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0を持つ半群(2)

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前回1の続き．$0$準同型を表す下付きの$0$は省略する．

序

$k$を体，$S$を$0$を持つ半群とする．$S\setminus0$が生成する自由$k$ベクトル空間に，$S$の積を線形拡張して得られる結合的$k$代数を$k[S]$で表す．$f\in k[S]$に対し，$s$の係数を$c_f(s)\in k$で表す;
$$f=\sum_{s\in S\setminus0}c_f(s)\cdot s.$$
ただし有限個の$s$を除いて$c_f(s)=0$である．このとき$f,g\in k[S]$に対し，積を具体的に書くと
\begin{align} fg =\sum_{s_1\in S\setminus0}\sum_{s_2\in S\setminus0}c_f(s_1)c_g(s_2)s_1s_2 =\sum_{s\in S\setminus0}\sum_{\substack{s_1,s_2\in S\setminus0\\s_1s_2=s}}c_f(s_1)c_g(s_2)\cdot s \end{align}
である．次の命題は容易にわかる．

$S,T$を$0$を持つ半群，$\theta\colon S\to T$を$0$を保つ半群準同型とする．$\theta$は$k$代数準同型$\theta_\ast\colon k[S]\to k[T]$,
$$\theta_\ast(f) =\sum_{s\in S\setminus0}c_f(s)\cdot\theta(s) =\sum_{t\in T\setminus0}\sum_{s\in\theta^{-1}(t)}c_f(s)\cdot t$$
を導く．この対応$\theta\mapsto\theta_\ast$は関手的である．

1において$0$を持つ半群の間の$0$準同型を定義した．$0$準同型については一般に命題1のように定めても$k$代数の準同型は得られない．この記事では$0$を持つ半群$S,T$の間の新しい射$S\to T$を$0$準同型を用いて導入して，$k$代数準同型$k[S]\to k[T]$を構成する．またそうして得られる$k$代数準同型が，命題1により$0$を保つ半群準同型から得られるものを含むことを示す．

特別な$0$準同型

全域$0$準同型

$S,T$を$0$を持つ半群とする．$0$準同型$\theta\colon S\to T$は，任意の$s,s'\in S\setminus0$に対し，$ss'=0$であるとき常に$\theta(s)\theta(s')=0$であるとき全域的であるという．

全域的$0$準同型は$\theta(0)=0$と定めることで$0$を保つ半群準同型$\theta\colon S\to T$に拡張される．従って命題1によって$k$代数準同型$\theta_\ast\colon k[S]\to k[T]$が定まる．

$S,T$を$0$を持つ半群，$\theta\colon S\to T$を$0$を保つ半群準同型とする．このとき$I=\theta^{-1}(0)\subset S$は空でないイデアルであり，$\bar{\theta}([s]):=\theta(s)$, $s\in S\setminus I$, は$0$準同型$\bar{\theta}\colon S/I\to T$を定める．$ss'\in I$なる$s,s'\in S\setminus I$に対し，$\bar{\theta}([s])\bar{\theta}([s'])=\theta(ss')=0$ゆえ$\bar{\theta}$は全域的である．

整然$0$準同型

$0$準同型$\varphi\colon S\to T$が固有であるとは，すべての$t\in T\setminus0$に対して$\varphi^{-1}(t)$が有限集合であることをいう．固有$0$準同型$\varphi\colon S\to T$に対し，$k$線形写像$\varphi^\ast\colon k[T]\to k[S]$が
$$\varphi^\ast(f)=\sum_{s\in S\setminus0}c_f(\varphi(s))\cdot s\qquad (f\in k[T])$$
により定まる．これが$k$代数準同型となる(i.e.積を保つ)ための条件を調べる．$f,g\in k[T]$に対し，
$$\varphi^\ast(fg)=\sum_{s\in S\setminus0}c_{fg}(\varphi(s))\cdot s=\sum_{s\in S\setminus0}\sum_{\substack{t_1,t_2\in T\setminus0\\t_1t_2=\varphi(s)}}c_f(t_1)c_g(t_2)\cdot s,$$
$$\varphi^\ast(f)\varphi^\ast(g)=\sum_{s\in S\setminus0}\sum_{\substack{s_1,s_2\in S\setminus0\\s_1s_2=s}}c_f(\varphi(s_1))c_g(\varphi(s_2))\cdot s$$
である．そこで，次の概念を導入する．

