変形Bessel関数の積の積分表示
第1種, 第2種の変形Bessel関数はそれぞれ
\begin{align}
I_{\nu}(z)&:=\sum_{0\leq n}\frac{1}{n!\Gamma(\nu+n+1)}\left(\frac x2\right)^{2n+\nu}\\
K_{\nu}(z)&:=\frac{\pi}2\frac{I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)}{\sin\pi\nu}
\end{align}
によって定義される.
前の記事
で第1種の積は
\begin{align}
I_{\mu}(z)I_{\nu}(z)&=\frac 2{\pi}\int_0^{\pi/2}I_{\mu+\nu}(2z\cos\theta)\cos(\mu-\nu)\theta\,d\theta
\end{align}
と積分表示できることを示した. また,
別の記事
で第2種の積は
\begin{align}
K_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&=2\int_0^{\infty}K_{\mu+\nu}(2z\cosh t)\cosh(\mu-\nu)t\,dt
\end{align}
と積分表示できることを示した.
その類似として, 今回は第1種と第2種の積が以下のように積分表示できることを示す.
$-1<\Re(\mu-\nu), \frac 12<\Re(\mu+\nu)$のとき,
\begin{align}
I_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&=\int_0^{\infty}J_{\mu-\nu}(2z\sinh t)e^{-(\mu+\nu)t}\,dt
\end{align}
が成り立つ
Bessel関数のMellin-Barnes積分表示
\begin{align}
J_{\nu}(z)&=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(-s)}{\Gamma(s+\nu+1)}\left(\frac x2\right)^{2s+\nu}\,ds
\end{align}
を用いて, 右辺は
\begin{align}
\int_0^{\infty}J_{\mu-\nu}(2z\sinh t)e^{-(\mu+\nu)t}\,dt&=\frac 1{2\pi i}\int_0^{\infty}\left(\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(-s)}{\Gamma(s+\mu-\nu+1)}\left(z\sinh t\right)^{2s+\mu-\nu}\,ds\right)e^{-(\mu+\nu)t}\,dt\\
&=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(-s)}{\Gamma(s+\mu-\nu+1)}\left(\frac z2\right)^{2s+\mu-\nu}\left(\int_0^{\infty}\left(2\sinh t\right)^{2s+\mu-\nu}e^{-(\mu+\nu)t}\,dt\right)\,ds
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}\left(2\sinh t\right)^{2s+\mu-\nu}e^{-(\mu+\nu)t}\,dt\\
&=\int_0^{\infty}\left(1-e^{-2t}\right)^{2s+\mu-\nu}e^{(2s-2\nu)t}\,dt\\
&=\frac 12\int_0^1u^{\nu-s-1}(1-u)^{2s+\mu-\nu}\,du\\
&=\frac 12\frac{\Gamma(\nu-s)\Gamma(2s+\mu-\nu+1)}{\Gamma(s+\mu+1)}
\end{align}
であるから, これを代入して
\begin{align}
&\int_0^{\infty}J_{\mu-\nu}(2z\sinh t)e^{-(\mu+\nu)t}\,dt
\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac 12\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(-s)\Gamma(\nu-s)\Gamma(2s+\mu-\nu+1)}{\Gamma(s+\mu-\nu+1)\Gamma(s+\mu+1)}\left(\frac z2\right)^{2s+\mu-\nu}\,ds\\
&=\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\Gamma(\nu-n)\Gamma(2n+\mu-\nu+1)}{n!\Gamma(n+\mu-\nu+1)\Gamma(\mu+n+1)}\left(\frac{z}2\right)^{2n+\mu-\nu}\\
&\qquad+\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\Gamma(-\nu-n)\Gamma(2n+\mu+\nu+1)}{n!\Gamma(n+\mu+1)\Gamma(\mu+\nu+n+1)}\left(\frac z2\right)^{2n+\mu+\nu}\\
&=\frac{\pi}{2\sin\pi \nu}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\Gamma(2n+\mu-\nu+1)}{n!\Gamma(n+\mu-\nu+1)\Gamma(\mu+n+1)\Gamma(1-\nu+n)}\left(\frac{z}2\right)^{2n+\mu-\nu}\\
&\qquad-\frac{\pi}{2\sin\pi\nu}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\Gamma(2n+\mu+\nu+1)}{n!\Gamma(n+\mu+1)\Gamma(n+\nu+1)\Gamma(\mu+\nu+n+1)}\left(\frac z2\right)^{2n+\mu+\nu}\\
&=\frac{\pi}{2\sin\pi \nu}I_{\mu}(z)I_{-\nu}(z)-\frac{\pi}{2\sin\pi\nu}I_{\mu}(z)I_{\nu}(z)\\
&=I_{\mu}(z)\frac{\pi}2\frac{I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)}{\sin\pi\nu}\\
&=I_{\mu}(z)K_{\nu}(z)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる. ここで, 最後から3つ目の等号は
前の記事
で示した積の級数表示による.
$K_{-\nu}(z)=K_{\nu}(z)$であるから, 定理1は
\begin{align}
I_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&=\int_0^{\infty}J_{\mu+\nu}(2z\sinh t)e^{-(\mu-\nu)t}\,dt
\end{align}
と書くこともできる.
