命題論理 ➃
はじめに
こちら ① に、これまでに作成した数学ノートをシリーズとしてまとめています(※)。
※ 読み進める順番は、ページ下部（古い記事）から上部（新しい記事）へです。
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こちら ➁ に、証明を進めるうえでのポイントを随時まとめています。必要に応じて参照してください。
こちら ③ に、数学における基本用語を随時まとめています。必要に応じて参照してください。
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Prop & Proof
命題 $P,Q$ について次が成り立つ。
$$
P\lor Q \equiv \neg(\neg P\land \neg Q)
$$
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\lor,\land,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & P\lor Q & \neg P & \neg Q & \neg(\neg P\land \neg Q) \\
\hline
T & T & T & F & F & T \\
T & F & T & F & T & T \\
F & T & T & T & F & T \\
F & F & F & T & T & F \\
\hline
\end{array}
$$
表より、全ての場合に $P\lor Q$ と $\neg(\neg P\land \neg Q)$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$
P\lor Q \equiv \neg(\neg P\land \neg Q)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
命題 $P,Q$ について次が成り立つ。
$$
P\land Q \equiv \neg(\neg P\lor \neg Q)
$$
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\land,\lor,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & P\land Q & \neg P & \neg Q & \neg(\neg P\lor \neg Q) \\
\hline
T & T & T & F & F & T \\
T & F & F & F & T & F \\
F & T & F & T & F & F \\
F & F & F & T & T & F \\
\hline
\end{array}
$$
表より、全ての場合に $P\land Q$ と $\neg(\neg P\lor \neg Q)$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$
P\land Q \equiv \neg(\neg P\lor \neg Q)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
命題 $P,Q$ について次が成り立つ。
$$
(P\Rightarrow Q)\equiv(\neg Q\Rightarrow \neg P)
$$
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\Rightarrow,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & P\Rightarrow Q & \neg P & \neg Q & (\neg Q\Rightarrow \neg P)\\
\hline
T & T & T & F & F & T\\
T & F & F & F & T & F\\
F & T & T & T & F & T\\
F & F & T & T & T & T\\
\hline
\end{array}
$$
表より、全ての場合に $P\Rightarrow Q$ と $\neg Q\Rightarrow \neg P$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$
(P\Rightarrow Q)\equiv(\neg Q\Rightarrow \neg P)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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