双曲線関数が含まれる級数
はじめに
\begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\coth(\pi n)}{n^{3}}=\frac{7\pi^3}{180}\\ &\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\tanh\left((n+\frac{1}{2})\pi\right)}{(n+\frac{1}{2})^{3}}=\frac{\pi^3}{4}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}\sinh(\pi n)}=\frac{\pi^3}{360}\\ &\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n+\frac{1}{2})\cosh((n+\frac{1}{2})\pi)}=\frac{\pi}{4} \end{align}
のような双曲線関数が含まれる級数の一般化を、部分分数展開と級数変形により求める。
準備
$k$は2以上の整数とする(下2つの交代和は$k=1$でも良い。)
\begin{align}
\zeta(k)&:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k}\\
\tau(k)&:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^k}\\
\eta(k)&:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^k}\\
\beta(k)&:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)^k}
\end{align}
次の公式を使います。
$$\pi\coth(\pi z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2+n^2}$$
$$\pi\tanh(\pi z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2z}{z^2+(n+\frac{1}{2})^2}$$
$$\frac{\pi}{\sinh(\pi z)}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n2z}{z^2+n^2}$$
$$\frac{\pi}{\cosh(\pi z)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2n+1)}{z^2+(n+\frac{1}{2})^2}$$
以下、$k$は非負整数とします。
$$\frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}=\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i x^{2k-i}y^i$$
右辺が初項$x^{2k}$公比$-\frac{y}{x}$の等比級数になっているので
$$\text{(右辺)}=\frac{x^{2k}(1-(-\frac{y}{x})^{2k+1})}{1+\frac{y}{x}}=\frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}\ \blacksquare$$
証明
$$\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\coth(\pi n)}{n^{4k+3}}=\zeta(4k+4)+\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\zeta(2i+2)\zeta(4k-2i+2)$$
\begin{align} \pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\coth\big(\pi n\big)}{n^{4k+3}} &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4k+3}}\left(\frac{1}{n}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2n}{n^2+m^2}\right)\\ &=\zeta(4k+4)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4k+2}}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2}{n^2+m^2}\\ &=\zeta(4k+4)+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{4k+2}}+\frac{1}{m^{4k+2}}\right)\frac{1}{n^2+m^2}\\ &=\zeta(4k+4)+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4k+2}m^{4k+2}}\frac{n^{4k+2}+m^{4k+2}}{n^2+m^2}\\ &=\zeta(4k+4)+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4k+2}m^{4k+2}}\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i n^{4k-2i}m^{2i}\quad(\because \text{補題}2)\\ &=\zeta(4k+4)+\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2i+2}m^{4k-2i+2}}\\ &=\zeta(4k+4)+\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\zeta(2i+2)\zeta(4k-2i+2)\\ \end{align}
以下の命題もほとんど同様に示せます。
$$\pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\tanh\big((n+\frac{1}{2})\pi\big)}{(n+\frac{1}{2})^{4k+3}}=\sum_{i=0}^{2k}(-1)^{i}\tau(2i+2)\tau(4k-2i+2) $$
\begin{align*} \pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\tanh\big((n+\frac{1}{2})\pi\big)}{(n+\frac{1}{2})^{4k+3}} &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^{4k+2}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2}{(n+\frac{1}{2})^2+(m+\frac{1}{2})^2}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\Bigg(\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^{4k+2}}+\frac{1}{(m+\frac{1}{2})^{4k+2}}\Bigg)\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^2+(m+\frac{1}{2})^2}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\Bigg(\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^{4k+2}(m+\frac{1}{2})^{4k+2}}\Bigg)\frac{(n+\frac{1}{2})^{4k+2}+(m+\frac{1}{2})^{4k+2}}{(n+\frac{1}{2})^2+(m+\frac{1}{2})^2}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\Bigg(\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^{4k+2}(m+\frac{1}{2})^{4k+2}}\Bigg)\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\Big(n+\frac{1}{2}\Big)^{4k-2i}\Big(m+\frac{1}{2}\Big)^{2i}\quad(\because \text{補題}2)\\ &=\sum_{i=0}^{2k}(-1)^{i}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\Bigg(\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^{2i+2}(m+\frac{1}{2})^{4k-2i+2}}\Bigg)\\ &=\sum_{i=0}^{2k}(-1)^{i}\tau(2i+2)\tau(4k-2i+2)\\ \end{align*}
