命題論理 ➃

Prop & Proof

$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\lor,\land,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & \neg P & \neg Q & \neg(\neg P\land \neg Q) \\ \hline T & T & T & F & F & T \\ T & F & T & F & T & T \\ F & T & T & T & F & T \\ F & F & F & T & T & F \\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $P\lor Q$ と $\neg(\neg P\land \neg Q)$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$ P\lor Q \equiv \neg(\neg P\land \neg Q) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\land,\lor,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\land Q & \neg P & \neg Q & \neg(\neg P\lor \neg Q) \\ \hline T & T & T & F & F & T \\ T & F & F & F & T & F \\ F & T & F & T & F & F \\ F & F & F & T & T & F \\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $P\land Q$ と $\neg(\neg P\lor \neg Q)$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$ P\land Q \equiv \neg(\neg P\lor \neg Q) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\Rightarrow,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\Rightarrow Q & \neg P & \neg Q & (\neg Q\Rightarrow \neg P)\\ \hline T & T & T & F & F & T\\ T & F & F & F & T & F\\ F & T & T & T & F & T\\ F & F & T & T & T & T\\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $P\Rightarrow Q$ と $\neg Q\Rightarrow \neg P$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$ (P\Rightarrow Q)\equiv(\neg Q\Rightarrow \neg P) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$