d,cd/abq;q)_{\infty}}\\ &\BQ22{a,b}{c,d}q-\frac eq\frac{(ce/q,de/q,a,b;q)_{\infty}}{(ae/q,be/q,c,d;q)_{\infty}}\BQ22{ae/q,be/q}{ce/q,de/q}{q}\\ &=\frac{(q,e,q/e,c/a,c/b,d/a,d/b,q/abe,abe;q)_{\infty}}{(c,d,q/a,q/b,q/ae,ae,q/be,be,cd/abq;q)_{\infty}} \end{align}
無限区間の$q$積分を
\begin{align}
\int_0^{a\infty}f(t)\,d_qt&:=a\sum_{n\in\ZZ}q^nf(aq^n)\\
\int_{a\infty}^{b\infty}f(t)\,d_qt&:=\int_0^{b\infty}f(t)\,d_qt-\int_0^{a\infty}f(t)\,d_qt
\end{align}
とする. 定理1の下の式において, $a,b,c,d$を$af,bf,cf,df$とすると,
\begin{align}
&\BQ22{af,bf}{cf,df}q-\frac eq\frac{(cef/q,def/q,af,bf;q)_{\infty}}{(aef/q,bef/q,cf,df;q)_{\infty}}\BQ22{aef/q,bef/q}{cef/q,def/q}{q}\\
&=\frac{(q,e,q/e,c/a,c/b,d/a,d/b,q/abef^2,abef^2;q)_{\infty}}{(cf,df,q/af,q/bf,q/aef,aef,q/bef,bef,cd/abq;q)_{\infty}}
\end{align}
となる. $e\mapsto eq/f$として,
\begin{align}
&\BQ22{af,bf}{cf,df}q-\frac ef\frac{(ce,de,af,bf;q)_{\infty}}{(ae,be,cf,df;q)_{\infty}}\BQ22{ae,be}{ce,de}{q}\\
&=\frac{(q,eq/f,f/e,c/a,c/b,d/a,d/b,1/abef,abefq;q)_{\infty}}{(cf,df,q/af,q/bf,1/ae,aeq,1/be,beq,cd/abq;q)_{\infty}}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&f\sum_{n\in\ZZ}\frac{(cfq^n,dfq^n;q)_{\infty}}{(afq^n,bfq^n;q)_{\infty}}q^n-e\sum_{n\in\ZZ}\frac{(ceq^n,deq^n;q)_{\infty}}{(aeq^n,beq^n;q)_{\infty}}q^n\\
&=f\frac{(q,eq/f,f/e,c/a,c/b,d/a,d/b,1/abef,abefq;q)_{\infty}}{(af,bf,q/af,q/bf,1/ae,aeq,1/be,beq,cd/abq;q)_{\infty}}\\
&=f\frac{(q,e/f,fq/e,c/a,c/b,d/a,d/b,q/abef,abef;q)_{\infty}}{(af,bf,q/af,q/bf,ae,be,q/ae,q/be,cd/abq;q)_{\infty}}
\end{align}
と書き換えられる. これを$q$積分の記法で表すと以下のようになる.
\begin{align} \int_{e\infty}^{f\infty}\frac{(ct,dt;q)_{\infty}}{(at,bt;q)_{\infty}}\,d_qt&=f\frac{(q,e/f,fq/e,c/a,c/b,d/a,d/b,q/abef,abef;q)_{\infty}}{(af,bf,q/af,q/bf,ae,be,q/ae,q/be,cd/abq;q)_{\infty}} \end{align}
Dougallの${}_2H_2$和公式の$q$類似が, このように$q$積分を用いることによってまとまった形で表されるのは興味深い.
定理2において, $c=aq,d=bq$とすると以下の公式を得る.
\begin{align} \int_{e\infty}^{f\infty}\frac 1{(1-at)(1-bt)}\,d_qt&=f\frac{(q,q,e/f,fq/e,aq/b,bq/a,q/abef,abef;q)_{\infty}}{(af,bf,q/af,q/bf,ae,be,q/ae,q/be;q)_{\infty}} \end{align}
$a=b$とすると,
\begin{align}
\int_{e\infty}^{f\infty}\frac 1{(1-at)^2}\,d_qt&=f\frac{(q,q,q,q,e/f,fq/e,q/a^2ef,a^2ef;q)_{\infty}}{(af,af,q/af,q/af,q/ae,ae,q/ae,ae;q)_{\infty}}
\end{align}
となる. これは
BaileyによるLambert級数の等式
である. このようなタイプの$q$積分を積の形で表す公式がどこまで一般化できるのかについてかなり興味が湧いてきたところである.