$\varphi\colon S\to T$を$0$準同型とする．このとき各$s\in S\setminus0$に対して写像
$$m_S^{-1}(s)\to m_T^{-1}(\varphi(s)),\quad (s_1,s_2)\mapsto(\varphi(s_1),\varphi(s_2))\tag{🥺}\label{pien}$$
が定まる．ただし$m_S\colon S\times S\to S$は積を与える写像である．

すべての$s\in S\setminus0$に対して写像\eqref{pien}が全単射であるとき，$\varphi$は整然であるという．

言い換えると，$0$準同型$\varphi\colon S\to T$が整然とは，任意の$s\in S\setminus0$と任意の$\varphi(s)=t_1t_2$なる$t_1,t_2\in T\setminus0$に対し，$s=s_1s_2$なる$s_1,s_2\in S\setminus0$で$\varphi(s_1)=t$, $\varphi(s_2)=t_2$をみたすものがただ一つ存在することをいう．

固有整然$0$準同型$\varphi\colon S\to T$に対し，$\varphi^\ast\colon k[T]\to k[S]$は$k$代数準同型である．

$S$を$0$を持つ半群，$I\subset S$を空でないイデアルとする．このとき$[s]\mapsto s$ ($s\in S\setminus I$) は$0$準同型$\iota\colon S/I\to S$を定める．$\iota$は単射ゆえ固有である．また$\iota$は整然である．実際，$s\in S\setminus I$が$\iota([s])=s=s_1s_2$と書かれるとき，$I$はイデアルであるから$s_1,s_2\not\in I$である．よって$\iota([s_1])=s_1$, $\iota([s_2])=s_2$である．一意性は$\iota$が単射であることから従う．
集合$X$に対し，$\tilde{X}=X\cup0$は演算
$$xy=\begin{cases} x&(\text{if }x=y),\\ 0&(\text{if otherwise}) \end{cases}$$
により$0$を持つ半群である．集合$X,Y$とその間の写像$\varphi\colon X\to Y$に対し，$\tilde{\varphi}\colon \tilde{X}\to\tilde{Y}$, $\tilde{\varphi}(x)=\varphi(x)$は$0$準同型となる．この対応により$\tilde{(\cdot)}\colon \mathrm{Set}\to\catsemigrpzero$は忠実充満関手を定める．$\tilde{\varphi}$は整然である．実際，任意の$x\in X$に対し，$m_{\tilde{X}}^{-1}(x)=\setex{(x,x)}$, $m_{\tilde{Y}}^{-1}(\tilde{\varphi}(x))=\setex{(\tilde{\varphi}(x),\tilde{\varphi}(x))}$だから，\eqref{pien}は全単射である．

性質

$P$を整然，固有または全域的のいずれかとする．
(1) $P$をみたす$0$準同型の合成は$P$をみたす．
(2) 下図のpullbackにおいて，$\varphi$が$P$をみたすとき$q$も$P$をみたす．
\begin{xy} \xymatrix { & S\times_R T \ar[d]_p \ar[r]^q & T \ar[d]^\psi \\ & S \ar[r]_\varphi & R } \end{xy}

