命題論理 ➃

Prop & Proof

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\lor,\land,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & \neg P & \neg Q & \neg(\neg P\land \neg Q) \\ \hline T & T & T & F & F & T \\ T & F & T & F & T & T \\ F & T & T & T & F & T \\ F & F & F & T & T & F \\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $P\lor Q$ と $\neg(\neg P\land \neg Q)$ の真偽は一致する。
従って任意の真偽値割当 $v$ とその拡張 $\hat v$ において両者は同じ真偽値をとるので、
$$ P\lor Q \equiv \neg(\neg P\land \neg Q) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\land,\lor,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\land Q & \neg P & \neg Q & \neg(\neg P\lor \neg Q) \\ \hline T & T & T & F & F & T \\ T & F & F & F & T & F \\ F & T & F & T & F & F \\ F & F & F & T & T & F \\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $P\land Q$ と $\neg(\neg P\lor \neg Q)$ の真偽は一致する。
従って任意の真偽値割当 $v$ とその拡張 $\hat v$ において両者は同じ真偽値をとるので、
$$ P\land Q \equiv \neg(\neg P\lor \neg Q) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\Rightarrow,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\Rightarrow Q & \neg P & \neg Q & (\neg Q\Rightarrow \neg P)\\ \hline T & T & T & F & F & T\\ T & F & F & F & T & F\\ F & T & T & T & F & T\\ F & F & T & T & T & T\\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $P\Rightarrow Q$ と $\neg Q\Rightarrow \neg P$ の真偽は一致する。
従って任意の真偽値割当 $v$ とその拡張 $\hat v$ において両者は同じ真偽値をとるので、
$$ (P\Rightarrow Q)\equiv(\neg Q\Rightarrow \neg P) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
示すべきことは、任意の $v$ に対して
$$ \hat v\bigl(P\Rightarrow (P\lor Q)\bigr)=T $$
となることである。
$ $
$\hat v(P)$ の真偽で場合分けする。

1. $\hat v(P)=T$ の場合
   選言 $\lor$ の定義より、少なくとも一方が真ならば選言は真である。
   ここでは $\hat v(P)=T$ であるから、$\hat v(Q)$ の値によらず
   $$ \hat v(P\lor Q)=T $$
   である。
   したがって、前件 $P$ も後件 $P\lor Q$ もともに真であるから、含意の定義より
   $$ \hat v\bigl(P\Rightarrow (P\lor Q)\bigr)=T $$
   である。
   $ $
2. $\hat v(P)=F$ の場合
   このとき、含意 $P\Rightarrow (P\lor Q)$ の前件 $P$ は偽である。
   含意の定義より、前件が偽のとき含意は真であるから(空虚に真)
   $$ \hat v\bigl(P\Rightarrow (P\lor Q)\bigr)=T $$
   である。
   $ $

-以上より、いずれの場合にも
$$ \hat v\bigl(P\Rightarrow (P\lor Q)\bigr)=T $$
が成り立つ。
$v$ は任意であったから、任意の真偽値割当 $v$ に対して $P\Rightarrow (P\lor Q)$ は真である。
従って
$$ P\Rightarrow (P\lor Q) $$
はトートロジーである。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
示すべきことは、任意の $v$ に対して
$$ \hat v\bigl(Q\Rightarrow (P\lor Q)\bigr)=T $$
となることである。
$ $
$\hat v(Q)$ の真偽で場合分けする。

1. $\hat v(Q)=T$ の場合
   選言 $\lor$ の定義より、少なくとも一方が真ならば選言は真である。
   ここでは $\hat v(Q)=T$ であるから、$\hat v(P)$ の値によらず
   $$ \hat v(P\lor Q)=T $$
   である。
   したがって、前件 $Q$ も後件 $P\lor Q$ もともに真であるから、含意の定義より
   $$ \hat v\bigl(Q\Rightarrow (P\lor Q)\bigr)=T $$
   である。
   $ $
2. $\hat v(Q)=F$ の場合
   このとき、含意 $Q\Rightarrow (P\lor Q)$ の前件 $Q$ は偽である。
   含意の定義より、前件が偽のとき含意は真であるから(空虚に真)
   $$ \hat v\bigl(Q\Rightarrow (P\lor Q)\bigr)=T $$
   である。
   $ $

-以上より、いずれの場合にも
$$ \hat v\bigl(Q\Rightarrow (P\lor Q)\bigr)=T $$
が成り立つ。
$v$ は任意であったから、任意の真偽値割当 $v$ に対して $Q\Rightarrow (P\lor Q)$ は真である。
従って
$$ Q\Rightarrow (P\lor Q) $$
はトートロジーである。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
このとき、$(P\land Q)\Rightarrow P$ の真偽を示せばよい。すなわち
$$ \hat v\bigl((P\land Q)\Rightarrow P\bigr)=T $$
を示す。
$ $
$\hat v(P\land Q)$ の真偽で場合分けする。

1. $\hat v(P\land Q)=T$ の場合
   連言 $\land$ の定義より、$\hat v(P)=T$ かつ $\hat v(Q)=T$ である。
   特に $\hat v(P)=T$ であるから、含意の後件 $P$ は真である。
   したがって、含意の定義より
   $$ \hat v\bigl((P\land Q)\Rightarrow P\bigr)=T $$
   である。
   $ $
2. $\hat v(P\land Q)=F$ の場合
   このとき、含意 $(P\land Q)\Rightarrow P$ の前件は偽である。
   含意の定義より、前件が偽である含意は真であるから(空虚に真)
   $$ \hat v\bigl((P\land Q)\Rightarrow P\bigr)=T $$
   である。
   $ $

-以上より、いずれの場合にも
$$ \hat v\bigl((P\land Q)\Rightarrow P\bigr)=T $$
が成り立つ。
$v$ は任意であったから、任意の真偽値割当 $v$ に対して $(P\land Q)\Rightarrow P$ は真である。
従って
$$ (P\land Q)\Rightarrow P $$
はトートロジーである。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$\hat v(P\land Q)$ の真偽で場合分けする。

1. $\hat v(P\land Q)=T$ の場合
   連言 $\land$ の定義より、$\hat v(P)=T$ かつ $\hat v(Q)=T$ である。
   特に $\hat v(Q)=T$ であるから、含意 $\Rightarrow$ の定義より
   $$ \hat v\bigl((P\land Q)\Rightarrow Q\bigr)=T $$
   である。
   $ $
2. $\hat v(P\land Q)=F$ の場合
   このとき前件 $P\land Q$ は偽である。
   含意 $\Rightarrow$ の定義より、前件が偽である含意は真であるから
   $$ \hat v\bigl((P\land Q)\Rightarrow Q\bigr)=T $$
   である。
   $ $

-以上より、いずれの場合にも
$$ \hat v\bigl((P\land Q)\Rightarrow Q\bigr)=T $$
が成り立つ。$v$ は任意であったから、任意の真偽値割当 $v$ に対して
$\hat v\bigl((P\land Q)\Rightarrow Q\bigr)=T$ である。
従って
$$ (P\land Q)\Rightarrow Q $$
はトートロジーである。
$$ \Box$$