0を持つ半群(2)

前回1の続き．$0$準同型を表す下付きの$0$は省略する．

序

$k$を体，$S$を$0$を持つ半群とする．$S\setminus 0$が生成する自由$k$ベクトル空間に，$S$の積を線形拡張して得られる結合的$k$代数を$k[S]$で表す．$f\in k[S]$に対し，$s$の係数を$c_f(s)\in k$で表す;
$$f=\sum _{s\in S\setminus 0}{c}_f(s)\cdot s.$$
ただし有限個の$s$を除いて$c_f(s)=0$である．このとき$f,g\in k[S]$に対し，積を具体的に書くと
$$\begin{array}{r}fg=\sum _{s_1\in S\setminus 0}\sum _{s_2\in S\setminus 0}{c}_f(s_1)c_g(s_2)s_1{s}_2=\sum _{s\in S\setminus 0}\sum _{\begin{array}{c}{s}_1,s_2\in S\setminus 0\\ s_1{s}_2=s\end{array}}{c}_f(s_1)c_g(s_2)\cdot s\end{array}$$
である．次の命題は容易にわかる．

1において$0$を持つ半群の間の$0$準同型を定義した．$0$準同型については一般に命題1のように定めても$k$代数の準同型は得られない．この記事では$0$を持つ半群$S,T$の間の新しい射$S\to T$を$0$準同型を用いて導入して，$k$代数準同型$k[S]\to k[T]$を構成する．またそうして得られる$k$代数準同型が，命題1により$0$を保つ半群準同型から得られるものを含むことを示す．

特別な$0$準同型

全域$0$準同型

全域的$0$準同型は$\theta (0)=0$と定めることで$0$を保つ半群準同型$\theta :S\to T$に拡張される．従って命題1によって$k$代数準同型${\theta }_{\ast }:k[S]\to k[T]$が定まる．

整然$0$準同型

$0$準同型$\phi :S\to T$が固有であるとは，すべての$t\in T\setminus 0$に対して${\phi }^{-1}(t)$が有限集合であることをいう．固有$0$準同型$\phi :S\to T$に対し，$k$線形写像${\phi }^{\ast }:k[T]\to k[S]$が
$${\phi }^{\ast }(f)=\sum _{s\in S\setminus 0}{c}_f(\phi (s))\cdot s(f\in k[T])$$
により定まる．これが$k$代数準同型となる(i.e.積を保つ)ための条件を調べる．$f,g\in k[T]$に対し，
$${\phi }^{\ast }(fg)=\sum _{s\in S\setminus 0}{c}_{fg}(\phi (s))\cdot s=\sum _{s\in S\setminus 0}\sum _{\begin{array}{c}{t}_1,t_2\in T\setminus 0\\ t_1{t}_2=\phi (s)\end{array}}{c}_f(t_1)c_g(t_2)\cdot s,$$
$${\phi }^{\ast }(f){\phi }^{\ast }(g)=\sum _{s\in S\setminus 0}\sum _{\begin{array}{c}{s}_1,s_2\in S\setminus 0\\ s_1{s}_2=s\end{array}}{c}_f(\phi (s_1))c_g(\phi (s_2))\cdot s$$
である．そこで，次の概念を導入する．

$\phi :S\to T$を$0$準同型とする．このとき各$s\in S\setminus 0$に対して写像
$$\begin{array}{}\text{(🥺)}& m_S^{-1}(s)\to m_T^{-1}(\phi (s)),(s_1,s_2)\mapsto (\phi (s_1),\phi (s_2))\end{array}$$
が定まる．ただし$m_S:S\times S\to S$は積を与える写像である．

言い換えると，$0$準同型$\phi :S\to T$が整然とは，任意の$s\in S\setminus 0$と任意の$\phi (s)=t_1{t}_2$なる$t_1,t_2\in T\setminus 0$に対し，$s=s_1{s}_2$なる$s_1,s_2\in S\setminus 0$で$\phi (s_1)=t$, $\phi (s_2)=t_2$をみたすものがただ一つ存在することをいう．

性質

許容スパン

圏${\mathrm{SemiGrp}}^0$はpullbackを持つから，スパンの圏を考えることができる．すなわち，対象は$0$を持つ半群であり，射はスパン$S\stackrel{\phi }{\leftarrow }D\stackrel{\psi }{\to }T$の同値類である．ここで，同型$\alpha :D\to D^{\prime }$があって，下図を可換にするとき，二つのスパン$S\stackrel{\phi }{\leftarrow }D\stackrel{\psi }{\to }T$, $S\stackrel{{\phi }^{\prime }}{\leftarrow }{D}^{\prime }\stackrel{{\psi }^{\prime }}{\to }T$は同一視される:
$$D\phi \alpha \psi ST{D}^{\prime }{\phi }^{\prime }{\psi }^{\prime }$$
スパン$S\stackrel{\phi }{\leftarrow }D\stackrel{\psi }{\to }T$を含む同値類を$[\phi ,\psi ;D]$で，あるいは$D$を省略して$[\phi ,\psi ]$で表す．二つのスパン$[\phi ,\psi ]:S\to T$, $[{\phi }^{\prime },{\psi }^{\prime }]:T\to U$に対し，射の合成はpullbackを用いて$[\phi \circ p,{\psi }^{\prime }\circ q]$で定義される:
$$D{\times }_T{D}^{\prime }pqD\phi \psi D^{\prime }{\phi }^{\prime }{\psi }^{\prime }STU$$
スパン$S\stackrel{\phi }{\leftarrow }D\stackrel{\theta }{\to }T$が許容であるとは，$\phi$が固有整然，$\theta$が全域的であることと定める．補題5と命題3(1)から，許容スパンと同値なスパンは許容である．従って$[\phi ,\theta ]$が許容であることが矛盾なく定義される．命題3により，許容スパンの合成は許容スパンであるから，スパンの圏の射を許容スパンに制限したものは部分圏をなす．これを$\mathrm{AdmSpan}$と表す．$\phi$が固有であることから，圏$\mathrm{AdmSpan}$はlocally smallである．

前節から，許容スパン$S\stackrel{\phi }{\leftarrow }D\stackrel{\theta }{\to }T$に対して$k$代数準同型${\theta }_{\ast }\circ {\phi }^{\ast }:k[S]\to k[T]$が定まる．同型$\alpha :D^{\prime }\to D$に対し，補題5により
$$(\theta \circ \alpha {)}_{\ast }\circ (\phi \circ \alpha {)}^{\ast }={\theta }_{\ast }\circ ({\alpha }_{\ast }\circ {\alpha }^{\ast })\circ {\phi }^{\ast }={\theta }_{\ast }\circ {\phi }^{\ast }$$
であるから，この$k$代数準同型は類$[\phi ,\theta ]$に対して定まる．これを$[\phi ,\theta {]}_{\ast }={\theta }_{\ast }\circ {\phi }^{\ast }$で表す．

$S,T$を$0$を持つ半群，$\theta :S\to T$を$0$を保つ半群準同型とする．このとき例1, 例2(1)により許容スパン$[\theta ]:=[\iota ,\overline{\theta };S/{\theta }^{-1}(0)]$が定まる．

TODO

• 定理4の関手性

更新履歴

• 8/25 全体的に説明・証明を加筆した．