略
1の命題6により$U:=S\times_R T=\setin{(s,t)\in(S\times^0 T)\setminus0}{\varphi(s)=\psi(t)}\cup0$であった．
[全域的] 任意の$u=(s,t),u'=(s',t')\in U\setminus0$をとる．$uu'=0$$\iff$$ss'=0$ or $tt'=0$である．$q(u)q(u')=tt'$であるから，$q$の全域性を示すには$ss'=0$を仮定したとき$tt'=0$が示されればよい．$ss'=0$のとき，$\varphi$は全域的ゆえ
$$0=\varphi(s)\varphi(s')=\psi(t)\psi(t')$$
である．従って，1の補題2により$tt'=0$を得る．
[固有] 任意の$t\in T\setminus0$に対し，
$$|q^{-1}(t)|=|\setin{(s,t)}{s\in S\setminus0, \varphi(s)=\psi(t)}|=|\varphi^{-1}(\psi(t))|<\infty.$$
[整然] 任意の$(s,t)\in U\setminus0$を固定する．示したいことは，写像
\begin{align} \setin{((s_1,t_1),(s_2,t_2))\in(U\setminus0)^2}{s_1s_2=s, t_1t_2=t}&\to \setin{(t_1,t_2)\in(T\setminus0)^2}{t_1t_2=t}\\ ((s_1,t_1),(s_2,t_2))&\mapsto (t_1,t_2) \end{align}
が全単射であることである．任意の$t_1t_2=t$なる$t_1,t_2\in T\setminus0$に対し，$\varphi(s)=\psi(t)=\psi(t_1)\psi(t_2)$である．$\varphi$は整然であるから，$s_1s_2=s$なる$s_1,s_2\in S\setminus0$がただ一つ存在して，$\varphi(s_1)=\psi(t_1)$, $\varphi(s_2)=\psi(t_2)$が成り立つ．従って$(s_1,t_1),(s_2,t_2)\in U\setminus0$であり，上の写像が全単射であることが分かった．

固有整然$0$準同型$\varphi\colon S\to T$, $\psi\colon T\to U$に対し，$(\psi\circ\varphi)^\ast=\varphi^\ast\circ\psi^\ast$である．

任意の$f\in k[U]$に対し，
\begin{align} \varphi^\ast(\psi^\ast(f)) &=\sum_{s\in S\setminus0}c_{\psi^\ast(f)}(\varphi(s))\cdot s\\ &=\sum_{s\in S\setminus0}c_f(\psi(\varphi(s)))\cdot s\\ &=(\psi\circ\varphi)^\ast(f) \end{align}
である．

同型$\varphi\colon S\to T$は固有，整然，全域的であり，$\varphi^\ast=\varphi_\ast^{-1}$が成り立つ．

任意の$f\in k[T]$に対し，
\begin{align} \varphi_\ast(\varphi^\ast(f)) &=\sum_{t\in T\setminus0}c_{\varphi^\ast(f)}(\varphi^{-1}(t))\cdot t\\ &=\sum_{t\in T\setminus0}c_f(\varphi(\varphi^{-1}(t)))\cdot t\\ &=f \end{align}
ゆえ$\varphi_\ast\circ\varphi^\ast=\id_{k[T]}$である．$\varphi^\ast\circ\varphi_\ast=\id_{k[S]}$も同様に示される．