$$\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{4k+3}\sinh(\pi n)}=\eta(4k+4)-\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\eta(2i+2)\eta(4k-2i+2)$$
\begin{align} \pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{4k+3}\sinh(\pi n)} &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{4k+3}}\left(\frac{1}{n}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m2n}{n^2+m^2}\right)\\ &=\eta(4k+4)-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{4k+2}}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{n^2+m^2}\\ &=\eta(4k+4)-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{n^{4k+2}}+\frac{(-1)^{n}}{m^{4k+2}}\right)\frac{(-1)^m}{n^2+m^2}\\ &=\eta(4k+4)-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{n^{4k+2}m^{4k+2}}\frac{n^{4k+2}+m^{4k+2}}{n^2+m^2}\\ &=\eta(4k+4)-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{n^{4k+2}m^{4k+2}}\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i n^{4k-2i}m^{2i}\quad(\because \text{補題}2)\\ &=\eta(4k+4)-\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{n^{2i+2}m^{4k-2i+2}}\\ &=\eta(4k+4)-\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\eta(2i+2)\eta(4k-2i+2) \end{align}
$$\pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n+\frac{1}{2})^{4k+1}\cosh((n+\frac{1}{2})\pi)}=2^{4k+2}\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\beta(2i+1)\beta(4k-2i+1)$$
\begin{align} \pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n+\frac{1}{2})^{4k+1}\cosh((n+\frac{1}{2})\pi)} &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n+\frac{1}{2})^{4k+1}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}(2m+1)}{(n+\frac{1}{2})^2+(m+\frac{1}{2})^2}\\ &=2\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^{4k+2}}\frac{(-1)^{n+m}(n+\frac{1}{2})(m+\frac{1}{2})}{(n+\frac{1}{2})^2+(m+\frac{1}{2})^2}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^{4k+2}}+\frac{1}{(m+\frac{1}{2})^{4k+2}}\right)\frac{(-1)^{n+m}(n+\frac{1}{2})(m+\frac{1}{2})}{(n+\frac{1}{2})^2+(m+\frac{1}{2})^2}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{(n+\frac{1}{2})^{4k+1}(m+\frac{1}{2})^{4k+1}}\frac{(n+\frac{1}{2})^{4k+2}+(m+\frac{1}{2})^{4k+2}}{(n+\frac{1}{2})^2+(m+\frac{1}{2})^2}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{(n+\frac{1}{2})^{4k+1}(m+\frac{1}{2})^{4k+1}}\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\left(n+\frac{1}{2}\right)^{4k-2i}\left(m+\frac{1}{2}\right)^{2i}\quad(\because \text{補題}2)\\ &=\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{(n+\frac{1}{2})^{2i+1}(m+\frac{1}{2})^{4k-2i+1}}\\ &=2^{4k+2}\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\beta(2i+1)\beta(4k-2i+1) \end{align}
今までの結果をまとめると次のようになります。
$$\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\coth(\pi n)}{n^{4k+3}}=\zeta(4k+4)+\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\zeta(2i+2)\zeta(4k-2i+2)$$
$$\pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\tanh\big((n+\frac{1}{2})\pi\big)}{(n+\frac{1}{2})^{4k+3}}=\sum_{i=0}^{2k}(-1)^{i}\tau(2i+2)\tau(4k-2i+2) $$
$$\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{4k+3}\sinh(\pi n)}=\eta(4k+4)-\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\eta(2i+2)\eta(4k-2i+2)$$
$$\pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n+\frac{1}{2})^{4k+1}\cosh((n+\frac{1}{2})\pi)}=2^{4k+2}\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i\beta(2i+1)\beta(4k-2i+1)$$
ちなみに右辺はすべて(有理数)$\times \pi$の冪で書けることが知られています。
それと、書いてる途中で気づいたんですが
ラマヌジャンの公式集：級数、積分
という記事の公式13に同じ等式が紹介されていました。
