0を持つ半群

任意の$r,r'\in R\setminus0$，$rr'\neq0$に対し，$\varphi(r)\varphi(r')=\varphi(rr')\neq0$である．よって$\psi(\varphi(rr'))=\psi(\varphi(r)\varphi(r'))=\psi(\varphi(r))\cdot\psi(\varphi(r'))$である．

$ss'\neq0$であれば$\varphi(s)\varphi(s')=\varphi(ss')\neq0$であるから，対偶によりO.K.

[十分性] $0$準同型$\varphi\colon S\zto T$, $\psi\colon T\zto S$が$\psi\circ\varphi=\id_{S\setminus0}$, $\varphi\circ\psi=\id_{T\setminus0}$をみたすとする．$ss'=0$なる$s,s'\in S\setminus0$に対し，$ss'=\psi(\varphi(s))\cdot\psi(\varphi(s'))=0$であるから，補題2により$\varphi(s)\varphi(s')=0$を得る．よって，$\varphi$を$0$を$0$に写すように拡張した写像を$\tilde{\varphi}\colon S\to T$とすれば，$\tilde{\varphi}$は半群準同型である．$\psi$についても同様であり，$\tilde{\psi}\circ\tilde{\varphi}=\id_S$, $\tilde{\varphi}\circ\tilde{\psi}=\id_T$が成り立つ．従って$S,T$は半群として同型である．
[必要性] 半群準同型$\varphi\colon S\to T$, $\psi\colon T\to S$が$\psi\circ\varphi=\id_S$, $\varphi\circ\psi=\id_T$をみたすとする．任意の$t\in T$に対し，$t\cdot\varphi(0)=\varphi(\psi(t)\cdot0)=\varphi(0)$である．同様に$\varphi(0)\cdot t=\varphi(0)$であるから$\varphi(0)=0$である．よって$\varphi'={\varphi|}_{S\setminus0}$, $\psi'={\psi|}_{T\setminus0}$は$0$準同型で，$\psi'\circ\varphi'=\id_{S\setminus0}$, $\varphi'\circ\psi'=\id_{T\setminus0}$が成り立つ．

$p_k\colon\prod_i^0S_i\zto S_k$を$p_k((s_i)_i)=s_k$で定める．任意の$X\in\catsemigrpzero$, $\varphi_i\in\Hom_0(X,S_i)$をとる．写像$\varphi\colon X\setminus0\to(\prod_i^0S_i)\setminus0$を$\varphi(x)=(\varphi_i(x))_i$で定める．任意の$x,y\in X\setminus0$, $xy\neq0$に対し，
$$\varphi(xy)=(\varphi_i(xy))_i=(\varphi_i(x)\varphi_i(y))_i=\varphi(x)\varphi(y)$$
であるから$\varphi$は$0$準同型である．また，任意の$i$に対し$\varphi_i=p_i\circ\varphi$が成り立つ．このような$\varphi$の一意性は明らかである．

$r_k\colon S_k\zto\coprod_i^0S_i$を$r_k(s)=(s,k)$で定める．任意の$X\in\catsemigrpzero$, $\varphi_i\in\Hom_0(S_i,X)$をとる．写像$\varphi\colon(\coprod_i^0S_i)\setminus0\to X\setminus0$を$\varphi((x,i))=\varphi_i(x)$, $x\in S_i\setminus0$で定める．$0$準同型であることを確認するため，任意の$(x,i),(y,j)\in(\coprod_i^0S_i)\setminus0$, $(x,i)\cdot(y,j)\neq0$をとる．このとき$\coprod_i^0S_i$における積の定義から，$i=j$, $xy\neq0$である．よって
$$\varphi((x,i)\cdot(y,i))=\varphi_i(xy)=\varphi_i(x)\varphi_i(y)=\varphi((x,i))\varphi((y,i))$$
を得る．任意の$i$に対し$\varphi_i=\varphi\circ r_i$が成り立つ．一意性は明らかである．

一般に連結成分は閉であり，アレクサンドロフ性から開でもある．よって$S$の既約イデアルの族$\setex{I_\lambda}$があって，
$$I_\lambda\cap I_\mu=0\;(\lambda\neq\mu),\quad S\setminus0=\coprod_\lambda(I_\lambda\setminus0)$$
が成り立つ．$\lambda\neq\mu$に対し，$I_\lambda\cdot I_\mu\subset I_\lambda\cap I_\mu=0$であるから，$S=\coprod_\lambda^0I_\lambda$である．

$U=\setin{(s,t)\in(S\times^0 T)\setminus0}{f(s)=g(t)}\cup0$とおく．任意の$(s,t),(s',t')\in U\setminus0$に対し，$(s,t)\cdot(s',t')\neq0$であれば$ss'\neq0$, $tt'\neq0$であるから，
$$f(ss')=f(s)f(s')=g(t)g(t')=g(tt')$$
となって，$(s,t)\cdot(s',t')\in U\setminus0$を知る．従って$U$は$S\times^0T$の部分半群である．$0$準同型$p\colon U\zto S$, $q\colon U\zto T$を$p((s,t))=s$, $q((s,t))=t$で定める．$f\circ p=g\circ q$が成り立つ．普遍性は直積のそれと同様であるから省略する．

$S,T\in\catsemigrpzero$, $\varphi\colon S\zto T$とする．$\varphi$がモノであることと，下の図式がpullbackであることは同値である(圏論の一般論，ただし$0$準同型を表す下付きの$0$は省略している)．
\begin{xy} \xymatrix { & S \ar[d]_\id \ar[r]^\id & S \ar[d]^\varphi \\ & S \ar[r]_\varphi & T } \end{xy}
このとき命題6により，$\setin{(s,s')\in (S\times^0S)\setminus0}{\varphi(s)=\varphi(s')}=\setin{(s,s)}{s\neq0}$である．従って$\varphi$が単射であることと同値である．
\begin{xy} \xymatrix { S \ar@/_/[ddr]_\id \ar@{.>}[dr]|{\cong} \ar@/^/[drr]^\id \\ & S \times_T S \ar[d]^q \ar[r]_p & S \ar[d]_\varphi \\ & S \ar[r]^\varphi & T } \end{xy}