許容スパン

圏$\catsemigrpzero$はpullbackを持つから，スパンの圏を考えることができる．すなわち，対象は$0$を持つ半群であり，射はスパン$S\stackrel{\varphi}{\leftarrow}D\stackrel{\psi}{\to}T$の同値類である．ここで，同型$\alpha\colon D\to D'$があって，下図を可換にするとき，二つのスパン$S\stackrel{\varphi}{\leftarrow}D\stackrel{\psi}{\to}T$, $S\stackrel{\varphi'}{\leftarrow}D'\stackrel{\psi'}{\to}T$は同一視される:
\begin{xy}\xymatrix@R=6pt{ & D\ar[ld]_\varphi\ar[dd]_\alpha\ar[rd]^\psi &\\ S & & T\\ & D'\ar[lu]^{\varphi'}\ar[ru]_{\psi'} & }\end{xy}
スパン$S\stackrel{\varphi}{\leftarrow}D\stackrel{\psi}{\to}T$を含む同値類を$[\varphi,\psi;D]$で，あるいは$D$を省略して$[\varphi,\psi]$で表す．二つのスパン$[\varphi,\psi]\colon S\to T$, $[\varphi',\psi']\colon T\to U$に対し，射の合成はpullbackを用いて$[\varphi\circ p,\psi'\circ q]$で定義される:
\begin{xy}\xymatrix@R=6pt{ &&D\times_TD'\ar[ld]_p\ar[rd]^q&&\\ &D\ar[ld]_\varphi\ar[rd]^\psi&&D'\ar[ld]_{\varphi'}\ar[rd]^{\psi'}&\\ S&&T&&U }\end{xy}
スパン$S\stackrel{\varphi}{\leftarrow}D\stackrel{\theta}{\to}T$が許容であるとは，$\varphi$が固有整然，$\theta$が全域的であることと定める．補題5と命題3(1)から，許容スパンと同値なスパンは許容である．従って$[\varphi,\theta]$が許容であることが矛盾なく定義される．命題3により，許容スパンの合成は許容スパンであるから，スパンの圏の射を許容スパンに制限したものは部分圏をなす．これを$\admspan$と表す．$\varphi$が固有であることから，圏$\admspan$はlocally smallである．

前節から，許容スパン$S\stackrel{\varphi}{\leftarrow}D\stackrel{\theta}{\to}T$に対して$k$代数準同型$\theta_\ast\circ\varphi^\ast\colon k[S]\to k[T]$が定まる．同型$\alpha\colon D'\to D$に対し，補題5により
$$(\theta\circ\alpha)_\ast\circ(\varphi\circ\alpha)^\ast=\theta_\ast\circ(\alpha_\ast\circ\alpha^\ast)\circ\varphi^\ast=\theta_\ast\circ\varphi^\ast$$
であるから，この$k$代数準同型は類$[\varphi,\theta]$に対して定まる．これを$[\varphi,\theta]_\ast=\theta_\ast\circ\varphi^\ast$で表す．

上述の$[\varphi,\theta]_\ast$は関手$\admspan\to k\mathchar`-\mathrm{Alg}$を定める．

$[\varphi,\theta]\colon S\to T$, $[\varphi',\theta']\colon T\to U$を許容スパンとする．
\begin{xy}\xymatrix@R=6pt{ &&D\times_TD'\ar[ld]_p\ar[rd]^q&&\\ &D\ar[ld]_\varphi\ar[rd]^\theta&&D'\ar[ld]_{\varphi'}\ar[rd]^{\theta'}&\\ S&&T&&U }\end{xy}
$([\varphi',\theta']\circ[\varphi,\theta])_\ast=[\varphi',\theta']_\ast\circ[\varphi,\theta]_\ast$を示すため，$q_\ast\circ p^\ast=\varphi'^\ast\circ\theta_\ast\colon k[D]\to k[D']$を示せばよい．基底$D\setminus0$の行き先を見ればよい．任意の$d\in D\setminus0$に対し，
$$p^\ast(d)=\sum_{\substack{d'\in D'\setminus0\\\theta(d)=\varphi'(d')}}(d,d')=\sum_{d'\in\varphi'^{-1}(\theta(d))}(d,d')$$
であるから，
$$q_\ast(p^\ast(d)) =\sum_{d'\in\varphi'^{-1}(\theta(d))}d' =\varphi'^\ast(\theta_\ast(d))$$
を得る．従って$q_\ast\circ p^\ast=\varphi'^\ast\circ\theta_\ast$が示された．
$[\id_S,\id_S]_\ast=\id_{k[S]}$は明らかである．

$S,T$を$0$を持つ半群，$\theta\colon S\to T$を$0$を保つ半群準同型とする．このとき例1, 例2(1)により許容スパン$[\theta]:=[\iota,\bar{\theta};S/\theta^{-1}(0)]$が定まる．

