Nicholsonによる変形Bessel関数の積の積分表示
第1種, 第2種の変形Bessel関数は
\begin{align}
I_{\nu}(z)&:=\sum_{0\leq n}\frac{1}{n!\Gamma(\nu+n+1)}\left(\frac z2\right)^{2n+\nu}\\
K_{\nu}(z)&:=\frac{\pi}2\frac{I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)}{\sin\nu\pi}
\end{align}
によって定義される. 今回は第2種変形Bessel関数の積に関する以下の積分表示を示す.
\begin{align} K_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&=2\int_0^{\infty}K_{\mu+\nu}(2z\cosh t)\cosh(\mu-\nu)t\,dt \end{align}
Schläfliの積分表示
\begin{align}
K_{\mu}(z)&=\int_0^{\infty}e^{-z\cosh t}\cosh\mu t\,dt\\
&=\frac 12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-z\cosh t}\cosh\mu t\,dt
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
K_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&=\frac 14\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-z(\cosh t+\cosh u)}\cosh\mu t\cosh\nu u\,dtdu
\end{align}
となる. ここで, $t=T+U, u=T-U$と変換すると
\begin{align}
K_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&=\frac 12\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2z\cosh T\cosh U}\cosh\mu(T+U)\cosh\nu(T-U)\,dTdU
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
&2\cosh\mu(T+U)\cosh\nu(T-U)\\
&=\cosh((\mu+\nu)T+(\mu-\nu)U)+\cosh((\mu-\nu)T+(\mu+\nu)U)\\
&=\cosh(\mu+\nu)T\cosh(\mu-\nu)U+\sinh(\mu+\nu)T\sinh(\mu-\nu)U\\
&\qquad+\cosh(\mu-\nu)T\cosh(\mu+\nu)U+\sinh(\mu-\nu)T\sinh(\mu+\nu)U
\end{align}
となるが, この4つの項の中で$T,U$の両方に関して偶関数の項は1つ目と3つ目の項だけである. よって,
\begin{align}
K_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&=\frac 14\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2z\cosh T\cosh U}(\cosh(\mu+\nu)T\cosh(\mu-\nu)U+\cosh(\mu-\nu)T\cosh(\mu+\nu)U)\,dTdU\\
&=\frac 12\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2z\cosh T\cosh U}\cosh(\mu+\nu)T\cosh(\mu-\nu)U\,dTdU\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}K_{\mu+\nu}(2z\cosh U)\cosh(\mu-\nu)U\,dU\\
&=2\int_0^{\infty}K_{\mu+\nu}(2z\cosh U)\cosh(\mu-\nu)U\,dU\\
\end{align}
となって示すべき等式を得る. ここで, 1つ目の等号は2つ目の項の$T,U$を入れ替えることによるもので, 2つ目の等号はSchläfliの積分表示によるものである.
定義から$K_{\nu}(z)=K_{-\nu}(z)$であるから, 定理1は
\begin{align}
K_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&=2\int_0^{\infty}K_{\mu-\nu}(2z\cosh t)\cosh(\mu+\nu)t\,dt
\end{align}
と書くこともできる.
これは
前の記事
で示したGegenbauerによるBessel関数の積の積分表示
\begin{align}
J_{\mu}(z)J_{\nu}(z)&=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}J_{\mu+\nu}(2z\cos\theta)\cos(\mu-\nu)\theta\,d\theta
\end{align}
の類似と言える.
