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大学数学基礎解説
文献あり

0を持つ半群(2)

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前回[1]の続き.0準同型を表す下付きの0は省略する.

kを体,S0を持つ半群とする.S0が生成する自由kベクトル空間に,Sの積を線形拡張して得られる結合的k代数をk[S]で表す.fk[S]に対し,sの係数をcf(s)kで表す;
f=sS0cf(s)s.
ただし有限個のsを除いてcf(s)=0である.このときf,gk[S]に対し,積を具体的に書くと
fg=s1S0s2S0cf(s1)cg(s2)s1s2=sS0s1,s2S0s1s2=scf(s1)cg(s2)s
である.次の命題は容易にわかる.

S,T0を持つ半群,θ:ST0を保つ半群準同型とする.θk代数準同型θ:k[S]k[T],
θ(f)=sS0cf(s)θ(s)=tT0sθ1(t)cf(s)t
を導く.この対応θθは関手的である.

[1]において0を持つ半群の間の0準同型を定義した.0準同型については一般に命題1のように定めてもk代数の準同型は得られない.この記事では0を持つ半群S,Tの間の新しい射ST0準同型を用いて導入して,k代数準同型k[S]k[T]を構成する.またそうして得られるk代数準同型が,命題1により0を保つ半群準同型から得られるものを含むことを示す.

特別な0準同型

全域0準同型

S,T0を持つ半群とする.0準同型θ:STは,任意のs,sS0に対し,ss=0であるとき常にθ(s)θ(s)=0であるとき全域的であるという.

全域的0準同型はθ(0)=0と定めることで0を保つ半群準同型θ:STに拡張される.従って命題1によってk代数準同型θ:k[S]k[T]が定まる.

S,T0を持つ半群,θ:ST0を保つ半群準同型とする.このときI=θ1(0)Sは空でないイデアルであり,θ¯([s]):=θ(s), sSI, は0準同型θ¯:S/ITを定める.ssIなるs,sSIに対し,θ¯([s])θ¯([s])=θ(ss)=0ゆえθ¯は全域的である.

整然0準同型

0準同型φ:STが固有であるとは,すべてのtT0に対してφ1(t)が有限集合であることをいう.固有0準同型φ:STに対し,k線形写像φ:k[T]k[S]
φ(f)=sS0cf(φ(s))s(fk[T])
により定まる.これがk代数準同型となる(i.e.積を保つ)ための条件を調べる.f,gk[T]に対し,
φ(fg)=sS0cfg(φ(s))s=sS0t1,t2T0t1t2=φ(s)cf(t1)cg(t2)s,
φ(f)φ(g)=sS0s1,s2S0s1s2=scf(φ(s1))cg(φ(s2))s
である.そこで,次の概念を導入する.

φ:ST0準同型とする.このとき各sS0に対して写像
(🥺)mS1(s)mT1(φ(s)),(s1,s2)(φ(s1),φ(s2))
が定まる.ただしmS:S×SSは積を与える写像である.

すべてのsS0に対して写像(🥺)が全単射であるとき,φは整然であるという.

言い換えると,0準同型φ:STが整然とは,任意のsS0と任意のφ(s)=t1t2なるt1,t2T0に対し,s=s1s2なるs1,s2S0φ(s1)=t, φ(s2)=t2をみたすものがただ一つ存在することをいう.

固有整然0準同型φ:STに対し,φ:k[T]k[S]k代数準同型である.

  1. S0を持つ半群,ISを空でないイデアルとする.このとき[s]s (sSI) は0準同型ι:S/ISを定める.ιは単射ゆえ固有である.またιは整然である.実際,sSIι([s])=s=s1s2と書かれるとき,Iはイデアルであるからs1,s2Iである.よってι([s1])=s1, ι([s2])=s2である.一意性はιが単射であることから従う.
  2. 集合Xに対し,X~=X0は演算
    xy={x(if x=y),0(if otherwise)
    により0を持つ半群である.集合X,Yとその間の写像φ:XYに対し,φ~:X~Y~, φ~(x)=φ(x)0準同型となる.この対応により()~:SetSemiGrp0は忠実充満関手を定める.φ~は整然である.実際,任意のxXに対し,mX~1(x)={(x,x)}, mY~1(φ~(x))={(φ~(x),φ~(x))}だから,(🥺)は全単射である.

性質

Pを整然,固有または全域的のいずれかとする.
(1) Pをみたす0準同型の合成はPをみたす.
(2) 下図のpullbackにおいて,φPをみたすときqPをみたす.
S×RTpqTψSφR

  1. [1]の命題6によりU:=S×RT={(s,t)(S×0T)0|φ(s)=ψ(t)}0であった.
    [全域的] 任意のu=(s,t),u=(s,t)U0をとる.uu=0ss=0 or tt=0である.q(u)q(u)=ttであるから,qの全域性を示すにはss=0を仮定したときtt=0が示されればよい.ss=0のとき,φは全域的ゆえ
    0=φ(s)φ(s)=ψ(t)ψ(t)
    である.従って,[1]の補題2によりtt=0を得る.
    [固有] 任意のtT0に対し,
    |q1(t)|=|{(s,t)|sS0,φ(s)=ψ(t)}|=|φ1(ψ(t))|<.
    [整然] 任意の(s,t)U0を固定する.示したいことは,写像
    {((s1,t1),(s2,t2))(U0)2|s1s2=s,t1t2=t}{(t1,t2)(T0)2|t1t2=t}((s1,t1),(s2,t2))(t1,t2)
    が全単射であることである.任意のt1t2=tなるt1,t2T0に対し,φ(s)=ψ(t)=ψ(t1)ψ(t2)である.φは整然であるから,s1s2=sなるs1,s2S0がただ一つ存在して,φ(s1)=ψ(t1), φ(s2)=ψ(t2)が成り立つ.従って(s1,t1),(s2,t2)U0であり,上の写像が全単射であることが分かった.

