0を持つ半群

任意の$r,r^{\prime }\in R\setminus 0$，$r{r}^{\prime }\ne 0$に対し，$\phi (r)\phi (r^{\prime })=\phi (r{r}^{\prime })\ne 0$である．よって$\psi (\phi (r{r}^{\prime }))=\psi (\phi (r)\phi (r^{\prime }))=\psi (\phi (r))\cdot \psi (\phi (r^{\prime }))$である．

$s{s}^{\prime }\ne 0$であれば$\phi (s)\phi (s^{\prime })=\phi (s{s}^{\prime })\ne 0$であるから，対偶によりO.K.

[十分性] $0$準同型$\phi :S\underset{0}{\overset{}{\to }}T$, $\psi :T\underset{0}{\overset{}{\to }}S$が$\psi \circ \phi ={\mathrm{id}}_{S\setminus 0}$, $\phi \circ \psi ={\mathrm{id}}_{T\setminus 0}$をみたすとする．$s{s}^{\prime }=0$なる$s,s^{\prime }\in S\setminus 0$に対し，$s{s}^{\prime }=\psi (\phi (s))\cdot \psi (\phi (s^{\prime }))=0$であるから，補題2により$\phi (s)\phi (s^{\prime })=0$を得る．よって，$\phi$を$0$を$0$に写すように拡張した写像を$\tilde{\phi }:S\to T$とすれば，$\tilde{\phi }$は半群準同型である．$\psi$についても同様であり，$\tilde{\psi }\circ \tilde{\phi }={\mathrm{id}}_S$, $\tilde{\phi }\circ \tilde{\psi }={\mathrm{id}}_T$が成り立つ．従って$S,T$は半群として同型である．
[必要性] 半群準同型$\phi :S\to T$, $\psi :T\to S$が$\psi \circ \phi ={\mathrm{id}}_S$, $\phi \circ \psi ={\mathrm{id}}_T$をみたすとする．任意の$t\in T$に対し，$t\cdot \phi (0)=\phi (\psi (t)\cdot 0)=\phi (0)$である．同様に$\phi (0)\cdot t=\phi (0)$であるから$\phi (0)=0$である．よって${\phi }^{\prime }={\phi |}_{S\setminus 0}$, ${\psi }^{\prime }={\psi |}_{T\setminus 0}$は$0$準同型で，${\psi }^{\prime }\circ {\phi }^{\prime }={\mathrm{id}}_{S\setminus 0}$, ${\phi }^{\prime }\circ {\psi }^{\prime }={\mathrm{id}}_{T\setminus 0}$が成り立つ．

$p_k:\prod _i^0{S}_i\underset{0}{\overset{}{\to }}{S}_k$を$p_k((s_i{)}_i)=s_k$で定める．任意の$X\in {\mathrm{SemiGrp}}^0$, ${\phi }_i\in {\mathrm{Hom}}_0(X,S_i)$をとる．写像$\phi :X\setminus 0\to (\prod _i^0{S}_i)\setminus 0$を$\phi (x)=({\phi }_i(x){)}_i$で定める．任意の$x,y\in X\setminus 0$, $xy\ne 0$に対し，
$$\phi (xy)=({\phi }_i(xy){)}_i=({\phi }_i(x){\phi }_i(y){)}_i=\phi (x)\phi (y)$$
であるから$\phi$は$0$準同型である．また，任意の$i$に対し${\phi }_i=p_i\circ \phi$が成り立つ．このような$\phi$の一意性は明らかである．

$r_k:S_k\underset{0}{\overset{}{\to }}\coprod _i^0{S}_i$を$r_k(s)=(s,k)$で定める．任意の$X\in {\mathrm{SemiGrp}}^0$, ${\phi }_i\in {\mathrm{Hom}}_0(S_i,X)$をとる．写像$\phi :(\coprod _i^0{S}_i)\setminus 0\to X\setminus 0$を$\phi ((x,i))={\phi }_i(x)$, $x\in S_i\setminus 0$で定める．$0$準同型であることを確認するため，任意の$(x,i),(y,j)\in (\coprod _i^0{S}_i)\setminus 0$, $(x,i)\cdot (y,j)\ne 0$をとる．このとき$\coprod _i^0{S}_i$における積の定義から，$i=j$, $xy\ne 0$である．よって
$$\phi ((x,i)\cdot (y,i))={\phi }_i(xy)={\phi }_i(x){\phi }_i(y)=\phi ((x,i))\phi ((y,i))$$
を得る．任意の$i$に対し${\phi }_i=\phi \circ r_i$が成り立つ．一意性は明らかである．

一般に連結成分は閉であり，アレクサンドロフ性から開でもある．よって$S$の既約イデアルの族$\left\{I_{\lambda }\right\}$があって，
$$I_{\lambda }\cap I_{\mu }=0(\lambda \ne \mu ),S\setminus 0=\coprod _{\lambda }(I_{\lambda }\setminus 0)$$
が成り立つ．$\lambda \ne \mu$に対し，$I_{\lambda }\cdot I_{\mu }\subset I_{\lambda }\cap I_{\mu }=0$であるから，$S=\coprod _{\lambda }^0{I}_{\lambda }$である．

$U=\{(s,t)\in (S{\times }^{0}T)\setminus 0|f(s)=g(t)\}\cup 0$とおく．任意の$(s,t),(s^{\prime },t^{\prime })\in U\setminus 0$に対し，$(s,t)\cdot (s^{\prime },t^{\prime })\ne 0$であれば$s{s}^{\prime }\ne 0$, $t{t}^{\prime }\ne 0$であるから，
$$f(s{s}^{\prime })=f(s)f(s^{\prime })=g(t)g(t^{\prime })=g(t{t}^{\prime })$$
となって，$(s,t)\cdot (s^{\prime },t^{\prime })\in U\setminus 0$を知る．従って$U$は$S{\times }^{0}T$の部分半群である．$0$準同型$p:U\underset{0}{\overset{}{\to }}S$, $q:U\underset{0}{\overset{}{\to }}T$を$p((s,t))=s$, $q((s,t))=t$で定める．$f\circ p=g\circ q$が成り立つ．普遍性は直積のそれと同様であるから省略する．

$S,T\in {\mathrm{SemiGrp}}^0$, $\phi :S\underset{0}{\overset{}{\to }}T$とする．$\phi$がモノであることと，下の図式がpullbackであることは同値である(圏論の一般論，ただし$0$準同型を表す下付きの$0$は省略している)．
$$S\mathrm{id}\mathrm{id}S\phi S\phi T$$
このとき命題6により，$\{(s,s^{\prime })\in (S{\times }^{0}S)\setminus 0|\phi (s)=\phi (s^{\prime })\}=\{(s,s)|s\ne 0\}$である．従って$\phi$が単射であることと同値である．
$$S\mathrm{id}\cong \mathrm{id}S{\times }_{T}SqpS\phi S\phi T$$