対応$\theta\mapsto[\theta]$は，$0$を持つ半群と$0$を保つ半群準同型の圏から$\admspan$への関手を定める．さらに，任意の$0$を保つ準同型$\theta$に対し，$\theta_\ast=[\theta]_\ast$が成り立つ．

$S/\id_S^{-1}(0)=S/0\cong S$から$[\id_S]=[\id_S,\id_S]$はO.K.
$\theta\colon S\to T$, $\tau\colon T\to U$を$0$を保つ準同型とする．
\begin{xy}\xymatrix@R=6pt{ &&Z\ar[ld]_p\ar[rd]^q&&\\ &S/\theta^{-1}(0)\ar@{_{(}->}[ld]\ar[rd]^{\bar{\theta}}&&T/\tau^{-1}(0)\ar@{_{(}->}[ld]\ar[rd]^{\bar{\tau}}&\\ S&&T&&U\\\\ &&S/\theta^{-1}(\tau^{-1}(0))\ar@{^{(}->}[lluu]\ar[rruu]_{\overline{\tau\circ\theta}}&& }\end{xy}
\begin{align} Z\setminus0 &=\setin{([s],[t])}{s\in S\setminus\theta^{-1}(0),t\in T\setminus\tau^{-1}(0),\bar\theta([s])=t}\\ &=\setin{([s],[\theta(s)])}{s\in S\setminus\theta^{-1}(0),\theta(s)\in T\setminus\tau^{-1}(0)}\\ &=\setin{([s],[\theta(s)])}{s\in S\setminus\theta^{-1}(\tau^{-1}(0))} \end{align}
であるから，$\alpha\colon S/\theta^{-1}(\tau^{-1}(0))\to Z$, $\alpha([s])=([s],[\theta(s)])$は同型を与える．
\begin{xy}\xymatrix@R=6pt{ &Z\ar[ld]_{\iota\circ p}\ar[rd]^{\bar\tau\circ q}&\\ S&&U\\ &S/\theta^{-1}(\tau^{-1}(0))\ar@{^{(}->}[lu]\ar[ru]^{\overline{\tau\circ\theta}}\ar[uu]^\alpha }\end{xy}
このとき任意の$s\in S\setminus\theta^{-1}(\tau^{-1}(0))$に対し，
$$\bar\tau(q(\alpha([s])))=\bar\tau([\theta(s)])=\tau(\theta(s))=\overline{\tau\circ\theta}([s]),$$
$$\iota(p(\alpha([s])))=s$$
である．よって$[\tau\circ\theta]=[\tau]\circ[\theta]$である．以上により関手性が示された．

$[\theta]_\ast=\theta_\ast$を示す．任意の$s\in S\setminus0$に対し，

$s\in\theta^{-1}(0)$のとき．$\iota^\ast(s)=0$ゆえ$[\theta]_\ast(s)=\bar\theta_\ast(\iota^\ast(s))=0=\theta_\ast(s)$である．
$s\not\in\theta^{-1}(0)$のとき．$\iota^\ast(s)=[s]$ゆえ$[\theta]_\ast(s)=\bar\theta_\ast([s])=s=\theta_\ast(s)$である．

よって$[\theta]_\ast=\theta_\ast$が示された．

$0$を保つ半群準同型からは得られない許容スパンの例

$S=\setex{0,1}$, $T=\setex{0,a,b}$, $aa=a$, $bb=b$,$ab=ba=0$とする．$k[S]\cong k$, $k[T]\cong k\oplus k$である．許容スパン$S\stackrel{\varphi}{\leftarrow}T\stackrel{\id}{\to}T$, $\varphi(a)=\varphi(b)=1$を考える．対応する$k$代数準同型は$k\ni x\mapsto x\oplus x\in k\oplus k$である．一方で，$0$を保つ準同型$S\to T$は$1\mapsto0$, $1\mapsto a$, $1\mapsto b$のいずれかのみである．対応する$k$代数準同型はそれぞれ$x\mapsto0$, $x\mapsto x\oplus0$, $x\mapsto0\oplus x$である．