固有整然0準同型φ:ST, ψ:TUに対し,(ψφ)=φψである.

任意のfk[U]に対し,
φ(ψ(f))=sS0cψ(f)(φ(s))s=sS0cf(ψ(φ(s)))s=(ψφ)(f)
である.

同型φ:STは固有,整然,全域的であり,φ=φ1が成り立つ.

任意のfk[T]に対し,
φ(φ(f))=tT0cφ(f)(φ1(t))t=tT0cf(φ(φ1(t)))t=f
ゆえφφ=idk[T]である.φφ=idk[S]も同様に示される.

許容スパン

SemiGrp0はpullbackを持つから,スパンの圏を考えることができる.すなわち,対象は0を持つ半群であり,射はスパンSφDψTの同値類である.ここで,同型α:DDがあって,下図を可換にするとき,二つのスパンSφDψT, SφDψTは同一視される:
DφαψSTDφψ
スパンSφDψTを含む同値類を[φ,ψ;D]で,あるいはDを省略して[φ,ψ]で表す.二つのスパン[φ,ψ]:ST, [φ,ψ]:TUに対し,射の合成はpullbackを用いて[φp,ψq]で定義される:
D×TDpqDφψDφψSTU
スパンSφDθTが許容であるとは,φが固有整然,θが全域的であることと定める.補題5と命題3(1)から,許容スパンと同値なスパンは許容である.従って[φ,θ]が許容であることが矛盾なく定義される.命題3により,許容スパンの合成は許容スパンであるから,スパンの圏の射を許容スパンに制限したものは部分圏をなす.これをAdmSpanと表す.φが固有であることから,圏AdmSpanはlocally smallである.

前節から,許容スパンSφDθTに対してk代数準同型θφ:k[S]k[T]が定まる.同型α:DDに対し,補題5により
(θα)(φα)=θ(αα)φ=θφ
であるから,このk代数準同型は類[φ,θ]に対して定まる.これを[φ,θ]=θφで表す.

上述の[φ,θ]は関手AdmSpank\mathcharAlgを定める.

[φ,θ]:ST, [φ,θ]:TUを許容スパンとする.
D×TDpqDφθDφθSTU
([φ,θ][φ,θ])=[φ,θ][φ,θ]を示すため,qp=φθ:k[D]k[D]を示せばよい.基底D0の行き先を見ればよい.任意のdD0に対し,
p(d)=dD0θ(d)=φ(d)(d,d)=dφ1(θ(d))(d,d)
であるから,
q(p(d))=dφ1(θ(d))d=φ(θ(d))
を得る.従ってqp=φθが示された.
[idS,idS]=idk[S]は明らかである.

S,T0を持つ半群,θ:ST0を保つ半群準同型とする.このとき例1, 例2(1)により許容スパン[θ]:=[ι,θ¯;S/θ1(0)]が定まる.

対応θ[θ]は,0を持つ半群と0を保つ半群準同型の圏からAdmSpanへの関手を定める.さらに,任意の0を保つ準同型θに対し,θ=[θ]が成り立つ.

S/idS1(0)=S/0Sから[idS]=[idS,idS]はO.K.
θ:ST, τ:TU0を保つ準同型とする.
ZpqS/θ1(0)θ¯T/τ1(0)τ¯STUS/θ1(τ1(0))τθ
Z0={([s],[t])|sSθ1(0),tTτ1(0),θ¯([s])=t}={([s],[θ(s)])|sSθ1(0),θ(s)Tτ1(0)}={([s],[θ(s)])|sSθ1(τ1(0))}
であるから,α:S/θ1(τ1(0))Z, α([s])=([s],[θ(s)])は同型を与える.
Zιpτ¯qSUS/θ1(τ1(0))τθα
このとき任意のsSθ1(τ1(0))に対し,
τ¯(q(α([s])))=τ¯([θ(s)])=τ(θ(s))=τθ([s]),
ι(p(α([s])))=s
である.よって[τθ]=[τ][θ]である.以上により関手性が示された.

[θ]=θを示す.任意のsS0に対し,

  • sθ1(0)のとき.ι(s)=0ゆえ[θ](s)=θ¯(ι(s))=0=θ(s)である.
  • sθ1(0)のとき.ι(s)=[s]ゆえ[θ](s)=θ¯([s])=s=θ(s)である.

よって[θ]=θが示された.

0を保つ半群準同型からは得られない許容スパンの例

S={0,1}, T={0,a,b}, aa=a, bb=b,ab=ba=0とする.k[S]k, k[T]kkである.許容スパンSφTidT, φ(a)=φ(b)=1を考える.対応するk代数準同型はkxxxkkである.一方で,0を保つ準同型ST10, 1a, 1bのいずれかのみである.対応するk代数準同型はそれぞれx0, xx0, x0xである.

TODO

  • 定理4の関手性

更新履歴

  • 8/25 全体的に説明・証明を加筆した.

参考文献

投稿日:2023815
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